Courant alternatif sinusoïdal et circuit RLC forcé

Étudier le régime forcé et la résonance.

Physique Terminale Chapitre 8 / 11 ⏱ 11 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Construire un diagramme de Fresnel
Calculer une impédance et un déphasage
Déterminer les conditions de résonance

Ouvre les yeux sur n'importe quelle prise électrique, à Dakar, à Ndjamena ou à Abidjan : le courant qui en sort n'est jamais constant. Il oscille, cinquante fois par seconde, entre un sens et l'autre — c'est le courant alternatif sinusoïdal, celui que produisent et distribuent SENELEC, la SNE ou la CIE. Jusqu'ici, en électricité, tu as surtout raisonné en régime continu (piles, résistances, charge d'un condensateur) : des grandeurs qui, une fois le régime permanent atteint, ne bougent plus. Ce chapitre change de monde.

Tu as aussi étudié les oscillateurs mécaniques : un ressort qui rappelle une masse, un pendule qui balance. Ce chapitre te réserve une surprise agréable : un circuit contenant une bobine et un condensateur oscille exactement de la même façon, avec les mêmes mots — amplitude, pulsation propre, résonance. La bobine joue le rôle de la masse, qui s'oppose aux variations de vitesse (ici, de courant) ; le condensateur celui du ressort, qui emmagasine puis restitue l'énergie. Ce que tu sais déjà des oscillations mécaniques va t'aider à comprendre les oscillations électriques.

La nouveauté, c'est le régime forcé : on n'abandonne plus le circuit à lui-même, on l'alimente en permanence par un générateur basse fréquence (GBF) ou par le secteur, à une fréquence qu'on impose. Pour décrire ce régime sans résoudre d'équation différentielle à chaque fois, tu vas apprendre un outil géométrique redoutablement efficace : la construction de Fresnel, qui représente chaque tension et chaque courant par un simple vecteur. Avec elle, additionner des grandeurs sinusoïdales devient un problème... de géométrie plane.

À la fin de ce chapitre, tu sauras construire un diagramme de Fresnel, calculer une impédance et un déphasage, et déterminer les conditions de résonance d'un circuit RLC — des compétences directement exigibles au baccalauréat, et qui expliquent aussi bien le réglage d'un poste de radio que la facture d'électricité d'un atelier industriel.

1Grandeurs sinusoïdales : valeurs efficaces, phase

Une grandeur électrique alternative sinusoïdale varie dans le temps comme une fonction cosinus (ou sinus, ce qui revient au même à un décalage près). C'est la forme la plus simple — et, pour cette raison, la plus fondamentale — qu'une grandeur périodique puisse prendre : tout signal périodique plus compliqué peut d'ailleurs s'écrire comme une somme de sinusoïdes (on l'admet ici).

1.1 Tension et intensité sinusoïdales

Définition

Une tension sinusoïdale est une tension de la forme :

$u(t) = U_m \cos(\omega t + \varphi)$

où :

$U_m$ est l'amplitude (valeur maximale), en volts (V) ;
$\omega$ est la pulsation, en radians par seconde ( $\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ ) ;
$(\omega t + \varphi)$ est la phase instantanée, en radians ;
$\varphi$ est la phase à l'origine (valeur de la phase à $t=0$ ), en radians.

Une intensité sinusoïdale s'écrit de la même manière : $i(t) = I_m \cos(\omega t + \varphi')$ .

La pulsation $\omega$ est liée à la période $T$ (durée d'un motif complet, en secondes) et à la fréquence $f$ (nombre de périodes par seconde, en hertz) par :

$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$

Au Sénégal comme au Tchad, le réseau de distribution électrique (SENELEC, SNE) délivre une tension sinusoïdale de fréquence $f = 50\ \text{Hz}$ , donc de période $T = 20\ \text{ms}$ et de pulsation $\omega \approx 314\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ . Un générateur basse fréquence (GBF) de laboratoire, lui, permet de choisir librement $f$ — c'est ce qui rendra possible, plus loin, l'étude de la résonance.

Grandeur	Symbole	Unité SI
Tension (instantanée / efficace)	$u(t)$ / $U$	$\text{volt}\ (\text{V})$
Intensité (instantanée / efficace)	$i(t)$ / $I$	$\text{ampère}\ (\text{A})$
Pulsation	$\omega$	$\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$
Fréquence	$f$	$\text{hertz}\ (\text{Hz})$
Période	$T$	$\text{seconde}\ (\text{s})$
Phase, déphasage	$\varphi$	$\text{radian}\ (\text{rad})$

Physique & Co — La guerre des courants

À la fin des années 1880, une bataille commerciale et technique féroce oppose, aux États-Unis, Thomas Edison, partisan du courant continu, à George Westinghouse et à l'ingénieur serbo-américain Nikola Tesla, qui défendent le courant alternatif. Edison, pour discréditer l'alternatif, va jusqu'à financer des démonstrations publiques mettant en scène sa dangerosité.

Le courant alternatif l'emporte pourtant, pour une raison purement physique que tu comprendras entièrement à la fin de ce chapitre : une tension alternative se transforme facilement (on l'élève ou on l'abaisse à l'aide d'un transformateur, hors programme ici), ce qui permet de transporter l'énergie sur de longues distances à haute tension — donc avec de faibles pertes par effet Joule — puis de l'abaisser près des habitations. En 1896, la première grande centrale hydroélectrique en courant alternatif entre en service aux chutes du Niagara. Tous les réseaux électriques du monde, y compris SENELEC et la SNE aujourd'hui, distribuent du courant alternatif.

1.2 Déphasage entre deux grandeurs sinusoïdales

Dans un même circuit, la tension $u(t)$ aux bornes d'un dipôle et l'intensité $i(t)$ qui le traverse ont la même pulsation $\omega$ (imposée par le générateur), mais pas nécessairement la même phase à l'origine.

Définition — déphasage

Soit $u(t) = U_m \cos(\omega t + \varphi_u)$ et $i(t) = I_m \cos(\omega t + \varphi_i)$ deux grandeurs sinusoïdales de même pulsation. On appelle déphasage de $u$ par rapport à $i$ la quantité :

$\varphi = \varphi_u - \varphi_i$

Ce déphasage ne dépend pas du temps : à tout instant $t$ , la différence des phases instantanées $(\omega t+\varphi_u)-(\omega t + \varphi_i)=\varphi_u-\varphi_i$ reste constante. C'est cette constance qui rendra possible la représentation de Fresnel (section 3).

Dans toute la suite de ce chapitre, on choisit l'intensité $i(t)$ comme origine des phases : $i(t) = I_m \cos(\omega t)$ , et l'on note simplement $\varphi$ le déphasage de $u$ par rapport à $i$ , si bien que $u(t) = U_m \cos(\omega t + \varphi)$ . Ce choix n'est pas arbitraire : dans un circuit série, l'intensité est la même en tout point du circuit, ce qui en fait une référence naturelle et commode.

si $\varphi > 0$ : $u$ est en avance sur $i$ (ou $i$ est en retard sur $u$ ) ;
si $\varphi < 0$ : $u$ est en retard sur $i$ ;
si $\varphi = 0$ : $u$ et $i$ sont en phase ;
si $\varphi = \pi$ : $u$ et $i$ sont en opposition de phase ;
si $\varphi = \pm\dfrac{\pi}{2}$ : $u$ et $i$ sont en quadrature.

Figure 1 — Les tensions

u(t)

i(t)

, de même pulsation

\omega

, mais déphasées :

u

atteint son maximum une durée

\Delta t = T/6

avant

i

(le pic bleu précède le pic vert), ce qui correspond à

\varphi = \dfrac{2\pi\,\Delta t}{T} = \dfrac{\pi}{3}\ \text{rad} > 0

u

est en avance sur

i

Méthode — mesurer un déphasage sur un graphe ou un oscillogramme

On repère le décalage temporel $\Delta t$ entre deux évènements homologues des deux courbes (deux maximums consécutifs, par exemple). Comme une période $T$ correspond à un déphasage de $2\pi$ :

$|\varphi| = \dfrac{2\pi\,\Delta t}{T}\ \ (\text{en radians}), \qquad |\varphi| = \dfrac{360\,\Delta t}{T}\ \ (\text{en degrés})$

Le signe se lit directement : si la courbe de $u$ atteint son maximum avant celle de $i$ , alors $u$ est en avance, donc $\varphi > 0$ .

Figure 2 — Sur cet oscillogramme, la voie 1 (

u

) est décalée d'une division vers la gauche par rapport à la voie 2 (

i

) :

u

est en avance. Avec

T = 8

div et un décalage de

1

div,

\varphi = \dfrac{2\pi\times 1}{8} = \dfrac{\pi}{4}\ \text{rad} = 45°

Exemple — lire un déphasage

Deux tensions ont pour expressions $u_1(t) = 5\cos\!\left(\omega t + \dfrac{\pi}{3}\right)$ et $u_2(t) = 3\cos\!\left(\omega t - \dfrac{\pi}{6}\right)$ . Quel est le déphasage de $u_1$ par rapport à $u_2$ ?

$\varphi = \varphi_1 - \varphi_2$
$=$ $\dfrac{\pi}{3} - \left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$
$=$ $\dfrac{2\pi}{6} + \dfrac{\pi}{6}$
$=$ $\dfrac{\pi}{2}$ quadrature : $u_1$ est en avance de $\dfrac{\pi}{2}$ sur $u_2$

1.3 Valeur efficace

Un voltmètre ou un ampèremètre en position « alternatif » n'affiche ni l'amplitude $U_m$ , ni une moyenne (qui serait nulle !), mais la valeur efficace. C'est elle qui figure sur les appareils électroménagers et sur les factures : « secteur 230 V » signifie 230 V efficaces.

Propriété

La valeur efficace $U$ d'une tension sinusoïdale d'amplitude $U_m$ vaut :

$U = \dfrac{U_m}{\sqrt{2}}$

De même pour une intensité : $I = \dfrac{I_m}{\sqrt{2}}$ . La valeur efficace a la même unité que la grandeur instantanée (volt ou ampère).

Démonstration — pourquoi diviser par

\sqrt{2}

La valeur efficace $I$ d'un courant est définie comme l'intensité du courant continu qui, traversant le même résistor $R$ , y dissiperait la même puissance moyenne par effet Joule. C'est cette exigence physique qui va fixer sa valeur.

Un résistor traversé par $i(t) = I_m\cos(\omega t)$ reçoit à chaque instant la puissance $p(t) = R\,i(t)^{2} = R\,I_m^{2}\cos^{2}(\omega t)$ . On linéarise à l'aide de $\cos^{2}\theta = \dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}$ :

$p(t) = R\,I_m^{2}\times\dfrac{1+\cos(2\omega t)}{2}$
$=$ $\dfrac{R\,I_m^{2}}{2} + \dfrac{R\,I_m^{2}}{2}\cos(2\omega t)$

Le second terme oscille, à la pulsation double $2\omega$ , symétriquement autour de $0$ : sa valeur moyenne sur une période est nulle. Il ne reste, en moyenne, que le premier terme :

$P_{moy} = \left\langle p(t) \right\rangle = \dfrac{R\,I_m^{2}}{2}$

Or, en régime continu, un courant constant $I$ dissipe dans $R$ la puissance $P = R\,I^{2}$ . En identifiant $P = P_{moy}$ :

$R\,I^{2} = \dfrac{R\,I_m^{2}}{2}$
$\Rightarrow$ $I^{2} = \dfrac{I_m^{2}}{2}$
$\Rightarrow$ $I = \dfrac{I_m}{\sqrt{2}}$ $I$ est positive, comme $I_m$

Le même raisonnement, mené avec une tension aux bornes d'un résistor, donne $U = \dfrac{U_m}{\sqrt{2}}$ . C.Q.F.D.

Exemple — tension du secteur

Le secteur SENELEC délivre une tension efficace $U = 230\ \text{V}$ , de fréquence $f = 50\ \text{Hz}$ . Calculer l'amplitude $U_m$ , la pulsation $\omega$ et la période $T$ .

$U_m = U\sqrt{2}$
$=$ $230\sqrt{2}$
$\approx$ $325{,}3\ \text{V}$
$\omega = 2\pi f = 2\pi\times 50$
$\approx$ $314{,}2\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$
$T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{50}$
$=$ $0{,}020\ \text{s} = 20\ \text{ms}$

Exemple — identifier les paramètres

Une tension a pour expression $u(t) = 21{,}2\cos\!\left(100\pi t - \dfrac{\pi}{4}\right)$ (en volts, $t$ en secondes). Identifier $U_m$ , $\omega$ , $f$ , $\varphi$ , puis calculer $U$ .

par identification : $U_m = 21{,}2\ \text{V}$ ; $\omega = 100\pi\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ ; $\varphi = -\dfrac{\pi}{4}\ \text{rad}$
$f = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{100\pi}{2\pi}$
$=$ $50\ \text{Hz}$
$U = \dfrac{U_m}{\sqrt{2}} = \dfrac{21{,}2}{\sqrt{2}}$
$\approx$ $15{,}0\ \text{V}$

Attention

Ne confonds jamais valeur efficace et amplitude : un multimètre en position « AC » (alternatif) affiche toujours la valeur efficace, jamais l'amplitude. Pour une tension secteur affichée « 230 V », l'amplitude réellement atteinte à chaque alternance est $230\sqrt{2}\approx 325\ \text{V}$ — c'est cette valeur, et non 230 V, qu'il faut utiliser pour un calcul de tenue en tension d'un isolant, par exemple.

2Impédance d'un dipôle

Soumets un dipôle quelconque à une tension sinusoïdale $u(t)=U_m\cos(\omega t+\varphi)$ ; en régime permanent, il est traversé par un courant sinusoïdal de même pulsation $\omega$ (résultat général qu'on admet, et qu'on retrouve ci-dessous pour la bobine et le condensateur). Reste à savoir avec quelle amplitude, et avec quel déphasage : cela dépend de la nature du dipôle.

2.1 Le résistor

Propriété

Un résistor de résistance $R$ , parcouru par $i(t) = I_m\cos(\omega t)$ , a pour tension instantanée à ses bornes (loi d'Ohm, valable à chaque instant) :

$u_R(t) = R\,i(t) = R\,I_m\cos(\omega t)$

La tension aux bornes d'un résistor est donc en phase avec le courant qui le traverse ( $\varphi_R = 0$ ), à tout instant et pour toute fréquence.

2.2 La bobine

On considère une bobine idéale (résistance interne négligeable), d'inductance $L$ , parcourue par $i(t) = I_m\cos(\omega t)$ .

Démonstration

Aux bornes d'une bobine, la tension est reliée au courant par $u_L(t) = L\,\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$ . On dérive $i(t)$ par rapport au temps :

$u_L(t) = L\,\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\!\left[I_m\cos(\omega t)\right]$
$=$ $-L\,\omega\,I_m\sin(\omega t)$
$=$ $L\,\omega\,I_m\cos\!\left(\omega t + \dfrac{\pi}{2}\right)$ car $-\sin\theta = \cos\!\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)$

La tension aux bornes d'une bobine est donc sinusoïdale, de même pulsation que le courant, d'amplitude $U_{Lm} = L\omega I_m$ , et en avance de $\dfrac{\pi}{2}$ sur le courant.

Propriété — réactance inductive

$U_L = L\omega\,I \qquad \varphi_L = +\dfrac{\pi}{2}$

Le rapport $\dfrac{U_L}{I} = L\omega$ , homogène à une résistance, est appelé réactance inductive et se note $Z_L = L\omega$ (en ohms, si $L$ est en henrys et $\omega$ en $\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ ). Elle croît avec la fréquence : une bobine s'oppose d'autant plus au passage du courant que celui-ci varie vite.

Exemple — tension aux bornes d'une bobine

Une bobine d'inductance $L = 0{,}50\ \text{H}$ est parcourue par un courant efficace $I = 0{,}20\ \text{A}$ de fréquence $f = 50\ \text{Hz}$ . Calculer la réactance $Z_L$ puis la tension efficace $U_L$ à ses bornes.

$Z_L = L\omega = L\times 2\pi f$
$=$ $0{,}50\times 2\pi\times 50$
$\approx$ $157{,}1\ \Omega$
$U_L = Z_L\,I = 157{,}1\times 0{,}20$
$\approx$ $31{,}4\ \text{V}$

2.3 Le condensateur

On considère un condensateur de capacité $C$ , parcouru par $i(t) = I_m\cos(\omega t)$ , portant la charge $q(t)$ sur l'armature reliée au sens positif de $i$ .

Démonstration

La charge et le courant sont liés par $i(t) = \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$ , et la tension par $u_C(t) = \dfrac{q(t)}{C}$ . On intègre :

$q(t) = \displaystyle\int i(t)\,\mathrm{d}t = \int I_m\cos(\omega t)\,\mathrm{d}t$
$=$ $\dfrac{I_m}{\omega}\sin(\omega t)$ pas de terme constant : $q$ oscille autour de $0$ en régime établi
$u_C(t) = \dfrac{q(t)}{C} = \dfrac{I_m}{C\omega}\sin(\omega t)$
$=$ $\dfrac{I_m}{C\omega}\cos\!\left(\omega t - \dfrac{\pi}{2}\right)$ car $\sin\theta = \cos\!\left(\theta-\dfrac{\pi}{2}\right)$

La tension aux bornes d'un condensateur est donc sinusoïdale, d'amplitude $U_{Cm} = \dfrac{I_m}{C\omega}$ , et en retard de $\dfrac{\pi}{2}$ sur le courant.

Propriété — réactance capacitive

$U_C = \dfrac{I}{C\omega} \qquad \varphi_C = -\dfrac{\pi}{2}$

Le rapport $\dfrac{U_C}{I} = \dfrac{1}{C\omega}$ est la réactance capacitive, notée $Z_C = \dfrac{1}{C\omega}$ (en ohms, si $C$ est en farads). Elle décroît avec la fréquence : un condensateur laisse d'autant mieux passer le courant que celui-ci varie vite ; en continu ( $\omega\to0$ ), $Z_C\to\infty$ : le condensateur bloque le courant, ce que tu savais déjà.

Exemple — tension aux bornes d'un condensateur

Un condensateur de capacité $C = 10\ \mu\text{F}$ est parcouru par un courant efficace $I = 0{,}20\ \text{A}$ de fréquence $f = 50\ \text{Hz}$ . Calculer $Z_C$ puis $U_C$ .

$Z_C = \dfrac{1}{C\omega} = \dfrac{1}{C\times 2\pi f}$
$=$ $\dfrac{1}{10\times10^{-6}\times 2\pi\times 50}$
$\approx$ $318{,}3\ \Omega$
$U_C = Z_C\,I = 318{,}3\times 0{,}20$
$\approx$ $63{,}7\ \text{V}$

2.4 Impédance et loi d'Ohm généralisée

Définition — impédance

Pour un dipôle quelconque, parcouru par un courant efficace $I$ et soumis à une tension efficace $U$ de même fréquence, on appelle impédance le rapport :

$Z = \dfrac{U}{I}$

L'impédance s'exprime en ohms $(\Omega)$ , comme une résistance. C'est une grandeur toujours positive.

Dipôle	Impédance	Déphasage $\varphi$ de $u$ / $i$
Résistor $R$	$Z_R = R$	$0$
Bobine (idéale) $L$	$Z_L = L\omega$	$+\dfrac{\pi}{2}$
Condensateur $C$	$Z_C = \dfrac{1}{C\omega}$	$-\dfrac{\pi}{2}$

La relation $U = Z\,I$ généralise la loi d'Ohm au régime sinusoïdal : on l'appelle parfois loi d'Ohm en valeurs efficaces. Elle relie les amplitudes (ou les valeurs efficaces, ce qui revient au même) ; l'impédance, à elle seule, ne dit rien sur le déphasage — il faut le préciser séparément, comme dans le tableau ci-dessus.

Attention

Sauf pour un résistor pur, la relation $U=ZI$ ne s'applique jamais aux valeurs instantanées : on n'a pas $u(t) = Z\,i(t)$ en général, puisque $u$ et $i$ sont déphasés. $Z$ relie uniquement les amplitudes (ou les valeurs efficaces) entre elles, jamais les fonctions du temps directement.

3Construction de Fresnel

Additionner deux fonctions cosinus de même pulsation mais de phases différentes, à la main, est fastidieux : il faudrait linéariser, regrouper... Fresnel a proposé, dès 1823, un raccourci purement géométrique : représenter chaque grandeur sinusoïdale par un vecteur.

3.1 Principe : le vecteur tournant

Définition — vecteur de Fresnel

À une grandeur sinusoïdale $x(t) = X_m\cos(\omega t+\varphi)$ , on associe le vecteur de Fresnel $\overrightarrow{OM}$ : un vecteur tournant, de norme $X_m$ (ou, selon la convention choisie, la valeur efficace $X$ ), qui fait avec un axe de référence fixe un angle égal à la phase instantanée $(\omega t+\varphi)$ , compté positivement dans le sens trigonométrique. La valeur instantanée $x(t)$ est alors la projection de ce vecteur sur l'axe de référence.

Comme tous les vecteurs de Fresnel d'un même circuit tournent à la même vitesse angulaire $\omega$ , leurs positions relatives (les angles qu'ils font entre eux) restent figées au cours du temps — ce sont exactement les déphasages définis en section 1. On peut donc « arrêter le film » à l'instant $t=0$ et ne dessiner qu'une photographie du diagramme, sans perdre aucune information utile : c'est ce qu'on appelle construire le diagramme de Fresnel.

Démonstration — pourquoi additionner des vecteurs revient à additionner des sinusoïdes

Soit deux grandeurs sinusoïdales de même pulsation $\omega$ , $x_1(t)$ et $x_2(t)$ , représentées par les vecteurs de Fresnel $\vec{X_1}(t)$ et $\vec{X_2}(t)$ : par définition, la projection de $\vec{X_1}(t)$ sur l'axe de référence vaut $x_1(t)$ , et celle de $\vec{X_2}(t)$ vaut $x_2(t)$ .

La projection sur un axe est une opération linéaire : la projection d'une somme de vecteurs est la somme des projections. Le vecteur somme $\vec{X}(t) = \vec{X_1}(t)+\vec{X_2}(t)$ a donc pour projection :

$\text{proj}\!\left(\vec{X}(t)\right) = \text{proj}\!\left(\vec{X_1}(t)\right) + \text{proj}\!\left(\vec{X_2}(t)\right)$
$=$ $x_1(t) + x_2(t)$

De plus, $\vec{X_1}$ et $\vec{X_2}$ tournent tous deux à la vitesse angulaire $\omega$ en gardant un angle constant entre eux (leur déphasage) : leur somme $\vec{X}$ est donc, elle aussi, un vecteur de norme constante qui tourne à la vitesse $\omega$ — c'est le vecteur de Fresnel d'une grandeur sinusoïdale $x(t)=x_1(t)+x_2(t)$ , de pulsation $\omega$ .

Conclusion : la somme de deux grandeurs sinusoïdales de même pulsation est une grandeur sinusoïdale de même pulsation, dont le vecteur de Fresnel est la somme (vectorielle) des deux vecteurs de Fresnel. Additionner des fonctions du temps devient un problème de géométrie plane.

3.2 Règles de construction et d'addition

Méthode — construire un diagramme de Fresnel

On choisit une échelle et un axe de référence horizontal (souvent l'axe de l'intensité $\vec I$ , puisque c'est la grandeur commune à tout un circuit série).
Chaque grandeur sinusoïdale est représentée par un vecteur dont la norme est son amplitude (ou sa valeur efficace, à condition d'être cohérent pour tout le diagramme), et dont l'angle avec l'axe de référence est son déphasage par rapport à cette référence.
Pour sommer plusieurs grandeurs, on place les vecteurs bout à bout (relation de Chasles) : le vecteur résultant va de l'origine du premier vecteur à l'extrémité du dernier.

Sur le papier, on représente donc, à l'instant $t=0$ , chaque grandeur sinusoïdale par un vecteur d'origine $O$ , de norme son amplitude $X_m$ et faisant avec l'axe de référence un angle égal à sa phase à l'origine $\varphi$ — c'est le diagramme de Fresnel.

Exemple — additionner deux vecteurs de Fresnel

Deux grandeurs sinusoïdales de même pulsation ont pour vecteurs de Fresnel $\vec{A}$ , de norme $3$ et porté par l'axe de référence, et $\vec{B}$ , de norme $4$ , perpendiculaire à $\vec{A}$ (déphasé de $\dfrac{\pi}{2}$ ). Déterminer la norme et l'angle du vecteur somme $\vec{C} = \vec{A}+\vec{B}$ .

$\vec{A}$ et $\vec{B}$ sont perpendiculaires : le triangle formé est rectangle
$C^{2} = A^{2}+B^{2}$ théorème de Pythagore
$=$ $3^{2}+4^{2} = 25$
$\Rightarrow$ $C = 5$
$\tan(\widehat{\vec{A},\vec{C}}) = \dfrac{B}{A} = \dfrac{4}{3}$
$\Rightarrow$ l'angle vaut $\approx 53{,}1°$

Attention

La construction de Fresnel ne s'applique qu'à des grandeurs de même pulsation $\omega$ . On ne peut pas placer sur un même diagramme, par exemple, un signal et son harmonique : leurs vecteurs tourneraient à des vitesses différentes, et l'angle entre eux ne resterait pas constant.

4Circuit RLC série en régime forcé

4.1 Le montage

On associe en série un résistor de résistance $R$ , une bobine idéale d'inductance $L$ et un condensateur de capacité $C$ , le tout alimenté par un générateur qui impose une tension sinusoïdale $u(t) = U_m\cos(\omega t+\varphi)$ de pulsation $\omega$ réglable : c'est le régime sinusoïdal forcé, la pulsation étant imposée par le générateur et non plus choisie par le circuit lui-même.

Figure 3 — Circuit RLC série alimenté par un générateur de tension sinusoïdale

u(t)

; un ampèremètre (A) mesure l'intensité efficace

I

, commune aux trois dipôles.

Le circuit étant série, un seul et même courant $i(t) = I_m\cos(\omega t)$ traverse les trois dipôles : c'est donc lui, comme annoncé en section 1, que l'on choisit comme origine des phases. À chaque instant, la loi des mailles donne :

$u(t) = u_R(t) + u_L(t) + u_C(t)$

Chacune des tensions $u_R$ , $u_L$ , $u_C$ est sinusoïdale de pulsation $\omega$ (section 2) : leur somme $u(t)$ l'est donc aussi (section 3), mais calculer son amplitude et sa phase directement, à coups de formules de trigonométrie, serait pénible. Le diagramme de Fresnel va faire le travail à notre place.

4.2 Diagramme de Fresnel du circuit RLC

Méthode — construire le Fresnel d'un RLC série

On porte, à partir de l'origine et le long de l'axe de référence (celui de $\vec I$ ) :

le vecteur $\vec{U_R}$ , de norme $RI$ , colinéaire à $\vec I$ (en phase) ;
puis, à partir de son extrémité, le vecteur $\vec{U_L}$ , de norme $L\omega I$ , tourné de $+\dfrac{\pi}{2}$ (en avance) ;
puis, à partir de la nouvelle extrémité, le vecteur $\vec{U_C}$ , de norme $\dfrac{I}{C\omega}$ , tourné de $-\dfrac{\pi}{2}$ (en retard) — donc vers le bas si $\vec{U_L}$ pointait vers le haut.

Le vecteur $\vec U$ , somme des trois, va de l'origine à l'extrémité finale.

Pour un même dipôle RLC série, de résistance $R=20\ \Omega$ , parcouru par un courant efficace $I=2{,}0\ \text{A}$ , le diagramme obtenu change d'allure selon la fréquence $f$ du générateur, comparée à la fréquence de résonance $f_0$ (définie en section 5) :

Figure 4 — Construction de Fresnel d'un même circuit RLC série (

R=20\ \Omega

I=2{,}0\ \text{A}

) pour trois fréquences : (a)

f>f_0

, le circuit est inductif ; (b)

f<f_0

, il est capacitif ; (c)

f=f_0

U_L

U_C

s'annulent exactement et

U=U_R

: c'est la résonance, étudiée en section 5.

Dans les trois cas, $\vec{U_L}$ et $\vec{U_C}$ , colinéaires et de sens opposés, se combinent en un vecteur unique $\vec{U_L}-\vec{U_C}$ , perpendiculaire à $\vec{U_R}$ : le triangle formé par $\vec{U_R}$ , $(\vec{U_L}-\vec{U_C})$ et $\vec U$ est donc toujours rectangle. C'est ce triangle rectangle qui va livrer, par Pythagore, la formule de l'impédance.

4.3 Impédance et déphasage

Théorème — impédance du circuit RLC série

$Z = \sqrt{R^{2} + \left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)^{2}} \qquad\qquad \tan\varphi = \dfrac{L\omega - \dfrac{1}{C\omega}}{R}$

où $\varphi$ est le déphasage de $u$ par rapport à $i$ . L'intensité efficace s'obtient par la loi d'Ohm généralisée : $I = \dfrac{U}{Z}$ .

Démonstration

Dans le triangle rectangle du diagramme de Fresnel (figure 4), l'hypoténuse est $U$ , et les deux côtés de l'angle droit sont $U_R = RI$ et $U_L-U_C = \left(L\omega-\dfrac{1}{C\omega}\right)I$ . Le théorème de Pythagore donne :

$U^{2} = U_R^{2} + (U_L-U_C)^{2}$
$=$ $R^{2}I^{2} + \left(L\omega-\dfrac{1}{C\omega}\right)^{2}I^{2}$
$=$ $I^{2}\left[R^{2} + \left(L\omega-\dfrac{1}{C\omega}\right)^{2}\right]$

Or $Z = \dfrac{U}{I}$ ; en divisant l'égalité précédente par $I^{2}$ puis en prenant la racine carrée (toutes les grandeurs sont positives) :

$Z^{2} = R^{2} + \left(L\omega-\dfrac{1}{C\omega}\right)^{2}$
$\Rightarrow$ $Z = \sqrt{R^{2} + \left(L\omega-\dfrac{1}{C\omega}\right)^{2}}$

Dans ce même triangle, $\varphi$ est l'angle entre l'hypoténuse $\vec U$ et le côté $\vec{U_R}$ ; sa tangente est le rapport du côté opposé sur le côté adjacent :

$\tan\varphi = \dfrac{U_L-U_C}{U_R} = \dfrac{\left(L\omega-\dfrac{1}{C\omega}\right)I}{RI}$
$=$ $\dfrac{L\omega-\dfrac{1}{C\omega}}{R}$

C.Q.F.D.

Propriété — nature du circuit

si $L\omega > \dfrac{1}{C\omega}$ : $\varphi>0$ , le circuit est inductif ( $u$ en avance sur $i$ ) ;
si $L\omega < \dfrac{1}{C\omega}$ : $\varphi<0$ , le circuit est capacitif ( $u$ en retard sur $i$ ) ;
si $L\omega = \dfrac{1}{C\omega}$ : $\varphi=0$ , le circuit se comporte comme un résistor pur — c'est la résonance, étudiée en section 5.

Exemple — calculer Z, I et φ

Un dipôle RLC série a pour résistance $R = 40\ \Omega$ ; à la pulsation étudiée, la réactance de la bobine vaut $L\omega = 110\ \Omega$ et celle du condensateur $\dfrac{1}{C\omega} = 140\ \Omega$ . Il est alimenté sous une tension efficace $U = 100\ \text{V}$ . Calculer $Z$ , $I$ et $\varphi$ .

$Z = \sqrt{R^{2}+\left(L\omega-\dfrac1{C\omega}\right)^{2}} = \sqrt{40^{2}+(110-140)^{2}}$
$=$ $\sqrt{1\,600+900} = \sqrt{2\,500}$
$=$ $50\ \Omega$
$I = \dfrac{U}{Z} = \dfrac{100}{50}$
$=$ $2{,}0\ \text{A}$
$\tan\varphi = \dfrac{110-140}{40} = \dfrac{-30}{40} = -0{,}75$
$\Rightarrow$ $\varphi = \arctan(-0{,}75) \approx -0{,}644\ \text{rad}$ soit environ $-36,9°$ : circuit capacitif, $i$ en avance sur $u$

On vérifie que ces réactances correspondent par exemple à $f = 50\ \text{Hz}$ , avec $L \approx 0{,}350\ \text{H}$ et $C \approx 22{,}7\ \mu\text{F}$ .

Exemple — second circuit

Un autre dipôle RLC série a $R = 100\ \Omega$ , $L\omega = 80\ \Omega$ , $\dfrac{1}{C\omega} = 200\ \Omega$ . Calculer $Z$ et $\varphi$ , et préciser la nature du circuit.

$Z = \sqrt{100^{2}+(80-200)^{2}}$
$=$ $\sqrt{10\,000+14\,400} = \sqrt{24\,400}$
$\approx$ $156{,}2\ \Omega$
$\tan\varphi = \dfrac{80-200}{100} = -1{,}2$
$\Rightarrow$ $\varphi \approx -50{,}2°$ $L\omega < \dfrac1{C\omega}$ : circuit capacitif

Attention

Ne te trompe pas de sens : un circuit où la bobine « domine » ( $L\omega$ grand) est inductif, avec $\varphi>0$ — c'est $u$ qui est en avance, pas $i$ . Le moyen le plus sûr reste de repartir du diagramme de Fresnel : $\vec{U_L}$ pointe vers le haut, donc si $U_L>U_C$ , le vecteur résultant $\vec U$ est au-dessus de l'axe $\vec I$ , donc $\varphi>0$ .

5Résonance d'intensité

Fais varier la fréquence $f$ du générateur, tout en maintenant sa tension efficace $U$ constante : l'intensité efficace $I = \dfrac{U}{Z}$ varie elle aussi, puisque $Z$ dépend de $\omega$ . Existe-t-il une fréquence pour laquelle le courant est maximal ? C'est tout l'objet de ce paragraphe : la résonance d'intensité.

5.1 Condition de résonance

Définition

On dit qu'un circuit RLC série est à la résonance d'intensité lorsque l'intensité efficace $I$ est maximale, à tension efficace $U$ fixée, lorsqu'on fait varier la pulsation $\omega$ du générateur.

Démonstration — la pulsation de résonance

\omega_0

D'après la loi d'Ohm généralisée, $I(\omega) = \dfrac{U}{Z(\omega)}$ , à $U$ fixée. $I$ est donc maximale exactement quand $Z$ est minimale.

$Z(\omega) = \sqrt{R^{2}+\left(L\omega-\dfrac1{C\omega}\right)^{2}}$
le terme $R^{2}$ ne dépend pas de $\omega$ ; $Z$ est donc minimale quand $\left(L\omega-\dfrac1{C\omega}\right)^{2}$ est minimal
un carré est minimal, et vaut $0$ , quand la quantité élevée au carré s'annule
$\Rightarrow$ $Z$ est minimale (et vaut alors $R$ ) lorsque $L\omega_0 = \dfrac{1}{C\omega_0}$
$\Rightarrow$ $\omega_0^{2} = \dfrac{1}{LC}$
$\Rightarrow$ $\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ $\omega_0>0$

À cette pulsation, $Z_{min}=R$ (l'impédance est purement résistive : cas (c) de la figure 4) et l'intensité est maximale, $I_{max} = \dfrac{U}{R}$ .

Propriété — pulsation propre

$\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} \qquad f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

$\omega_0$ (ou $f_0$ ) ne dépend que de $L$ et $C$ : c'est une caractéristique du circuit $LC$ lui-même, indépendante de $R$ et du générateur — on l'appelle la pulsation propre (ou fréquence propre) du circuit. C'est exactement la pulsation à laquelle un circuit $LC$ sans générateur oscillerait librement (tu retrouves ici le vocabulaire des oscillateurs mécaniques).

Exemple — calculer une fréquence propre

Un circuit comporte une bobine $L = 1{,}0\ \text{H}$ et un condensateur $C = 4{,}0\ \mu\text{F}$ . Calculer $\omega_0$ et $f_0$ .

$\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{\sqrt{1{,}0\times 4{,}0\times10^{-6}}}$
$=$ $\dfrac{1}{\sqrt{4{,}0\times10^{-6}}} = \dfrac{1}{2{,}0\times10^{-3}}$
$=$ $500\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$
$f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi} = \dfrac{500}{2\pi}$
$\approx$ $79{,}6\ \text{Hz}$

5.2 Courbe de résonance et bande passante

Traçons $I(f)$ , à $U$ fixée, pour un circuit RLC série de pulsation propre $\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ — ici $L=0{,}10\ \text{H}$ , $C=10\ \mu\text{F}$ , soit $\omega_0 = 1\,000\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ ( $f_0 \approx 159{,}2\ \text{Hz}$ ) — pour deux valeurs de $R$ , le générateur délivrant $U = 9{,}0\ \text{V}$ efficaces.

Figure 5 — Intensité efficace

I

en fonction de la fréquence

f

, pour un circuit RLC série (

L=0{,}10\ \text{H}

C=10\ \mu\text{F}

, donc

f_0\approx159{,}2\ \text{Hz}

) alimenté sous

U=9{,}0\ \text{V}

, pour deux résistances :

R_1=15\ \Omega

(résonance aiguë,

Q_1\approx6{,}7

) et

R_2=45\ \Omega

(résonance floue,

Q_2\approx2{,}2

). Les deux courbes culminent à la même fréquence

f_0

Les deux courbes culminent à la même fréquence $f_0$ (qui ne dépend que de $L$ et $C$ ), mais avec des hauteurs et des largeurs très différentes : plus $R$ est petite, plus le pic est haut et étroit — la résonance est dite aiguë ; plus $R$ est grande, plus le pic est bas et large — la résonance est dite floue.

Définition — bande passante

La bande passante à $\dfrac1{\sqrt2}$ est l'intervalle de pulsations $[\omega_1;\omega_2]$ pour lesquelles l'intensité efficace reste supérieure ou égale à $\dfrac{I_{max}}{\sqrt2}$ — c'est-à-dire pour lesquelles la puissance reçue (proportionnelle à $I^{2}$ ) reste supérieure à la moitié de la puissance maximale. Sa largeur est notée $\Delta\omega = \omega_2-\omega_1$ (ou $\Delta f$ en hertz).

Démonstration —

\Delta\omega = \dfrac{R}{L}

Les bornes de la bande passante vérifient $I=\dfrac{I_{max}}{\sqrt2}$ , c'est-à-dire $Z = R\sqrt2$ (car $I=\frac{U}{Z}$ et $I_{max}=\frac{U}{R}$ ) :

$Z^{2}=2R^{2} \iff R^{2}+\left(L\omega-\dfrac1{C\omega}\right)^{2}=2R^{2}$
$\iff$ $\left(L\omega-\dfrac1{C\omega}\right)^{2}=R^{2}$
$\iff$ $L\omega-\dfrac1{C\omega}=\pm R$

En multipliant chaque cas par $\dfrac{\omega}{L}$ (avec $\omega_0^{2}=\dfrac1{LC}$ ), on obtient deux équations du second degré en $\omega$ :

$\omega^{2}-\dfrac{R}{L}\,\omega-\omega_0^{2}=0$ cas $+R$ , racine positive notée $\omega_2$
$\omega^{2}+\dfrac{R}{L}\,\omega-\omega_0^{2}=0$ cas $-R$ , racine positive notée $\omega_1$

La résolution (discriminant) donne $\omega_2 = \dfrac{\frac RL+\sqrt{\left(\frac RL\right)^{2}+4\omega_0^{2}}}{2}$ et $\omega_1 = \dfrac{-\frac RL+\sqrt{\left(\frac RL\right)^{2}+4\omega_0^{2}}}{2}$ : le radical, identique dans les deux expressions, disparaît par soustraction.

$\Delta\omega = \omega_2-\omega_1$
$=$ $\dfrac{R}{L}$ les deux racines carrées identiques s'éliminent

Propriété — facteur de qualité

On définit le facteur de qualité (sans unité) du circuit :

$Q = \dfrac{L\omega_0}{R} = \dfrac{\omega_0}{\Delta\omega} = \dfrac{f_0}{\Delta f}$

Plus $Q$ est grand, plus la résonance est aiguë et sélective : c'est $Q$ qui mesure objectivement la « finesse » du pic observé sur la figure 5.

Attention

La largeur de la bande passante $\Delta\omega = \dfrac{R}{L}$ ne dépend que de $R$ et $L$ — pas de $C$ ! C'est une erreur fréquente de vouloir y faire apparaître $C$ . En revanche, $C$ intervient bien dans $\omega_0$ (donc dans la position du pic) et dans $Q$ (par l'intermédiaire de $\omega_0$ ).

5.3 Surtension aux bornes de L et C

À la résonance, $I=I_{max}=\dfrac{U}{R}$ . Or les tensions efficaces aux bornes de la bobine et du condensateur valent $U_L = L\omega_0\,I_{max}$ et $U_C = \dfrac1{C\omega_0}I_{max}$ — et l'on a vu que $L\omega_0=\dfrac1{C\omega_0}$ à la résonance, donc $U_L=U_C$ .

Démonstration — surtension

U_L=U_C=QU

$U_L = L\omega_0\,I_{max} = L\omega_0\times\dfrac{U}{R}$
$=$ $\dfrac{L\omega_0}{R}\times U$
$=$ $Q\,U$ par définition de $Q=\dfrac{L\omega_0}{R}$

Et $U_C=U_L$ à la résonance, donc $U_C=QU$ également.

Attention — la surtension est réelle !

Dès que $Q>1$ , les tensions efficaces $U_L$ et $U_C$ , individuellement, dépassent la tension d'alimentation $U$ — parfois très largement. Ce n'est pas une violation de la loi des mailles : $u_L(t)$ et $u_C(t)$ restent en opposition de phase à chaque instant (car $Z_L=Z_C$ à la résonance et leurs phases sont opposées), si bien que $u_L(t)+u_C(t)=0$ à tout instant, et $u(t)=u_R(t)$ : les tensions instantanées s'annulent, mais leurs valeurs efficaces prises séparément peuvent, elles, très largement dépasser $U$ . Un condensateur ou une bobine mal dimensionnés peuvent donc être endommagés à la résonance, même si la tension du générateur semble raisonnable.

Exemple — résonance et surtension

Pour le circuit de la figure 5 ( $L=0{,}10\ \text{H}$ , $C=10\ \mu\text{F}$ , $R=15\ \Omega$ , $U=9{,}0\ \text{V}$ ), calculer $Q$ , $\Delta f$ et la surtension $U_L$ à la résonance.

$Q = \dfrac{L\omega_0}{R} = \dfrac{0{,}10\times1\,000}{15}$
$=$ $\dfrac{100}{15} \approx 6{,}7$
$\Delta f = \dfrac{\Delta\omega}{2\pi} = \dfrac{R}{2\pi L} = \dfrac{15}{2\pi\times0{,}10}$
$\approx$ $23{,}9\ \text{Hz}$
$U_L = Q\,U = 6{,}7\times 9{,}0$
$\approx$ $60\ \text{V}$ plus de $6$ fois la tension du générateur !

6Puissance et facteur de puissance

Un circuit alimenté en alternatif reçoit, à chaque instant, une puissance $p(t) = u(t)\,i(t)$ . Mais c'est la puissance moyenne, celle que facture SENELEC ou la SNE, qui compte pour l'utilisateur — et elle dépend, on va le voir, non seulement de $U$ et de $I$ , mais aussi du déphasage $\varphi$ .

6.1 Puissance instantanée et puissance moyenne

Définition

La puissance instantanée reçue par un dipôle est $p(t) = u(t)\,i(t)$ . La puissance moyenne (ou puissance active) est sa valeur moyenne sur une période, $P = \langle p(t)\rangle$ , exprimée en watts (W).

Démonstration —

P = UI\cos\varphi

Avec $i(t) = I_m\cos(\omega t)$ et $u(t) = U_m\cos(\omega t+\varphi)$ :

$p(t) = U_m I_m \cos(\omega t+\varphi)\cos(\omega t)$
$=$ $\dfrac{U_mI_m}{2}\left[\cos\varphi + \cos(2\omega t+\varphi)\right]$ formule $\cos a\cos b=\frac12[\cos(a-b)+\cos(a+b)]$ , avec $a=\omega t+\varphi,\ b=\omega t$

Le second terme oscille à la pulsation double $2\omega$ , symétriquement autour de $0$ : sa moyenne sur une période est nulle (même argument qu'en section 1.3). Il ne reste que le premier terme, constant :

$P = \langle p(t)\rangle = \dfrac{U_mI_m}{2}\cos\varphi$
$=$ $\dfrac{U_m}{\sqrt2}\times\dfrac{I_m}{\sqrt2}\times\cos\varphi$
$=$ $U\,I\,\cos\varphi$ valeurs efficaces, section 1.3

C.Q.F.D.

Propriété

$P = U\,I\,\cos\varphi$

Pour un résistor pur ( $\varphi=0$ ), on retrouve $P=UI=RI^{2}$ : toute la puissance est dissipée. Pour une bobine ou un condensateur idéaux ( $\varphi=\pm\dfrac\pi2$ ), $\cos\varphi=0$ : aucune puissance n'est consommée en moyenne — l'énergie est empruntée puis intégralement restituée au générateur à chaque quart de période.

6.2 Facteur de puissance et triangle des puissances

Définition

On appelle puissance apparente le produit $S = U\,I$ , exprimé en volt-ampères (VA) — c'est la puissance que « voit » le générateur, indépendamment du déphasage. Le rapport :

$k = \cos\varphi = \dfrac{P}{S}$

est appelé facteur de puissance : c'est la fraction de la puissance apparente réellement convertie en puissance active. On a toujours $0 \leqslant k \leqslant 1$ .

Propriété — triangle des puissances

On définit aussi la puissance réactive $Q = U\,I\,\sin\varphi$ (en vars, var). Comme $\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi=1$ :

$S^{2} = P^{2}+Q^{2}$

$P$ , $Q$ et $S$ forment donc un triangle rectangle — le triangle des puissances — en tout point semblable au triangle des tensions de Fresnel ( $U_R$ , $U_L-U_C$ , $U$ ) et à celui des impédances ( $R$ , $L\omega-\frac1{C\omega}$ , $Z$ ) : les trois sont liés par le même facteur $I$ ou $I^{2}$ .

Figure 6 — Triangle des puissances :

P=UI\cos\varphi

(active),

Q=UI\sin\varphi

(réactive),

S=UI

(apparente), avec

S^{2}=P^{2}+Q^{2}

. Exemple représenté :

U=200\ \text{V}

I=5{,}0\ \text{A}

\varphi\approx36{,}9°

Exemple — calculer P, S et Q

Une installation est alimentée sous $U=200\ \text{V}$ , traversée par $I=5{,}0\ \text{A}$ , avec un déphasage $\varphi\approx36{,}9°$ ( $\cos\varphi=0{,}80$ , $\sin\varphi=0{,}60$ ). Calculer $P$ , $S$ et $Q$ .

$P = UI\cos\varphi = 200\times5{,}0\times0{,}80$
$=$ $800\ \text{W}$
$S = UI = 200\times5{,}0$
$=$ $1\,000\ \text{VA}$
$Q = UI\sin\varphi = 1\,000\times0{,}60$
$=$ $600\ \text{var}$

Attention

La puissance apparente $S$ n'est pas une puissance réellement consommée : c'est $P$ (en watts) qui correspond à l'énergie effectivement transformée (chaleur, travail...) et facturée en kilowattheures. $S$ fixe cependant le dimensionnement des câbles et des générateurs, qui doivent supporter l'intensité $I=\dfrac{S}{U}$ — d'où l'intérêt, pour un distributeur comme SENELEC, d'un facteur de puissance proche de $1$ .

6.3 Relèvement du facteur de puissance

Les moteurs électriques, très répandus dans l'industrie, sont des charges inductives ( $\varphi>0$ ) : leur facteur de puissance est souvent médiocre ( $0{,}6$ à $0{,}8$ ). Beaucoup de distributeurs, dont SENELEC, pénalisent financièrement les gros clients dont $\cos\varphi$ est trop faible, car cela les oblige à dimensionner un réseau capable de transporter une intensité $I$ plus grande que nécessaire pour la même puissance utile $P$ .

Méthode — relever le facteur de puissance

On place un condensateur en dérivation aux bornes de l'installation. Il consomme une puissance réactive négative (il en fournit), ce qui réduit la puissance réactive totale sans changer $P$ (un condensateur ne consomme aucune puissance active). Pour passer d'un facteur $\cos\varphi_1$ à un facteur cible $\cos\varphi_2$ (avec $\varphi_2<\varphi_1$ ), à $P$ inchangée :

$Q_c = P\tan\varphi_1 - P\tan\varphi_2 = P(\tan\varphi_1-\tan\varphi_2)$ puissance réactive à compenser
$Q_c = U^{2}C\omega$ puissance réactive fournie par un condensateur sous tension $U$
$\Rightarrow$ $C = \dfrac{P(\tan\varphi_1-\tan\varphi_2)}{U^{2}\omega}$

Exemple — dimensionner un condensateur de compensation

Un moteur, sous $U=230\ \text{V}$ , $f=50\ \text{Hz}$ , a une puissance active $P=1\,500\ \text{W}$ et un facteur de puissance $\cos\varphi_1=0{,}70$ . On veut le relever à $\cos\varphi_2=0{,}90$ . Calculer la capacité $C$ à installer en parallèle.

$\varphi_1=\arccos(0{,}70)\approx45{,}6°$ donc $\tan\varphi_1\approx1{,}020$
$\varphi_2=\arccos(0{,}90)\approx25{,}8°$ donc $\tan\varphi_2\approx0{,}484$
$Q_c = P(\tan\varphi_1-\tan\varphi_2) = 1\,500\times(1{,}020-0{,}484)$
$\approx$ $804\ \text{var}$
$C = \dfrac{Q_c}{U^{2}\omega} = \dfrac{804}{230^{2}\times314{,}2}$
$\approx$ $48{,}4\times10^{-6}\ \text{F} = 48{,}4\ \mu\text{F}$

6.4 Applications

Ces notions ne sont pas que théoriques : elles gouvernent une bonne partie du réseau électrique qui t'entoure.

Distribution SENELEC / SNE : le facteur de puissance conditionne le dimensionnement des lignes ; les gros abonnés industriels sont facturés à la fois sur l'énergie active (kWh) et, au-delà d'un certain seuil, pénalisés sur un $\cos\varphi$ trop faible.
Compteur électrique : qu'il soit électromécanique (à disque tournant) ou électronique, il intègre dans le temps la puissance active $p(t)$ , et non la puissance apparente — c'est bien $P=UI\cos\varphi$ qui détermine ta facture, en kilowattheures.
Filtre passe-bande radio : un circuit RLC branché en antenne d'un poste de radio ne laisse passer efficacement que les fréquences proches de sa fréquence propre $f_0$ (section 5) : en ajustant $C$ (le « bouton d'accord »), on choisit la station à recevoir ; un facteur de qualité $Q$ élevé permet de bien séparer deux stations proches.

Physique & Co — Galileo Ferraris et le compteur à disque

En 1885, l'ingénieur italien Galileo Ferraris découvre le principe du champ magnétique tournant, produit par des courants alternatifs déphasés — un principe qu'il ne brevette pas, convaincu, à tort, que le courant alternatif n'aurait pas d'avenir industriel. Ce même principe permet à Nikola Tesla de mettre au point, la même année, le moteur asynchrone, aujourd'hui le moteur électrique le plus répandu au monde.

Ferraris applique aussi son principe, en 1888, à un dispositif de mesure : le compteur à induction (« compteur Ferraris »), où un disque d'aluminium tourne à une vitesse proportionnelle à la puissance active consommée, ses rotations, comptées par un jeu d'engrenages, donnant directement l'énergie en kilowattheures. Ce compteur électromécanique équipera, pendant plus d'un siècle, l'immense majorité des foyers du monde — Afrique francophone comprise — avant d'être progressivement remplacé par les compteurs électroniques.

Fiche mémo

$u(t)=U_m\cos(\omega t+\varphi)$ ; $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi f$ ; $U=\dfrac{U_m}{\sqrt2}$ (idem pour $I$ ).
Déphasage $\varphi=\varphi_u-\varphi_i$ constant : en phase ( $0$ ), en avance/retard, quadrature ( $\pm\frac\pi2$ ), opposition ( $\pi$ ).
Résistor : $Z_R=R$ , $\varphi=0$ . Bobine : $Z_L=L\omega$ , $\varphi=+\dfrac\pi2$ . Condensateur : $Z_C=\dfrac1{C\omega}$ , $\varphi=-\dfrac\pi2$ .
Fresnel : vecteur de norme = amplitude (ou valeur efficace), d'angle = phase ; on additionne bout à bout (Chasles).
RLC série : $Z=\sqrt{R^{2}+\left(L\omega-\frac1{C\omega}\right)^{2}}$ ; $\tan\varphi=\dfrac{L\omega-\frac1{C\omega}}{R}$ ; $U=ZI$ .
$L\omega>\frac1{C\omega}$ : inductif ( $\varphi>0$ ). $L\omega<\frac1{C\omega}$ : capacitif ( $\varphi<0$ ). $L\omega=\frac1{C\omega}$ : résonance ( $\varphi=0$ ).
Résonance : $\omega_0=\dfrac1{\sqrt{LC}}$ ; $f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}$ ; $I_{max}=\dfrac UR$ .
Bande passante $\Delta\omega=\dfrac RL$ (indépendante de $C$ ) ; facteur de qualité $Q=\dfrac{L\omega_0}R=\dfrac{\omega_0}{\Delta\omega}=\dfrac{f_0}{\Delta f}$ .
Surtension à la résonance : $U_L=U_C=Q\,U$ , qui peut très largement dépasser $U$ si $Q>1$ .
Puissances : active $P=UI\cos\varphi$ (W), apparente $S=UI$ (VA), réactive $Q=UI\sin\varphi$ (var) ; $S^{2}=P^{2}+Q^{2}$ .
Facteur de puissance $k=\cos\varphi=\dfrac PS$ ; relèvement par condensateur en parallèle : $C=\dfrac{P(\tan\varphi_1-\tan\varphi_2)}{U^{2}\omega}$ .

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Une tension a pour expression $u(t) = 20\cos\!\left(100\pi t + \dfrac\pi6\right)$ (en volts, $t$ en secondes). Déterminer $U_m$ , $\omega$ , $f$ , $T$ , $\varphi$ , puis calculer la valeur efficace $U$ .

Voir le corrigé détaillé

par identification : $U_m=20\ \text{V}$ ; $\omega=100\pi\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}\approx314{,}2\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ ; $\varphi=\dfrac\pi6\ \text{rad} = 30°$
$f=\dfrac\omega{2\pi}=\dfrac{100\pi}{2\pi}$
$=$ $50\ \text{Hz}$
$T=\dfrac1f=\dfrac1{50}$
$=$ $0{,}020\ \text{s}=20\ \text{ms}$
$U=\dfrac{U_m}{\sqrt2}=\dfrac{20}{\sqrt2}$
$\approx$ $14{,}1\ \text{V}$

Le secteur SENELEC délivre $U=230\ \text{V}$ efficaces, $f=50\ \text{Hz}$ . Calculer l'amplitude $U_m$ . Un radiateur électrique, indiqué « 230 V ~ 50 Hz — 1000 W », se comporte comme un résistor ( $\cos\varphi=1$ ). Calculer l'intensité efficace $I$ qu'il appelle, puis l'amplitude $I_m$ .

Voir le corrigé détaillé

$U_m=U\sqrt2=230\sqrt2$
$\approx$ $325{,}3\ \text{V}$
résistor : $P=UI \Rightarrow I=\dfrac PU=\dfrac{1\,000}{230}$
$\approx$ $4{,}3\ \text{A}$
$I_m=I\sqrt2\approx4{,}3\times\sqrt2$
$\approx$ $6{,}1\ \text{A}$

Une bobine $L=50\ \text{mH}$ et un condensateur $C=20\ \mu\text{F}$ sont étudiés séparément. Calculer $Z_L$ et $Z_C$ pour $f=50\ \text{Hz}$ , puis pour $f=1\,000\ \text{Hz}$ . Commenter l'évolution de chaque réactance avec la fréquence.

Voir le corrigé détaillé

à $f=50\ \text{Hz}$ : $Z_L=L\omega=0{,}050\times2\pi\times50$
$\approx$ $15{,}7\ \Omega$
$Z_C=\dfrac1{C\omega}=\dfrac1{20\times10^{-6}\times2\pi\times50}$
$\approx$ $159{,}2\ \Omega$
à $f=1\,000\ \text{Hz}$ : $Z_L=0{,}050\times2\pi\times1\,000$
$\approx$ $314{,}2\ \Omega$
$Z_C=\dfrac1{20\times10^{-6}\times2\pi\times1\,000}$
$\approx$ $8{,}0\ \Omega$

Quand la fréquence est multipliée par $20$ , $Z_L$ est multipliée par $20$ (elle est proportionnelle à $f$ ), tandis que $Z_C$ est divisée par $20$ (elle est inversement proportionnelle à $f$ ) : la bobine s'oppose de plus en plus au courant quand $f$ augmente, le condensateur de moins en moins.

Un dipôle RLC série a $R=40\ \Omega$ , $L=0{,}20\ \text{H}$ , $C=20\ \mu\text{F}$ , et il est alimenté sous $U=100\ \text{V}$ efficaces, $f=50\ \text{Hz}$ . Calculer $Z$ , $\varphi$ et $I$ .

Voir le corrigé détaillé

$\omega=2\pi f=2\pi\times50\approx314{,}2\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$
$L\omega=0{,}20\times314{,}2\approx62{,}8\ \Omega$
$\dfrac1{C\omega}=\dfrac1{20\times10^{-6}\times314{,}2}\approx159{,}2\ \Omega$
$Z=\sqrt{R^{2}+\left(L\omega-\frac1{C\omega}\right)^{2}}=\sqrt{40^{2}+(62{,}8-159{,}2)^{2}}$
$\approx$ $104{,}3\ \Omega$
$\tan\varphi=\dfrac{62{,}8-159{,}2}{40}\approx-2{,}41$
$\Rightarrow$ $\varphi\approx-67{,}5°$ circuit capacitif : $L\omega<\frac1{C\omega}$
$I=\dfrac UZ=\dfrac{100}{104{,}3}$
$\approx$ $0{,}96\ \text{A}$

Un dipôle est soumis à $U=48\ \text{V}$ , traversé par $I=2{,}5\ \text{A}$ , avec un déphasage $\varphi=25°$ de $u$ par rapport à $i$ . Calculer la puissance active $P$ , la puissance apparente $S$ et la puissance réactive $Q$ .

Voir le corrigé détaillé

$\cos(25°)\approx0{,}906$ et $\sin(25°)\approx0{,}423$
$P=UI\cos\varphi=48\times2{,}5\times0{,}906$
$\approx$ $108{,}8\ \text{W}$
$S=UI=48\times2{,}5$
$=$ $120\ \text{VA}$
$Q=UI\sin\varphi=120\times0{,}423$
$\approx$ $50{,}7\ \text{var}$

Niveau 2 — Approfondissement

Un dipôle RLC série, de résistance $R=25\ \Omega$ , est parcouru par un courant efficace $I=2{,}0\ \text{A}$ . On donne $U_L=170\ \text{V}$ et $U_C=50\ \text{V}$ . En construisant le diagramme de Fresnel, déterminer la tension efficace $U$ aux bornes du dipôle et le déphasage $\varphi$ de $u$ par rapport à $i$ .

Voir le corrigé détaillé

On place $\vec{U_R}$ le long de l'axe de $\vec I$ , puis $\vec{U_L}$ (vers le haut) et $\vec{U_C}$ (vers le bas) à sa suite ; $\vec U$ va de l'origine à l'extrémité finale.

$U_R=RI=25\times2{,}0=50\ \text{V}$
$U_L-U_C=170-50=120\ \text{V}$
$U=\sqrt{U_R^{2}+(U_L-U_C)^{2}}=\sqrt{50^{2}+120^{2}}$
$=$ $\sqrt{2\,500+14\,400}=\sqrt{16\,900}$
$=$ $130\ \text{V}$
$\tan\varphi=\dfrac{U_L-U_C}{U_R}=\dfrac{120}{50}=2{,}4$
$\Rightarrow$ $\varphi\approx67{,}4°$ circuit inductif, $U_L>U_C$

En t'aidant de la figure 2 (oscillogramme, section 1.2), avec une base de temps de $0{,}5\ \text{ms/div}$ , détermine la période $T$ , la fréquence $f$ , puis le déphasage $\varphi$ de $u$ (voie 1) par rapport à $i$ (voie 2). Le circuit correspondant est-il plutôt inductif ou capacitif ?

Voir le corrigé détaillé

sur la figure, un motif complet occupe $8$ divisions : $T=8\times0{,}5=4{,}0\ \text{ms}$
$f=\dfrac1T=\dfrac1{4{,}0\times10^{-3}}$
$=$ $250\ \text{Hz}$
le décalage entre les deux courbes vaut $1$ division, soit $\Delta t=0{,}5\ \text{ms}$
$\varphi=\dfrac{2\pi\,\Delta t}T=\dfrac{2\pi\times1}{8}$
$=$ $\dfrac\pi4\ \text{rad}=45°$

La voie 1 ( $u$ ) est en avance sur la voie 2 ( $i$ ) : $\varphi>0$ , le circuit est inductif.

Un circuit RLC série comprend $L=0{,}80\ \text{H}$ et $C=5{,}0\ \mu\text{F}$ , avec $R=40\ \Omega$ , alimenté sous $U=6{,}0\ \text{V}$ efficaces. Calculer la fréquence de résonance $f_0$ , le facteur de qualité $Q$ , la bande passante $\Delta f$ , puis la tension efficace $U_L$ aux bornes de la bobine à la résonance.

Voir le corrigé détaillé

$\omega_0=\dfrac1{\sqrt{LC}}=\dfrac1{\sqrt{0{,}80\times5{,}0\times10^{-6}}}$
$=$ $\dfrac1{\sqrt{4{,}0\times10^{-6}}}=\dfrac1{2{,}0\times10^{-3}}=500\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$
$f_0=\dfrac{\omega_0}{2\pi}=\dfrac{500}{2\pi}$
$\approx$ $79{,}6\ \text{Hz}$
$Q=\dfrac{L\omega_0}R=\dfrac{0{,}80\times500}{40}$
$=$ $10{,}0$
$\Delta f=\dfrac{f_0}Q=\dfrac{79{,}6}{10{,}0}$
$\approx$ $8{,}0\ \text{Hz}$
$U_L=Q\,U=10{,}0\times6{,}0$
$=$ $60\ \text{V}$ soit $10$ fois la tension d'alimentation !

En observant la figure 5 (courbe de résonance $I(f)$ pour $R_1=15\ \Omega$ et $R_2=45\ \Omega$ ) :
a) laquelle des deux courbes correspond à $R_1$ ? Justifier sans calcul.
b) lire graphiquement $f_0$ , $I_{max,1}$ et $I_{max,2}$ .
c) calculer $Q_1$ et $Q_2$ , et relier leurs valeurs à l'allure des deux courbes.

Voir le corrigé détaillé

a) À la résonance, $I_{max}=\dfrac UR$ : la résistance la plus petite donne le courant maximal le plus grand. La courbe bleue (la plus haute et la plus étroite) correspond donc à $R_1=15\ \Omega$ , la courbe rouge à $R_2=45\ \Omega$ .

b) Lecture graphique : $f_0\approx159\ \text{Hz}$ (commune aux deux courbes) ; $I_{max,1}\approx0{,}60\ \text{A}$ ; $I_{max,2}\approx0{,}20\ \text{A}$ .

$\omega_0=2\pi f_0\approx2\pi\times159{,}2\approx1\,000\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$
$Q_1=\dfrac{\omega_0}{\Delta\omega_1}$ avec $\Delta\omega_1=R_1/L$ , $L=0{,}10\ \text{H}$
$=$ $\dfrac{1\,000}{15/0{,}10}=\dfrac{1\,000}{150}\approx6{,}7$
$Q_2=\dfrac{1\,000}{45/0{,}10}=\dfrac{1\,000}{450}$
$\approx$ $2{,}2$

$Q_1>Q_2$ : conforme à la courbe 1, plus haute et plus étroite (résonance plus sélective) que la courbe 2.

Un atelier, sous $U=230\ \text{V}$ , $f=50\ \text{Hz}$ , consomme $P=4\,400\ \text{W}$ avec un facteur de puissance $\cos\varphi_1=0{,}65$ . On veut le relever à $\cos\varphi_2=0{,}93$ à l'aide d'une batterie de condensateurs en parallèle. Calculer la puissance réactive à compenser $Q_c$ , puis la capacité $C$ nécessaire.

Voir le corrigé détaillé

$\varphi_1=\arccos(0{,}65)\approx49{,}5°$ $\tan\varphi_1\approx1{,}17$
$\varphi_2=\arccos(0{,}93)\approx21{,}6°$ $\tan\varphi_2\approx0{,}40$
$Q_c=P(\tan\varphi_1-\tan\varphi_2)=4\,400\times(1{,}17-0{,}40)$
$\approx$ $3\,405\ \text{var}$
$C=\dfrac{Q_c}{U^{2}\omega}=\dfrac{3\,405}{230^{2}\times314{,}2}$
$\approx$ $205\ \mu\text{F}$

Niveau 3 — Type bac

Un circuit RLC série comprend un résistor $R=60\ \Omega$ , une bobine idéale $L=0{,}30\ \text{H}$ et un condensateur $C=10\ \mu\text{F}$ . Il est alimenté par un GBF de tension efficace $U=120\ \text{V}$ , de fréquence réglée à $f=80\ \text{Hz}$ .

Calculer la pulsation $\omega$ , puis les réactances $L\omega$ et $\dfrac1{C\omega}$ .
En déduire l'impédance $Z$ du dipôle et l'intensité efficace $I$ .
Calculer le déphasage $\varphi$ de $u$ par rapport à $i$ . Préciser la nature du circuit à cette fréquence.
Calculer la fréquence propre $f_0$ du circuit. Ce résultat est-il cohérent avec la question 3 ?

Voir le corrigé détaillé

$\omega=2\pi f=2\pi\times80$
$\approx$ $502{,}7\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$
$L\omega=0{,}30\times502{,}7$
$\approx$ $150{,}8\ \Omega$
$\dfrac1{C\omega}=\dfrac1{10\times10^{-6}\times502{,}7}$
$\approx$ $198{,}9\ \Omega$

$Z=\sqrt{R^{2}+\left(L\omega-\frac1{C\omega}\right)^{2}}=\sqrt{60^{2}+(150{,}8-198{,}9)^{2}}$
$\approx$ $76{,}9\ \Omega$
$I=\dfrac UZ=\dfrac{120}{76{,}9}$
$\approx$ $1{,}56\ \text{A}$

$\tan\varphi=\dfrac{150{,}8-198{,}9}{60}\approx-0{,}80$
$\Rightarrow$ $\varphi\approx-38{,}8°$

$\varphi<0$ : $u$ est en retard sur $i$ , le circuit est capacitif à $f=80\ \text{Hz}$ .

$f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}=\dfrac1{2\pi\sqrt{0{,}30\times10\times10^{-6}}}$
$\approx$ $91{,}9\ \text{Hz}$

$f=80\ \text{Hz} < f_0\approx91{,}9\ \text{Hz}$ : on se trouve en dessous de la résonance, donc en régime capacitif — cohérent avec la question 3.

Restitution organisée de connaissances.

Démontrer que, dans un circuit RLC série alimenté sous tension efficace $U$ constante, l'intensité efficace $I(\omega)$ est maximale lorsque $\omega=\omega_0=\dfrac1{\sqrt{LC}}$ .
Un circuit RLC série a $L=0{,}15\ \text{H}$ , $C=15\ \mu\text{F}$ , $R=25\ \Omega$ , alimenté sous $U=15\ \text{V}$ efficaces. Calculer $f_0$ , $I_{max}$ , $Q$ et $\Delta f$ .
Calculer $U_L$ et $U_C$ à la résonance. Commenter.

Voir le corrigé détaillé

1. $I(\omega)=\dfrac U{Z(\omega)}$ , à $U$ fixée : $I$ est maximale quand $Z$ est minimale.

$Z(\omega)=\sqrt{R^{2}+\left(L\omega-\frac1{C\omega}\right)^{2}}$
$R^{2}$ est constant ; $Z$ est minimale quand $\left(L\omega-\frac1{C\omega}\right)^{2}$ est minimal, c'est-à-dire nul (un carré est toujours $\geqslant0$ )
$\Rightarrow$ $Z$ minimale lorsque $L\omega=\dfrac1{C\omega}$
$\Rightarrow$ $\omega^{2}=\dfrac1{LC}$
$\Rightarrow$ $\omega_0=\dfrac1{\sqrt{LC}}$ racine positive

$\omega_0=\dfrac1{\sqrt{0{,}15\times15\times10^{-6}}}\approx666{,}7\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$
$f_0=\dfrac{666{,}7}{2\pi}\approx106{,}1\ \text{Hz}$
$I_{max}=\dfrac UR=\dfrac{15}{25}=0{,}60\ \text{A}$
$Q=\dfrac{L\omega_0}R=\dfrac{0{,}15\times666{,}7}{25}\approx4{,}0$
$\Delta f=\dfrac{f_0}Q=\dfrac{106{,}1}{4{,}0}\approx26{,}5\ \text{Hz}$

$U_L=U_C=Q\,U=4{,}0\times15$
$=$ $60\ \text{V}$

Bien que $U=15\ \text{V}$ seulement, chacune des tensions $U_L$ et $U_C$ atteint $60\ \text{V}$ : c'est le phénomène de surtension, ici multiplié par $Q=4$ .

Une installation industrielle, alimentée sous $U=400\ \text{V}$ , absorbe une puissance active $P=15\,000\ \text{W}$ avec un facteur de puissance $\cos\varphi_1=0{,}72$ .

Calculer l'intensité efficace $I_1$ en ligne, la puissance apparente $S_1$ et la puissance réactive $Q_1$ .
Le fournisseur d'électricité pénalise financièrement les installations dont $\cos\varphi<0{,}80$ . Cette installation est-elle concernée ?
On installe une batterie de condensateurs pour porter $\cos\varphi$ à $0{,}93$ . Calculer la puissance réactive $Q_c$ à compenser, puis la capacité $C$ (on prendra $\omega\approx314\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ ).
Calculer la nouvelle intensité efficace $I_2$ en ligne et le pourcentage de réduction par rapport à $I_1$ . Conclure.

Voir le corrigé détaillé

$S_1=\dfrac{P}{\cos\varphi_1}=\dfrac{15\,000}{0{,}72}$
$\approx$ $20\,833\ \text{VA}\approx20{,}8\ \text{kVA}$
$I_1=\dfrac{S_1}U=\dfrac{20\,833}{400}$
$\approx$ $52{,}1\ \text{A}$
$\varphi_1=\arccos(0{,}72)\approx44{,}0°$ $\tan\varphi_1\approx0{,}964$
$Q_1=P\tan\varphi_1=15\,000\times0{,}964$
$\approx$ $14\,460\ \text{var}$

2. $\cos\varphi_1=0{,}72<0{,}80$ : l'installation est bien pénalisée.

$\varphi_2=\arccos(0{,}93)\approx21{,}6°$ $\tan\varphi_2\approx0{,}395$
$Q_c=P(\tan\varphi_1-\tan\varphi_2)=15\,000\times(0{,}964-0{,}395)$
$\approx$ $8\,530\ \text{var}$
$C=\dfrac{Q_c}{U^{2}\omega}=\dfrac{8\,530}{400^{2}\times314}$
$\approx$ $170\ \mu\text{F}$

$S_2=\dfrac{P}{\cos\varphi_2}=\dfrac{15\,000}{0{,}93}\approx16\,129\ \text{VA}$
$I_2=\dfrac{S_2}U=\dfrac{16\,129}{400}\approx40{,}3\ \text{A}$
réduction $=\dfrac{I_1-I_2}{I_1}=\dfrac{52{,}1-40{,}3}{52{,}1}$
$\approx$ $23\ \%$

L'intensité en ligne chute d'environ un quart : les pertes par effet Joule dans les câbles (proportionnelles à $I^{2}$ ) sont, elles, réduites d'environ $41\ \%$ — d'où l'intérêt économique du relèvement du facteur de puissance.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

L'atelier de Fatou (Dakar). Fatou dirige un atelier de couture équipé de machines à coudre électriques (moteurs asynchrones). Sous $U=230\ \text{V}$ , $f=50\ \text{Hz}$ , l'atelier absorbe une puissance active $P=6\,000\ \text{W}$ avec un facteur de puissance $\cos\varphi_1=0{,}68$ . SENELEC pénalise les abonnés dont $\cos\varphi<0{,}80$ .

Fatou risque-t-elle une pénalité ? Calculer $S_1$ et l'intensité $I_1$ appelée.
Un technicien propose des condensateurs en parallèle pour porter $\cos\varphi$ à $0{,}95$ . Calculer la capacité $C$ nécessaire ( $\omega\approx314\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ ).
Calculer la nouvelle intensité $I_2$ et le pourcentage de réduction obtenu.

Voir le corrigé détaillé

$0{,}68<0{,}80$ : Fatou est bien exposée à une pénalité
$S_1=\dfrac P{\cos\varphi_1}=\dfrac{6\,000}{0{,}68}\approx8\,824\ \text{VA}$
$I_1=\dfrac{S_1}U=\dfrac{8\,824}{230}$
$\approx$ $38{,}4\ \text{A}$

$\varphi_1=\arccos(0{,}68)\approx47{,}2°$ $\tan\varphi_1\approx1{,}080$
$\varphi_2=\arccos(0{,}95)\approx18{,}2°$ $\tan\varphi_2\approx0{,}329$
$Q_c=P(\tan\varphi_1-\tan\varphi_2)=6\,000\times(1{,}080-0{,}329)$
$\approx$ $4\,500\ \text{var}$
$C=\dfrac{Q_c}{U^{2}\omega}=\dfrac{4\,500}{230^{2}\times314}$
$\approx$ $271\ \mu\text{F}$

$S_2=\dfrac P{\cos\varphi_2}=\dfrac{6\,000}{0{,}95}\approx6\,316\ \text{VA}$
$I_2=\dfrac{6\,316}{230}\approx27{,}5\ \text{A}$
réduction $\approx\dfrac{38{,}4-27{,}5}{38{,}4}\approx28\ \%$

En installant les condensateurs, Fatou évite la pénalité et réduit l'intensité appelée de près de $28\ \%$ .

Le poste radio d'Ibrahim (N'Djamena). Ibrahim construit un récepteur radio simple dont le circuit d'accord comporte une bobine $L=200\ \mu\text{H}$ et un condensateur variable $C$ , en série avec une résistance de pertes $r=5{,}0\ \Omega$ (résistance interne de la bobine). Il veut capter une station émettant à $f_0=630\ \text{kHz}$ .

Calculer la capacité $C$ à régler pour que le circuit résonne à $630\ \text{kHz}$ .
Calculer le facteur de qualité $Q$ de ce circuit, puis sa bande passante $\Delta f$ .
Une station concurrente émet à $640\ \text{kHz}$ , soit $10\ \text{kHz}$ plus haut. Sera-t-elle correctement séparée de la première par ce montage ?

Voir le corrigé détaillé

$\omega_0=2\pi f_0=2\pi\times630\times10^{3}$
$\approx$ $3{,}96\times10^{6}\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$
$\omega_0=\dfrac1{\sqrt{LC}}\Rightarrow C=\dfrac1{L\omega_0^{2}}$
$C=\dfrac1{200\times10^{-6}\times(3{,}96\times10^{6})^{2}}$
$\approx$ $3{,}19\times10^{-10}\ \text{F}=319\ \text{pF}$

$Q=\dfrac{L\omega_0}r=\dfrac{200\times10^{-6}\times3{,}96\times10^{6}}{5{,}0}$
$\approx$ $158$
$\Delta f=\dfrac{f_0}Q=\dfrac{630}{158}$
$\approx$ $4{,}0\ \text{kHz}$

3. La demi-largeur de la bande passante vaut $\dfrac{\Delta f}2\approx2{,}0\ \text{kHz}$ : le montage laisse donc passer, autour de $630\ \text{kHz}$ , les fréquences comprises approximativement entre $628$ et $632\ \text{kHz}$ . La station à $640\ \text{kHz}$ se trouve à $10\ \text{kHz}$ du pic, bien au-delà de cette demi-largeur ( $2{,}0\ \text{kHz}$ ) : elle sera donc efficacement rejetée, grâce au facteur de qualité élevé de ce circuit.

La pompe d'irrigation de Kwame (près de Douala). Kwame alimente une pompe d'irrigation immergée sous $U=230\ \text{V}$ , $f=50\ \text{Hz}$ . La plaque signalétique indique $P=1\,800\ \text{W}$ , $\cos\varphi=0{,}80$ .

Calculer l'intensité efficace $I$ appelée en fonctionnement normal.
Calculer l'énergie active consommée pour une saison de $250\ \text{h}$ de pompage, puis son coût, sachant que l'électricité est facturée $100\ \text{F CFA/kWh}$ .
Le moteur asynchrone appelle, au démarrage, un courant égal à $5$ fois l'intensité nominale. Calculer ce courant de démarrage. Parmi les calibres commerciaux $16\ \text{A}$ , $20\ \text{A}$ , $25\ \text{A}$ , $32\ \text{A}$ , $40\ \text{A}$ , $50\ \text{A}$ , $63\ \text{A}$ , quel est le calibre minimal du disjoncteur à choisir ?

Voir le corrigé détaillé

$P=UI\cos\varphi\Rightarrow I=\dfrac{P}{U\cos\varphi}$
$I=\dfrac{1\,800}{230\times0{,}80}$
$\approx$ $9{,}8\ \text{A}$

$E=P\times t=1{,}8\times250$
$=$ $450\ \text{kWh}$
coût $=450\times100$
$=$ $45\,000\ \text{F CFA}$

$I_{demarrage}=5\times I=5\times9{,}8$
$\approx$ $48{,}9\ \text{A}$

Le disjoncteur doit supporter, sans déclencher, $48{,}9\ \text{A}$ : parmi les calibres proposés, le premier à dépasser cette valeur est $50\ \text{A}$ — c'est le calibre minimal à installer (un calibre de $40\ \text{A}$ déclencherait à chaque démarrage).

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Radioactivité et décroissance

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Dans l'écriture $u(t) = U_m \cos(\omega t + \varphi)$ , la grandeur $\omega$ est appelée :

la fréquence, en hertz la période, en secondes la pulsation, en radians par seconde la phase à l'origine, en radians

Explication :

\omega

est la pulsation, en

\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}

; elle est liée à la période

T

et à la fréquence

f

par

\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f

La pulsation $\omega$ d'une grandeur sinusoïdale de période $T$ vérifie :

\omega = \dfrac{2\pi}{T}

\omega = \dfrac{T}{2\pi}

\omega = 2\pi T

\omega = \dfrac{1}{2\pi T}

Explication : Une période

T

correspond à un tour complet, soit un angle de

2\pi

radians parcouru en un temps

T

\omega = \dfrac{2\pi}{T}

. C'est aussi

\omega = 2\pi f

, avec

f = \dfrac{1}{T}

Un multimètre placé en position « alternatif » (AC) affiche toujours :

l'amplitude de la tension la valeur moyenne de la tension la valeur instantanée de la tension la valeur efficace de la tension

Explication : Un appareil en position alternatif affiche la valeur efficace. La valeur moyenne d'une sinusoïde pure est nulle, ce qui en ferait une mesure inutile.

Le secteur SENELEC délivre une tension d'amplitude $U_m \approx 325\ \text{V}$ . Sa valeur efficace $U$ vaut environ :

460\ \text{V}

230\ \text{V}

325\ \text{V}

162\ \text{V}

Explication :

U = \dfrac{U_m}{\sqrt2}

U = \dfrac{325}{\sqrt2}

U \approx 230\ \text{V}

, la valeur nominale bien connue du secteur.

Soit $\varphi = \varphi_u - \varphi_i$ le déphasage de $u$ par rapport à $i$ . Si $\varphi > 0$ , alors :

u

est en retard sur

i

u

est en avance sur

i

u

i

sont en phase

u

i

sont en quadrature

Explication : Par définition,

\varphi>0

signifie que la phase instantanée de

u

dépasse celle de

i

u

atteint son maximum avant

i

, donc

u

est en avance.

Aux bornes d'un résistor $R$ parcouru par un courant sinusoïdal, le déphasage de la tension par rapport au courant vaut :

0

\dfrac{\pi}{2}

-\dfrac{\pi}{2}

\pi

Explication : La loi d'Ohm instantanée

u_R(t) = R\,i(t)

est valable à chaque instant :

u_R

i

sont donc en phase, quelle que soit la fréquence.

Une bobine idéale d'inductance $L = 0{,}20\ \text{H}$ est parcourue par un courant efficace $I = 0{,}50\ \text{A}$ de fréquence $f = 50\ \text{Hz}$ . La tension efficace $U_L$ à ses bornes vaut environ :

62{,}8\ \text{V}

15{,}7\ \text{V}

31{,}4\ \text{V}

125{,}6\ \text{V}

Explication :

Z_L = L\omega = 0{,}20\times2\pi\times50

Z_L \approx 62{,}8\ \Omega

U_L = Z_L\,I = 62{,}8\times0{,}50

U_L \approx 31{,}4\ \text{V}

Un condensateur de capacité $C = 20\ \mu\text{F}$ est traversé par un courant de fréquence $f = 50\ \text{Hz}$ . Sa réactance capacitive $Z_C$ vaut environ :

15{,}9\ \Omega

318\ \Omega

1{,}59\ \Omega

159\ \Omega

Explication :

Z_C = \dfrac{1}{C\omega} = \dfrac{1}{20\times10^{-6}\times2\pi\times50}

Z_C \approx 159\ \Omega

Aux bornes d'un condensateur, la tension $u_C$ est en retard de $\dfrac{\pi}{2}$ sur le courant $i$ . Autrement dit, le courant $i$ est :

en avance de

\dfrac{\pi}{2}

sur

u_C

en retard de

\dfrac{\pi}{2}

sur

u_C

en phase avec

u_C

en opposition de phase avec

u_C

Explication : Le déphasage est réciproque : si

u_C

est en retard de

\dfrac{\pi}{2}

sur

i

, c'est équivalent à dire que

i

est en avance de

\dfrac{\pi}{2}

sur

u_C

Dans une construction de Fresnel, tous les vecteurs associés aux grandeurs d'un même circuit tournent :

à des vitesses différentes, proportionnelles à leur amplitude dans le sens horaire uniquement à la même vitesse angulaire

\omega

à une vitesse qui dépend du déphasage

Explication : Toutes les grandeurs d'un circuit alimenté à la pulsation

\omega

ont cette même pulsation ; leurs vecteurs de Fresnel tournent donc tous à la vitesse

\omega

, ce qui fige les angles entre eux.

La somme de deux grandeurs sinusoïdales de même pulsation se construit, sur un diagramme de Fresnel, en effectuant :

le produit des deux vecteurs la somme vectorielle des deux vecteurs (bout à bout) la différence des deux vecteurs la moyenne des deux normes seulement

Explication : La projection sur l'axe de référence étant une opération linéaire, la projection de la somme des vecteurs est la somme des projections : on place donc les vecteurs bout à bout (relation de Chasles).

Un circuit RLC série a pour résistance $R = 30\ \Omega$ ; à la pulsation étudiée, $L\omega = 90\ \Omega$ et $\dfrac{1}{C\omega} = 50\ \Omega$ . Son impédance $Z$ vaut :

40\ \Omega

70\ \Omega

140\ \Omega

50\ \Omega

Explication :

Z = \sqrt{R^{2} + (L\omega-\frac1{C\omega})^{2}} = \sqrt{30^{2}+(90-50)^{2}}

= \sqrt{900+1\,600} = \sqrt{2\,500}

Z = 50\ \Omega

Pour ce même circuit ( $R=30\ \Omega$ , $L\omega=90\ \Omega$ , $\frac1{C\omega}=50\ \Omega$ ), le déphasage $\varphi$ de $u$ par rapport à $i$ et la nature du circuit sont :

inductif,

\varphi>0

capacitif,

\varphi<0

résistif pur,

\varphi=0

impossible à déterminer sans connaître

\omega

Explication :

\tan\varphi = \dfrac{L\omega-\frac1{C\omega}}{R} = \dfrac{90-50}{30} = \dfrac{40}{30}\approx1{,}33

\varphi\approx53°>0

comme

L\omega>\frac1{C\omega}

, le circuit est inductif.

Un circuit RLC série comporte $L = 0{,}50\ \text{H}$ et $C = 2{,}0\ \mu\text{F}$ . Sa fréquence propre $f_0$ vaut environ :

1\,000\ \text{Hz}

15{,}9\ \text{Hz}

159\ \text{Hz}

318\ \text{Hz}

Explication :

\omega_0 = \dfrac1{\sqrt{LC}} = \dfrac1{\sqrt{0{,}50\times2{,}0\times10^{-6}}}

\omega_0 = \dfrac1{10^{-3}} = 1\,000\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}

f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi} \approx 159\ \text{Hz}

La largeur de la bande passante à $\dfrac1{\sqrt2}$ d'un circuit RLC série, $\Delta\omega = \dfrac{R}{L}$ , dépend :

R

et de

C

uniquement de

R

et de

L

uniquement de

L

et de

C

uniquement de

R

L

C

tous les trois

Explication : La formule

\Delta\omega = \dfrac{R}{L}

ne fait intervenir ni

C

\omega_0

: c'est un piège classique de vouloir y faire apparaître

C

, qui n'intervient, lui, que dans la position

\omega_0

du pic.

Un circuit RLC série a une fréquence propre $f_0 = 200\ \text{Hz}$ et une bande passante $\Delta f = 25\ \text{Hz}$ . Son facteur de qualité $Q$ vaut :

25

0{,}125

5\,000

8

Explication :

Q = \dfrac{f_0}{\Delta f} = \dfrac{200}{25}

Q = 8

À la résonance, un circuit RLC série a un facteur de qualité $Q = 5{,}0$ et est alimenté sous $U = 10\ \text{V}$ efficaces. La tension efficace $U_L$ aux bornes de la bobine vaut alors :

50\ \text{V}

10\ \text{V}

2{,}0\ \text{V}

15\ \text{V}

Explication : À la résonance,

U_L = Q\,U = 5{,}0\times10

U_L = 50\ \text{V}

.
Cette « surtension », très supérieure à

U

, n'est pas contradictoire :

u_L(t)

u_C(t)

restent en opposition de phase à chaque instant et s'annulent, si bien que

u(t)=u_R(t)

malgré des valeurs efficaces individuelles élevées.

Un dipôle est soumis à une tension efficace $U = 220\ \text{V}$ , traversé par un courant efficace $I = 10\ \text{A}$ , avec un déphasage $\varphi = 60°$ ( $\cos60°=0{,}5$ ). Sa puissance active $P$ vaut :

2\,200\ \text{W}

1\,904{,}6\ \text{var}

1\,100\ \text{W}

2\,200\ \text{VA}

Explication :

P = U\,I\,\cos\varphi = 220\times10\times0{,}5

P = 1\,100\ \text{W}

220\times10 = 2\,200\ \text{VA}

est la puissance apparente

S

, pas la puissance active : oublier

\cos\varphi

est le piège classique.

Pour relever le facteur de puissance d'une installation à charge inductive (moteurs), on installe une batterie de condensateurs :

en série avec l'installation il faut en réalité une bobine supplémentaire, pas un condensateur cela ne change rien au facteur de puissance en dérivation (en parallèle) aux bornes de l'installation

Explication : Un condensateur placé en dérivation fournit de la puissance réactive, ce qui compense celle consommée par les moteurs, sans changer la puissance active

P

: le facteur de puissance

\cos\varphi

se rapproche de

1

Un atelier, sous $U = 230\ \text{V}$ , consomme une puissance active $P = 5\,000\ \text{W}$ avec un facteur de puissance $\cos\varphi_1 = 0{,}70$ . Sa puissance apparente $S_1$ vaut environ :

3\,500\ \text{VA}

7\,143\ \text{VA}

5\,000\ \text{VA}

10\,000\ \text{VA}

Explication :

S_1 = \dfrac{P}{\cos\varphi_1} = \dfrac{5\,000}{0{,}70}

S_1 \approx 7\,143\ \text{VA}

.
Cette puissance apparente, supérieure à

P

, conditionne le dimensionnement des câbles : c'est pourquoi SENELEC pénalise un

\cos\varphi

trop faible.