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Lentilles minces et images

Étudier les lentilles convergentes et la formation des images.

Physique 4ème Chapitre 7 / 9 ⏱ 7 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Construire l'image d'un objet par une lentille convergente
  • Mesurer une distance focale
  • Déterminer un grandissement

Regarde autour de toi : les lunettes de ta grand-mère, l'objectif de l'appareil photo de ton téléphone, la loupe du bijoutier au marché, le vidéoprojecteur de ta salle de classe… tous ces objets contiennent au moins une lentille. Une simple lentille en verre ou en plastique, correctement taillée, suffit à faire converger la lumière, à fabriquer une image nette sur un écran, ou à agrandir ce que ton œil ne distingue plus.

Tu as déjà étudié la réflexion de la lumière sur un miroir, puis sa réfraction quand elle change de milieu. Une lentille, c'est justement un morceau de verre à deux faces, souvent courbes, qui fait dévier — réfracter — les rayons lumineux qui la traversent. Ce chapitre te donne les règles précises pour prévoir, par un simple dessin, où se forme l'image d'un objet à travers une lentille : est-elle nette ou floue, droite ou renversée, plus grande ou plus petite que l'objet ?

Ce qui change par rapport à la réfraction simple, c'est que tu vas maintenant construire une image entière, point par point, à l'aide de trois rayons dont le trajet est connu à l'avance — un vrai jeu de géométrie au service de la physique. Tu apprendras aussi à mesurer une distance focale, à calculer un grandissement, et tu comprendras enfin comment fonctionnent ton œil et l'appareil photo qui l'imite.

1Lentilles convergentes et divergentes

Une lentille est un bloc de verre ou de plastique transparent, limité par deux faces dont au moins une est courbe (sphérique, le plus souvent). On dit qu'elle est mince lorsque son épaisseur est petite devant les rayons de courbure de ses faces : c'est le cas de toutes les lentilles étudiées dans ce chapitre.

Définition

Une lentille est convergente si elle fait converger (se rapprocher, puis se croiser) un faisceau de rayons lumineux parallèles. Elle est divergente si elle fait diverger (s'écarter) un tel faisceau.

Au toucher, une lentille convergente a des bords minces et un centre épais (elle « bombe » au milieu) ; une lentille divergente a des bords épais et un centre mince (elle est creusée au milieu).

Toutes deux possèdent un centre optique, noté O, et un axe optique : la droite qui passe par O et par les centres des deux faces courbes, perpendiculaire à la lentille en O. C'est l'axe de symétrie de tout le montage.

Propriété

Un rayon lumineux qui passe par le centre optique O d'une lentille mince n'est pas dévié : il poursuit sa trajectoire en ligne droite. C'est vrai pour une lentille convergente comme pour une lentille divergente.

Lentille convergente : effet sur un faisceau parallèle O F′ F f′ = OF′
Figure 1 — Une lentille convergente fait converger un faisceau de rayons parallèles à l'axe optique en un point unique, le foyer image F′. La distance OF′ est la distance focale f′.
Lentille divergente : effet sur un faisceau parallèle O F′ f′ = OF′ (virtuel)
Figure 2 — Une lentille divergente fait diverger un faisceau parallèle : les rayons émergents semblent provenir d'un point virtuel, le foyer image F′, situé du même côté que la lumière incidente.
Attention

Ne confonds pas les deux foyers vus en figures 1 et 2. Pour une lentille convergente, les rayons se croisent vraiment en F′ : la lumière y passe réellement, F′ est réel. Pour une lentille divergente, aucun rayon ne passe par F′ : ce point n'existe que parce qu'on prolonge les rayons émergents en pointillés vers l'arrière. F′ est virtuel.

Physique & Co — Les premières lunettes

Vers 1286, dans le nord de l'Italie (autour de Pise puis de Venise, réputée pour ses verriers), des artisans assemblent les toutes premières lunettes : deux lentilles convergentes montées sur un support, destinées à compenser la presbytie qui rend la lecture difficile avec l'âge. Le moine florentin Alessandro della Spina (mort en 1313) en popularise la fabrication après avoir observé un exemplaire.

Il faudra attendre le XVIe siècle pour que les lentilles divergentes, qui corrigent la myopie, se répandent à leur tour. Depuis, la lentille mince n'a cessé de démultiplier la puissance de l'œil humain — jusqu'au télescope de Galilée, en 1609.

2Foyers, distance focale, vergence

Les figures précédentes ont fait apparaître un point particulier, le foyer image F′. Il en existe un second, le foyer objet F, symétrique de F′ par rapport au centre optique O.

Définition

Le foyer image F′ est le point où se croisent (ou semblent provenir) les rayons issus d'un faisceau incident parallèle à l'axe optique.

Le foyer objet F est le point de l'axe optique tel que tout rayon incident passant par F émerge de la lentille parallèle à l'axe optique.

Pour une lentille mince, F et F′ sont symétriques par rapport à O : OF=OF′OF = OF'.

La distance focale f′f' d'une lentille est la distance entre le centre optique et le foyer image : f′=OF′‾f' = \overline{OF'}. Elle se mesure en mètres. Pour une lentille convergente, f′f' est positive (F′ est à droite de O, du côté où la lumière ressort) ; pour une lentille divergente, f′f' est négative.

Méthode — mesurer la distance focale d'une lentille convergente

On place la lentille face à un objet très éloigné (le paysage vu par la fenêtre, par exemple). Pour un objet à l'infini, les rayons qu'il envoie sur la lentille arrivent parallèles entre eux : ils convergent donc exactement en F′ (figure 1). Il suffit de déplacer un écran derrière la lentille jusqu'à obtenir une image bien nette : la distance entre la lentille et l'écran est alors égale à f′f'.

Plus une lentille convergente est bombée, plus elle dévie fortement la lumière, et plus sa distance focale est courte. On préfère souvent caractériser une lentille par sa vergence, qui mesure directement cette « puissance » de convergence.

Propriété — vergence d'une lentille

C=1f′C = \dfrac{1}{f'}

où f′f' est exprimée en mètres et CC en dioptries (symbole δ\delta). Une lentille convergente a une vergence positive ; une lentille divergente, une vergence négative. Plus ∣C∣|C| est grand, plus la lentille dévie fortement la lumière.

Exemple — calculer une vergence

Une lentille convergente a une distance focale f′=25 cmf' = 25\ \text{cm}. Calculons sa vergence.

  1. f′=25 cm=0,25 mf' = 25\ \text{cm} = 0{,}25\ \text{m}on convertit en mètres
  2. C=1f′C = \dfrac{1}{f'}
  3. ==10,25\dfrac{1}{0{,}25}
  4. ==4 δ4\ \delta

Une lentille divergente de vergence C=−2 δC = -2\ \delta a pour distance focale f′=1−2=−0,5 mf' = \dfrac{1}{-2} = -0{,}5\ \text{m} : le foyer image virtuel se trouve à 50 cm50\ \text{cm} de la lentille, du côté de la lumière incidente.

Exemple — application aux lunettes

Les opticiens graduent les verres correcteurs en dioptries. Un verre convergent de +2 δ+2\ \delta corrige l'hypermétropie (l'œil ne converge pas assez) ou la presbytie ; un verre divergent de −3 δ-3\ \delta corrige la myopie (l'œil converge trop, l'image se forme avant la rétine). Sur une ordonnance, « OD : −2,5 δ-2{,}5\ \delta » signifie qu'il faut, pour l'œil droit, une lentille divergente de distance focale f′=1−2,5=−0,4 mf' = \dfrac{1}{-2{,}5} = -0{,}4\ \text{m}, soit −40 cm-40\ \text{cm}.

Physique & Co — Ibn al-Haytham, le fondateur de l'optique

Au Caire, entre 1011 et 1021, le savant Ibn al-Haytham (latinisé « Alhazen ») rédige le Kitab al-Manazir (« Livre d'optique »), sept volumes qui rompent avec les idées antiques selon lesquelles l'œil émettrait lui-même des rayons vers les objets. Il montre au contraire que c'est la lumière, venue des objets, qui pénètre dans l'œil — et il l'étudie par l'expérience, avec des chambres noires et des lentilles de verre.

Traduit en latin au XIIe siècle, son ouvrage influencera directement Kepler, puis Newton. On considère souvent Ibn al-Haytham comme le premier savant à avoir appliqué une méthode réellement expérimentale à l'étude de la lumière — près de six siècles avant Galilée.

3Rayons particuliers

Un objet envoie une infinité de rayons lumineux dans toutes les directions. Il serait impossible de tous les tracer ! Heureusement, pour construire une image, il suffit de connaître le trajet de deux rayons bien choisis — un troisième sert de vérification. On les appelle les rayons particuliers, car leur trajet à travers la lentille est connu à l'avance, sans calcul.

Méthode — les trois rayons particuliers (lentille convergente)
  • Règle 1 — un rayon incident parallèle à l'axe optique émerge de la lentille en passant par le foyer image F′.
  • Règle 2 — un rayon incident passant par le centre optique O n'est pas dévié.
  • Règle 3 — un rayon incident passant par le foyer objet F émerge de la lentille parallèle à l'axe optique.
Règle 1 F′ O Règle 2 O Règle 3 F O
Figure 3 — Les trois rayons particuliers d'une lentille convergente : le trajet de chacun se déduit directement des définitions de F et F′, sans aucun calcul.
Attention

La règle 2 (rayon par le centre optique, non dévié) reste valable pour une lentille divergente. En revanche, pour une lentille divergente, les règles 1 et 3 font intervenir le foyer virtuel : le rayon émergent ne passe pas réellement par F′ ou par F, il faut prolonger le rayon en pointillés (comme en figure 2).

4Construction d'une image

Un objet AB est toujours placé perpendiculairement à l'axe optique, son pied A sur l'axe. Comme le pied A est sur l'axe, son image A′ est aussi sur l'axe (un rayon confondu avec l'axe n'est jamais dévié) : il suffit donc de construire l'image B′ du sommet B, à l'aide de deux rayons particuliers, pour obtenir toute l'image A′B′.

4.1  Méthode générale

Méthode — construire l'image A′B′ d'un objet AB
  1. Tracer, depuis B, le rayon parallèle à l'axe : il émerge en passant par F′ (règle 1).
  2. Tracer, depuis B, le rayon passant par le centre optique O : il n'est pas dévié (règle 2).
  3. Le point B′, image de B, est le point où ces deux rayons se croisent (ou dont les prolongements se croisent, si l'image est virtuelle).
  4. Le rayon par le foyer objet F (règle 3) permet de vérifier la construction : il doit passer, lui aussi, par B′.
  5. A′, pied de l'image, est le projeté de B′ sur l'axe optique.
Définition

Une image est réelle lorsque les rayons lumineux se croisent réellement en ce point : on peut la recueillir sur un écran. Elle est virtuelle lorsque ce sont seulement les prolongements des rayons (en pointillés) qui se croisent : aucun écran ne peut la recevoir, mais l'œil, placé derrière la lentille, la voit malgré tout.

Objet au-delà de 2F : image réelle, renversée, réduite 2F F O F′ 2F′ B A B′ A′
Figure 4 — Construction de l'image A′B′ d'un objet AB placé au-delà de 2F, à 3f′3f' de la lentille (avec f′=20 cmf' = 20\ \text{cm}, soit un objet à 60 cm60\ \text{cm}). Les trois rayons se croisent en B′ : l'image est réelle (recueillie sur un écran), renversée et réduite, à 30 cm30\ \text{cm} de la lentille.
Exemple — lire une construction

Sur la figure 4, le rayon bleu (règle 1) part de B parallèlement à l'axe, puis passe par F′ après la lentille. Le rayon vert (règle 2) part de B et traverse O sans dévier. Le rayon rouge (règle 3) part de B en direction de F, puis émerge parallèle à l'axe. Les trois rayons se croisent au même point B′ : c'est la meilleure preuve que la construction est juste. C'est exactement ce principe qu'utilise un appareil photo : l'objectif forme, sur le capteur, une image réelle et réduite de la scène photographiée.

4.2  Cas de la loupe : objet entre F et O

Que se passe-t-il si l'on rapproche l'objet de la lentille, jusqu'à le placer entre le foyer objet F et le centre optique O ? Les rayons émergents, cette fois, ne se croisent jamais réellement : ils s'écartent après la lentille. C'est en prolongeant ces rayons vers l'arrière, en pointillés, que l'on trouve leur point de croisement — l'image, nécessairement virtuelle.

Objet entre F et O : image virtuelle, droite, agrandie (loupe) F O F′ B A B′ A′
Figure 5 — Objet AB placé entre F et O, à 12 cm12\ \text{cm} d'une lentille de distance focale f′=20 cmf' = 20\ \text{cm}. Les rayons émergents divergent ; leurs prolongements (pointillés) se croisent en B′, à 30 cm30\ \text{cm} devant la lentille, du même côté que l'objet. L'image est virtuelle, droite et agrandie : c'est le principe de la loupe.
Attention

Une erreur fréquente : croire qu'une lentille convergente donne toujours une image réelle et renversée. C'est faux ! Tout dépend de la position de l'objet par rapport à F : au-delà de F, l'image est réelle et renversée (figure 4) ; entre F et O, elle devient virtuelle, droite et agrandie (figure 5).

4.3  Le modèle simplifié de l'œil

L'œil est un instrument d'optique naturel. Pour l'étudier en physique, on le simplifie à l'extrême : une lentille convergente (le cristallin, aidé par la cornée) forme l'image sur un écran fixe, la rétine, tapissée de cellules sensibles à la lumière reliées au cerveau par le nerf optique.

Modèle simplifié de l'œil : lentille + écran-rétine objet cristallin rétine (écran) image
Figure 6 — Modèle simplifié de l'œil : le cristallin (lentille convergente) forme, sur la rétine (écran fixe), une image réelle et renversée de l'objet observé. Le cerveau « redresse » ensuite l'image perçue.

Une différence essentielle avec une lentille de laboratoire : la distance entre le cristallin et la rétine est fixe. Pour qu'un objet, proche ou lointain, forme toujours une image nette sur la rétine, c'est le cristallin lui-même qui change de forme et donc de distance focale : c'est l'accommodation. Un œil qui accommode mal donne une vision floue — d'où le besoin de lunettes correctrices, vues en section 2.

4.4  L'appareil photo

L'appareil photo reprend exactement le même principe que l'œil, en version mécanique : un objectif (une ou plusieurs lentilles convergentes) forme une image réelle et renversée sur un capteur électronique (ou, autrefois, sur une pellicule). Contrairement à l'œil, c'est ici la distance entre l'objectif et le capteur qui varie légèrement lors de la mise au point, la distance focale de l'objectif restant fixe (sauf zoom).

Principe de l'appareil photo objectif capteur objet éloigné image
Figure 7 — Dans l'appareil photo, l'objectif forme sur le capteur une image réelle, renversée et fortement réduite de la scène photographiée — exactement comme en figure 4.
Physique & Co — Les premières photographies

En 1826 ou 1827, dans sa propriété du Gras, près de Chalon-sur-Saône, l'inventeur français Nicéphore Niépce réalise la plus ancienne photographie conservée au monde, le Point de vue du Gras : une chambre noire munie d'une lentille, et une plaque d'étain recouverte de bitume en guise de « capteur », qu'il faut exposer plus de huit heures au soleil.

Son associé Louis Daguerre perfectionne le procédé et présente, en 1839, le daguerréotype, rendu public par l'Académie des sciences de Paris. Le principe optique de la lentille formant une image réelle sur un capteur, lui, n'a pas changé depuis — seul le capteur est devenu numérique.

5Relation de conjugaison (approche)

La construction géométrique donne la position de l'image, mais un dessin manque toujours un peu de précision. Une formule permet de calculer exactement la position de l'image, à partir de celle de l'objet et de la distance focale de la lentille.

Convention de signe

On oriente l'axe optique dans le sens de propagation de la lumière (vers la droite). Une distance algébrique OA‾\overline{OA} est positive si A est à droite de O, négative si A est à gauche de O. Un objet réel est toujours à gauche de la lentille : OA‾<0\overline{OA} < 0.

Propriété — relation de conjugaison

1OA′‾−1OA‾=1OF′‾=1f′\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{\overline{OF'}} = \dfrac{1}{f'}

A est la position de l'objet, A′ celle de l'image, toutes deux mesurées depuis le centre optique O. Si OA′‾>0\overline{OA'} > 0, l'image est réelle (à droite de la lentille) ; si OA′‾<0\overline{OA'} < 0, elle est virtuelle (à gauche, du même côté que l'objet).

Démonstration — idée de la preuve

On admet ce résultat en 4ème, mais voici l'idée. Sur la figure 4, notons I le point où le rayon parallèle à l'axe traverse la lentille : OI=ABOI = AB. Les triangles F′OIF'OI et F′A′B′F'A'B' sont semblables (mêmes angles), ce qui donne A′B′OI=F′A′F′O\dfrac{A'B'}{OI} = \dfrac{F'A'}{F'O}. Par ailleurs, les triangles OABOAB et OA′B′OA'B' sont semblables (angles opposés par le sommet O), ce qui donne A′B′AB=OA′OA\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{OA'}{OA} (c'est le grandissement, section 6). En combinant ces deux égalités de triangles semblables et en exprimant F′A′F'A' en fonction de OA′OA' et OF′OF', on obtient, après simplification, la relation de conjugaison ci-dessus.

Exemple — retrouver la figure 4 par le calcul

Lentille convergente de distance focale f′=20 cmf' = 20\ \text{cm}, objet à 60 cm60\ \text{cm} de la lentille : OA‾=−60 cm=−0,6 m\overline{OA} = -60\ \text{cm} = -0{,}6\ \text{m}.

  1. 1OA′‾=1f′+1OA‾\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}}
  2. ==10,2+1−0,6\dfrac{1}{0{,}2} + \dfrac{1}{-0{,}6}f′=20 cm=0,2 mf' = 20\ \text{cm} = 0{,}2\ \text{m}
  3. ==5−1,675 - 1{,}67
  4. ==3,333{,}33
  5. ⇒\RightarrowOA′‾≈0,3 m=30 cm\overline{OA'} \approx 0{,}3\ \text{m} = 30\ \text{cm}image réelle, à 30 cm30\ \text{cm} — conforme à la figure 4
Exemple — retrouver la loupe de la figure 5

Même lentille (f′=0,2 mf' = 0{,}2\ \text{m}), objet à 12 cm12\ \text{cm} : OA‾=−0,12 m\overline{OA} = -0{,}12\ \text{m}.

  1. 1OA′‾=10,2+1−0,12\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{0{,}2} + \dfrac{1}{-0{,}12}
  2. ==5−8,335 - 8{,}33
  3. ==−3,33-3{,}33
  4. ⇒\RightarrowOA′‾≈−0,3 m=−30 cm\overline{OA'} \approx -0{,}3\ \text{m} = -30\ \text{cm}OA′‾<0\overline{OA'} < 0 : image virtuelle, à 30 cm30\ \text{cm}, du côté de l'objet
Attention

Ne jamais mélanger les signes ! OA‾\overline{OA} est toujours négatif pour un objet réel. C'est le signe de OA′‾\overline{OA'}, lui, qui indique la nature de l'image : positif → réelle ; négatif → virtuelle. Pense à convertir toutes les longueurs en mètres avant de calculer une vergence ou d'appliquer la relation de conjugaison.

6Grandissement

La construction géométrique renseigne aussi sur la taille de l'image par rapport à l'objet. On la mesure par un nombre unique, le grandissement.

Définition

Le grandissement γ\gamma (lettre grecque gamma) d'une lentille est le rapport entre la taille (algébrique) de l'image et celle de l'objet :

γ=A′B′‾AB‾=OA′‾OA‾\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}

Démonstration

Le rayon issu de B passant par O n'est pas dévié (règle 2) : les points A, O, A′ d'une part, et B, O, B′ d'autre part, sont donc alignés sur cette même droite. Les triangles OABOAB et OA′B′OA'B' ont alors des angles égaux deux à deux (angles droits en A et A′, angles opposés par le sommet en O) : ils sont semblables. Le rapport de similitude donne directement A′B′AB=OA′OA\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{OA'}{OA}, soit γ=OA′‾OA‾\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}. C.Q.F.D.

Propriété — lire le signe de γ\gamma
  • ∣γ∣>1|\gamma| > 1 : l'image est plus grande que l'objet (agrandie).
  • ∣γ∣<1|\gamma| < 1 : l'image est plus petite que l'objet (réduite).
  • γ>0\gamma > 0 : l'image est droite (même sens que l'objet).
  • γ<0\gamma < 0 : l'image est renversée.
Exemple — grandissement des figures 4 et 5

Figure 4 (appareil photo) : OA‾=−0,6 m\overline{OA} = -0{,}6\ \text{m}, OA′‾=0,3 m\overline{OA'} = 0{,}3\ \text{m}.

  1. γ=OA′‾OA‾=0,3−0,6\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{0{,}3}{-0{,}6}
  2. ==−0,5-0{,}5γ<0\gamma < 0 : renversée ; ∣γ∣<1|\gamma| < 1 : réduite

Figure 5 (loupe) : OA‾=−0,12 m\overline{OA} = -0{,}12\ \text{m}, OA′‾=−0,3 m\overline{OA'} = -0{,}3\ \text{m}.

  1. γ=−0,3−0,12\gamma = \dfrac{-0{,}3}{-0{,}12}
  2. ==2,52{,}5γ>0\gamma > 0 : droite ; ∣γ∣>1|\gamma| > 1 : agrandie ×2,5\times 2{,}5

Si l'objet mesure AB=2 cmAB = 2\ \text{cm} (figure 5), son image mesure A′B′=γ×AB=2,5×2=5 cmA'B' = \gamma \times AB = 2{,}5 \times 2 = 5\ \text{cm}.

Exemple — le vidéoprojecteur

Un vidéoprojecteur place une petite dia (ou un écran LCD) entre F et 2F d'une lentille convergente : l'image, projetée sur un grand écran, est alors réelle, renversée (d'où l'image « à l'envers » dans l'appareil, corrigée électroniquement) et fortement agrandie — exactement l'inverse du cas de l'appareil photo, où l'objet est très loin et l'image réduite.

Fiche mémo

  • Convergente : bords minces, centre épais, fait converger un faisceau parallèle en F′ (réel). Divergente : bords épais, centre mince, fait diverger (F′ virtuel).
  • f′=OF′‾f' = \overline{OF'} (distance focale, en m) ; OF=OF′OF = OF' ; vergence C=1f′C = \dfrac{1}{f'} (en δ\delta) : convergente C>0C>0, divergente C<0C<0.
  • Rayon 1 : parallèle à l'axe → passe par F′. Rayon 2 : par O → non dévié. Rayon 3 : par F → émerge parallèle à l'axe.
  • Objet au-delà de F (lentille convergente) : image réelle, renversée (recueillie sur un écran).
  • Objet entre F et O (lentille convergente) : image virtuelle, droite, agrandie — c'est la loupe.
  • Œil = cristallin (lentille) + rétine (écran fixe) ; accommodation = le cristallin change de focale. Appareil photo = objectif + capteur, même principe.
  • Relation de conjugaison : 1OA′‾−1OA‾=1f′\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}, toutes les longueurs en mètres, OA‾<0\overline{OA} < 0 pour un objet réel.
  • Grandissement : γ=A′B′‾AB‾=OA′‾OA‾\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} ; γ>0\gamma>0 droite, γ<0\gamma<0 renversée ; ∣γ∣>1|\gamma|>1 agrandie, ∣γ∣<1|\gamma|<1 réduite.

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Léa touche deux lentilles sans étiquette. La lentille A a des bords minces et un centre épais ; la lentille B a des bords épais et un centre mince. a) Quel est le type de chacune ? b) Avec laquelle peut-elle espérer allumer un morceau de papier en le plaçant au foyer, un jour de grand soleil ? Justifie.

Voir le corrigé détaillé

a) Bords minces et centre épais : la lentille A est convergente. Bords épais et centre mince : la lentille B est divergente.

b) Seule une lentille convergente peut fonctionner : elle fait converger les rayons du Soleil (quasiment parallèles, tant il est loin) en un foyer image F′ réel, où l'énergie lumineuse se concentre et peut échauffer le papier. La lentille B a un foyer image virtuel : aucune lumière ne s'y concentre réellement, elle ne peut donc rien enflammer.

2

Une lentille convergente a une distance focale f′=50 cmf' = 50\ \text{cm}. Calcule sa vergence. Une seconde lentille a une vergence C=5 δC = 5\ \delta : calcule sa distance focale, en cm.

Voir le corrigé détaillé
  1. f′=50 cm=0,5 mf' = 50\ \text{cm} = 0{,}5\ \text{m}
  2. C=1f′=10,5C = \dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{0{,}5}
  3. ==2 δ2\ \delta
  1. f′=1C=15f' = \dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{5}
  2. ==0,2 m=20 cm0{,}2\ \text{m} = 20\ \text{cm}
3

Pour une lentille convergente, un calcul donne OA′‾=−18 cm\overline{OA'} = -18\ \text{cm}. L'image est-elle réelle ou virtuelle ? De quel côté de la lentille se trouve-t-elle ?

Voir le corrigé détaillé

OA′‾<0\overline{OA'} < 0 : l'image est virtuelle. Elle se trouve du même côté que l'objet (à gauche de la lentille), à une distance de 18 cm18\ \text{cm} du centre optique.

4

Une lentille convergente donne d'un objet ABAB, avec OA‾=−40 cm\overline{OA} = -40\ \text{cm} et OA′‾=20 cm\overline{OA'} = 20\ \text{cm}, une image A′B′A'B'. Calcule le grandissement γ\gamma. Si AB=8 cmAB = 8\ \text{cm}, calcule A′B′A'B' et précise si l'image est droite ou renversée.

Voir le corrigé détaillé
  1. γ=OA′‾OA‾=20−40\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{20}{-40}
  2. ==−0,5-0{,}5
  3. A′B′=γ×AB=−0,5×8A'B' = \gamma \times AB = -0{,}5 \times 8
  4. ==−4 cm-4\ \text{cm}γ<0\gamma < 0 : image renversée, de 4 cm4\ \text{cm} de haut
5

Pour mesurer la distance focale d'une lentille convergente, un élève forme l'image nette d'un arbre très éloigné sur un écran ; il mesure une distance lentille-écran de 12 cm12\ \text{cm}. Donne f′f' puis la vergence CC de cette lentille.

Voir le corrigé détaillé

Pour un objet très éloigné, les rayons arrivent parallèles : ils convergent en F′. L'écran étant net à 12 cm12\ \text{cm}, on a f′=OF′=12 cm=0,12 mf' = OF' = 12\ \text{cm} = 0{,}12\ \text{m}.

  1. C=1f′=10,12C = \dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{0{,}12}
  2. ≈\approx8,3 δ8{,}3\ \delta
Niveau 2 — Approfondissement
6

Une lentille convergente de distance focale f′=25 cmf' = 25\ \text{cm} reçoit un objet placé à 1 m1\ \text{m}. Calcule OA′‾\overline{OA'}, puis γ\gamma. Décris la nature de l'image.

Voir le corrigé détaillé
  1. OA‾=−1 m\overline{OA} = -1\ \text{m}, f′=0,25 mf' = 0{,}25\ \text{m}
  2. 1OA′‾=1f′+1OA‾\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}}
  3. ==10,25+1−1\dfrac{1}{0{,}25} + \dfrac{1}{-1}
  4. ==4−14 - 1
  5. ==33
  6. ⇒\RightarrowOA′‾≈0,333 m≈33,3 cm\overline{OA'} \approx 0{,}333\ \text{m} \approx 33{,}3\ \text{cm}
  1. γ=0,333−1\gamma = \dfrac{0{,}333}{-1}
  2. ≈\approx−0,33-0{,}33

OA′‾>0\overline{OA'} > 0 : image réelle. γ<0\gamma < 0 : renversée. ∣γ∣<1|\gamma| < 1 : réduite (environ trois fois plus petite que l'objet).

7

Une loupe donne d'un objet AB=3 cmAB = 3\ \text{cm}, placé à 5 cm5\ \text{cm} de la lentille, une image virtuelle A′B′=9 cmA'B' = 9\ \text{cm}. Calcule γ\gamma, puis OA′‾\overline{OA'}, puis la distance focale f′f' et la vergence CC de cette loupe.

Voir le corrigé détaillé
  1. γ=A′B′AB=93\gamma = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{9}{3}image virtuelle et droite : γ\gamma positif
  2. ==33
  3. OA′‾=γ×OA‾=3×(−5)\overline{OA'} = \gamma \times \overline{OA} = 3 \times (-5)
  4. ==−15 cm=−0,15 m-15\ \text{cm} = -0{,}15\ \text{m}
  1. 1f′=1OA′‾−1OA‾\dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}}
  2. ==1−0,15−1−0,05\dfrac{1}{-0{,}15} - \dfrac{1}{-0{,}05}
  3. ==−6,67+20-6{,}67 + 20
  4. ==13,313{,}3
  5. ⇒\Rightarrowf′≈0,075 m=7,5 cmf' \approx 0{,}075\ \text{m} = 7{,}5\ \text{cm}et C=1f′≈13,3 δC = \dfrac{1}{f'} \approx 13{,}3\ \delta
8

Une lentille convergente a f′=15 cmf' = 15\ \text{cm}. On place un objet exactement en 2F2F, c'est-à-dire à 30 cm30\ \text{cm} de la lentille. Calcule OA′‾\overline{OA'} et γ\gamma. Que remarques-tu ?

Voir le corrigé détaillé
  1. OA‾=−0,3 m\overline{OA} = -0{,}3\ \text{m}, f′=0,15 mf' = 0{,}15\ \text{m}
  2. 1OA′‾=10,15+1−0,3\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{0{,}15} + \dfrac{1}{-0{,}3}
  3. ==6,67−3,336{,}67 - 3{,}33
  4. ==3,333{,}33
  5. ⇒\RightarrowOA′‾=0,3 m\overline{OA'} = 0{,}3\ \text{m}exactement en 2F′2F'
  1. γ=0,3−0,3\gamma = \dfrac{0{,}3}{-0{,}3}
  2. ==−1-1

Quand l'objet est en 2F2F, l'image se forme exactement en 2F′2F', et γ=−1\gamma = -1 : l'image est réelle, renversée, et de la même taille que l'objet. 2F2F est le seul point où objet et image ont exactement la même dimension.

9

Une ordonnance indique, pour un œil myope, une correction de −2,5 δ-2{,}5\ \delta, et pour l'autre œil, hypermétrope, +3 δ+3\ \delta. Pour chaque verre : précise le type de lentille et calcule sa distance focale en cm.

Voir le corrigé détaillé

Œil myope (C=−2,5 δ<0C = -2{,}5\ \delta < 0) : verre divergent.

  1. f′=1−2,5f' = \dfrac{1}{-2{,}5}
  2. ==−0,4 m=−40 cm-0{,}4\ \text{m} = -40\ \text{cm}

Œil hypermétrope (C=3 δ>0C = 3\ \delta > 0) : verre convergent.

  1. f′=13f' = \dfrac{1}{3}
  2. ≈\approx0,33 m≈33,3 cm0{,}33\ \text{m} \approx 33{,}3\ \text{cm}
Niveau 3 — Défi
10

Un vidéoprojecteur utilise une lentille convergente de distance focale f′=20 cmf' = 20\ \text{cm}. La dia interne, haute de 3,6 cm3{,}6\ \text{cm}, est placée à 30 cm30\ \text{cm} de la lentille.

  1. Calcule OA′‾\overline{OA'}.
  2. Calcule le grandissement γ\gamma.
  3. Calcule la hauteur de l'image projetée sur l'écran.
  4. Construis (ou vérifie sur la figure) l'image par la méthode des rayons particuliers.
Voir le corrigé détaillé

1. OA‾=−0,3 m\overline{OA} = -0{,}3\ \text{m}, f′=0,2 mf' = 0{,}2\ \text{m}.

  1. 1OA′‾=10,2+1−0,3\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{0{,}2} + \dfrac{1}{-0{,}3}
  2. ==5−3,335 - 3{,}33
  3. ==1,671{,}67
  4. ⇒\RightarrowOA′‾=0,6 m=60 cm\overline{OA'} = 0{,}6\ \text{m} = 60\ \text{cm}

2.

  1. γ=0,6−0,3\gamma = \dfrac{0{,}6}{-0{,}3}
  2. ==−2-2

3.

  1. A′B′=γ×AB=−2×3,6A'B' = \gamma \times AB = -2 \times 3{,}6
  2. ==−7,2 cm-7{,}2\ \text{cm}image renversée, haute de 7,2 cm7{,}2\ \text{cm}

4. L'objet, placé entre F (20 cm20\ \text{cm}) et 2F2F (40 cm40\ \text{cm}), donne bien une image réelle, renversée et agrandie (∣γ∣=2>1|\gamma| = 2 > 1), au-delà de 2F′2F' (40 cm40\ \text{cm}) — cohérent avec OA′‾=60 cm\overline{OA'} = 60\ \text{cm}.

Vidéoprojecteur : objet entre F et 2F 2F F O F′ 2F′ B A B′ A′
Figure 8 — Construction de l'image du vidéoprojecteur : objet entre F et 2F, à 30 cm30\ \text{cm} d'une lentille de f′=20 cmf' = 20\ \text{cm}. Les trois rayons confirment l'image réelle, renversée et agrandie, à 60 cm60\ \text{cm}.
11

Un appareil photo a un objectif de distance focale f′=50 mmf' = 50\ \text{mm}. Il photographie un immeuble de 40 m40\ \text{m} de haut, situé à 200 m200\ \text{m}.

  1. Calcule OA′‾\overline{OA'} et vérifie qu'il est très proche de f′f'.
  2. En admettant OA′‾≈f′\overline{OA'} \approx f', calcule γ\gamma.
  3. Calcule la taille de l'image de l'immeuble sur le capteur (en mm).
Voir le corrigé détaillé

1. OA‾=−200 m\overline{OA} = -200\ \text{m}, f′=0,05 mf' = 0{,}05\ \text{m}.

  1. 1OA′‾=10,05+1−200\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{0{,}05} + \dfrac{1}{-200}
  2. ==20−0,00520 - 0{,}005
  3. ==19,99519{,}995
  4. ⇒\RightarrowOA′‾≈0,050013 m\overline{OA'} \approx 0{,}050013\ \text{m}soit 50,01 mm50{,}01\ \text{mm}, quasiment égal à f′f'

Dès qu'un objet est très éloigné devant f′f', l'image se forme quasiment au foyer image : OA′‾≈f′\overline{OA'} \approx f'.

2.

  1. γ≈f′OA‾=0,05−200\gamma \approx \dfrac{f'}{\overline{OA}} = \dfrac{0{,}05}{-200}
  2. ==−0,00025-0{,}00025

3.

  1. A′B′=γ×AB=−0,00025×40A'B' = \gamma \times AB = -0{,}00025 \times 40
  2. ==−0,01 m=−10 mm-0{,}01\ \text{m} = -10\ \text{mm}

L'image de l'immeuble sur le capteur mesure environ 10 mm10\ \text{mm}, renversée — une taille tout à fait réaliste pour un capteur photo.

12

Une lentille convergente de vergence C=8 δC = 8\ \delta donne d'un objet réel une image réelle 55 fois plus grande. Calcule les distances OA‾\overline{OA} et OA′‾\overline{OA'}.

Voir le corrigé détaillé

f′=1C=18=0,125 mf' = \dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125\ \text{m}. Image réelle et agrandie ×5\times 5 : elle est renversée, donc γ=−5\gamma = -5, soit OA′‾=−5 OA‾\overline{OA'} = -5\,\overline{OA}.

  1. 1OA′‾−1OA‾=1f′\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}
  2. 1−5 OA‾−1OA‾=8\dfrac{1}{-5\,\overline{OA}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = 8
  3. −15−1OA‾=8\dfrac{-\frac{1}{5} - 1}{\overline{OA}} = 8
  4. ⇒\RightarrowOA‾=−1,28\overline{OA} = \dfrac{-1{,}2}{8}
  5. ==−0,15 m=−15 cm-0{,}15\ \text{m} = -15\ \text{cm}
  1. OA′‾=−5×(−0,15)\overline{OA'} = -5 \times (-0{,}15)
  2. ==0,75 m=75 cm0{,}75\ \text{m} = 75\ \text{cm}

Vérification : f′=12,5 cmf' = 12{,}5\ \text{cm} et 2f′=25 cm2f' = 25\ \text{cm} ; l'objet, à 15 cm15\ \text{cm}, est bien entre F et 2F, ce qui donne bien une image réelle et agrandie. Cohérent.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
13

La loupe d'Aminata (Dakar). Aminata, bijoutière au marché Sandaga à Dakar, examine une pierre de 4 mm4\ \text{mm} avec une loupe de vergence C=12,5 δC = 12{,}5\ \delta, placée à 6 cm6\ \text{cm} de la pierre.

  1. Calcule la distance focale f′f' de la loupe.
  2. Calcule OA′‾\overline{OA'}, puis γ\gamma.
  3. Calcule la taille de l'image de la pierre vue à travers la loupe.
  4. Aminata achète 33 loupes identiques à 4 5004\,500 F CFA l'unité pour son atelier. Calcule le coût total.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. f′=1C=112,5f' = \dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{12{,}5}
  2. ==0,08 m=8 cm0{,}08\ \text{m} = 8\ \text{cm}

2. OA‾=−0,06 m\overline{OA} = -0{,}06\ \text{m}.

  1. 1OA′‾=10,08+1−0,06\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{0{,}08} + \dfrac{1}{-0{,}06}
  2. ==12,5−16,6712{,}5 - 16{,}67
  3. ==−4,17-4{,}17
  4. ⇒\RightarrowOA′‾≈−0,24 m=−24 cm\overline{OA'} \approx -0{,}24\ \text{m} = -24\ \text{cm}
  1. γ=−0,24−0,06\gamma = \dfrac{-0{,}24}{-0{,}06}
  2. ==44

3.

  1. A′B′=4×4 mmA'B' = 4 \times 4\ \text{mm}
  2. ==16 mm16\ \text{mm}

L'image virtuelle et droite de la pierre, vue à travers la loupe, mesure 16 mm16\ \text{mm}, soit quatre fois sa taille réelle.

4. 3×4 500=13 5003 \times 4\,500 = 13\,500 F CFA.

La loupe d'Aminata : objet entre F et O F O F′ B A B′ A′
Figure 9 — Construction de l'image virtuelle vue à travers la loupe : objet à 6 cm6\ \text{cm} d'une lentille de f′=8 cmf' = 8\ \text{cm}, image virtuelle et droite à 24 cm24\ \text{cm}, agrandie ×4\times 4.
14

Chez l'opticien (Ndjamena). Un opticien de Ndjamena prépare des lunettes pour un client myope : verre gauche −3,5 δ-3{,}5\ \delta, verre droit −2,75 δ-2{,}75\ \delta. Chaque dioptrie de correction coûte 2 5002\,500 F CFA, et la monture coûte 5 0005\,000 F CFA.

  1. Calcule la distance focale de chaque verre.
  2. Calcule le prix de chaque verre, puis le prix total des lunettes (verres + monture).
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. verre gauche : f′=1−3,5f' = \dfrac{1}{-3{,}5}
  2. ≈\approx−0,286 m≈−28,6 cm-0{,}286\ \text{m} \approx -28{,}6\ \text{cm}
  3. verre droit : f′=1−2,75f' = \dfrac{1}{-2{,}75}
  4. ≈\approx−0,364 m≈−36,4 cm-0{,}364\ \text{m} \approx -36{,}4\ \text{cm}

2. Le prix d'un verre dépend de ∣C∣|C| (valeur absolue, car un tarif ne peut être négatif).

  1. verre gauche : 3,5×2 500=8 7503{,}5 \times 2\,500 = 8\,750 F CFA
  2. verre droit : 2,75×2 500=6 8752{,}75 \times 2\,500 = 6\,875 F CFA
  3. total verres : 8 750+6 875=15 6258\,750 + 6\,875 = 15\,625 F CFA
  4. ⇒\Rightarrowtotal lunettes : 15 625+5 000=20 62515\,625 + 5\,000 = 20\,625 F CFA
15

Le vidéoprojecteur du collège (Abéché). Le collège d'Abéché installe, pour la fête de fin d'année, un vidéoprojecteur de distance focale f′=15 cmf' = 15\ \text{cm} ; l'écran interne, haut de 6 cm6\ \text{cm}, est placé à 16 cm16\ \text{cm} de la lentille.

  1. Calcule OA′‾\overline{OA'} (distance de projection).
  2. Calcule γ\gamma, puis la hauteur de l'image projetée sur le mur.
  3. Le comité de fête loue ce vidéoprojecteur 15 00015\,000 F CFA par jour, pour 33 jours de préparatifs et de fête. Calcule le coût total de la location.
Voir le corrigé détaillé

1. OA‾=−0,16 m\overline{OA} = -0{,}16\ \text{m}, f′=0,15 mf' = 0{,}15\ \text{m}.

  1. 1OA′‾=10,15+1−0,16\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{0{,}15} + \dfrac{1}{-0{,}16}
  2. ==6,667−6,256{,}667 - 6{,}25
  3. ==0,4170{,}417
  4. ⇒\RightarrowOA′‾=2,4 m\overline{OA'} = 2{,}4\ \text{m}le mur doit être placé à 2,4 m2{,}4\ \text{m} de l'appareil

2.

  1. γ=2,4−0,16\gamma = \dfrac{2{,}4}{-0{,}16}
  2. ==−15-15
  3. A′B′=−15×6 cmA'B' = -15 \times 6\ \text{cm}
  4. ==−90 cm=−0,9 m-90\ \text{cm} = -0{,}9\ \text{m}

L'image projetée sur le mur mesure 0,9 m0{,}9\ \text{m} de haut (renversée à l'intérieur de l'appareil, puis redressée électroniquement).

3.

  1. 3×15 0003 \times 15\,000
  2. ==45 00045\,000 F CFA

📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

Coche une réponse par question, puis clique sur « Vérifier mes réponses » : tu obtiens ta note sur 20 avec la correction détaillée de chaque question.

Une lentille est dite « mince » quand :

Explication : On dit qu'une lentille est mince lorsque son épaisseur est petite devant les rayons de courbure de ses deux faces. C'est le cas de toutes les lentilles étudiées dans ce chapitre.

Au toucher, comment reconnaît-on une lentille convergente ?

Explication : Une lentille convergente « bombe » au milieu : elle a des bords minces et un centre épais.

Au toucher, comment reconnaît-on une lentille divergente ?

Explication : Une lentille divergente est creusée au milieu : elle a des bords épais et un centre mince.

Un rayon lumineux qui passe par le centre optique O d'une lentille mince :

Explication : C'est vrai pour une lentille convergente comme pour une lentille divergente : le rayon passant par O n'est jamais dévié.

Le foyer image F′ d'une lentille convergente est le point où :

Explication : Le foyer image F′ est le point où se croisent (ou semblent provenir) les rayons issus d'un faisceau incident parallèle à l'axe optique.

Pour une lentille divergente, le foyer image F′ est :

Explication : Pour une lentille divergente, aucun rayon ne passe réellement par F′ : on prolonge les rayons émergents en pointillés vers l'arrière pour le trouver.

Une lentille convergente a une distance focale f′=50 cmf' = 50\ \text{cm}. Sa vergence CC vaut :

Explication : On convertit d'abord en mètres :
f′=50 cm=0,5 mf' = 50\ \text{cm} = 0{,}5\ \text{m}
C=1f′=10,5=2 δC = \dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{0{,}5} = 2\ \delta.

Une lentille a une vergence C=4 δC = 4\ \delta. Sa distance focale f′f' vaut :

Explication : f′=1C=14=0,25 m=25 cmf' = \dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\ \text{m} = 25\ \text{cm}.

Une lentille de vergence C=−2 δC = -2\ \delta est :

Explication : Une lentille convergente a une vergence positive ; une lentille divergente a une vergence négative. Ici C<0C < 0 : la lentille est divergente.

D'après la règle des rayons particuliers, un rayon incident parallèle à l'axe optique émerge de la lentille :

Explication : Règle 1 : un rayon incident parallèle à l'axe optique émerge de la lentille en passant par le foyer image F′.

Un rayon incident passant par le foyer objet F émerge de la lentille :

Explication : Règle 3 : un rayon incident passant par le foyer objet F émerge de la lentille parallèle à l'axe optique.

Une image est dite virtuelle quand :

Explication : Une image virtuelle n'est pas formée par de vrais rayons qui se croisent, mais seulement par leurs prolongements : aucun écran ne peut la recevoir.

Un objet est placé loin d'une lentille convergente, au-delà du foyer F. L'image obtenue est :

Explication : C'est le cas de l'appareil photo : un objet au-delà de F donne une image réelle (recueillie sur un écran) et renversée.

Un objet est placé entre le foyer F et le centre optique O d'une lentille convergente (cas de la loupe). L'image obtenue est :

Explication : Entre F et O, les rayons émergents divergent sans jamais se croiser réellement : l'image, formée par leurs prolongements, est virtuelle, droite et agrandie. C'est le principe de la loupe.

Une lentille convergente donne-t-elle toujours une image réelle et renversée ?

Explication : Piège classique ! Au-delà de F, l'image est réelle et renversée ; entre F et O, elle devient virtuelle, droite et agrandie.

Dans le modèle simplifié de l'œil, le cristallin joue le rôle :

Explication : Le cristallin (aidé par la cornée) forme, comme une lentille convergente, l'image sur la rétine, qui joue le rôle d'écran fixe.

L'accommodation de l'œil, c'est le fait que :

Explication : La distance cristallin-rétine est fixe. Pour qu'un objet, proche ou lointain, forme toujours une image nette sur la rétine, c'est le cristallin qui change de forme, et donc de distance focale.

Une lentille convergente donne d'un objet, avec OA‾=−20 cm\overline{OA} = -20\ \text{cm}, une image en OA′‾=60 cm\overline{OA'} = 60\ \text{cm}. Le grandissement γ\gamma vaut :

Explication : γ=OA′‾OA‾=60−20=−3\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{60}{-20} = -3.
γ<0\gamma < 0 : image renversée ; ∣γ∣>1|\gamma| > 1 : image agrandie ×3\times 3.

Fatou observe un timbre-poste de 2 cm2\ \text{cm} de haut à travers une loupe qui donne un grandissement γ=+4\gamma = +4. La hauteur de l'image vue à travers la loupe est :

Explication : A′B′=γ×AB=4×2=8 cmA'B' = \gamma \times AB = 4 \times 2 = 8\ \text{cm}.

Pour corriger la myopie (l'œil converge trop et l'image se forme avant la rétine), l'opticien utilise un verre :

Explication : Un verre divergent (vergence négative) écarte les rayons pour compenser un œil qui converge trop, et ainsi reculer l'image jusqu'à la rétine.
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