Réflexion de la lumière et miroirs

Établir les lois de la réflexion et construire une image.

Physique 4ème Chapitre 5 / 9 ⏱ 5 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Construire un rayon réfléchi
Déterminer l'image d'un objet par un miroir plan
Exploiter les lois de la réflexion dans un problème

Regarde-toi dans une vitrine le soir, dans une cuillère, dans l'eau calme d'une mare, ou dans le rétroviseur d'une voiture : à chaque fois, la lumière rebondit sur une surface et te renvoie une image. Ce rebond s'appelle la réflexion, et il obéit à des règles d'une précision parfaite — les mêmes depuis la première fois qu'un être humain s'est penché sur l'eau d'un lac.

Tu sais déjà que la lumière se propage en ligne droite. Ce chapitre va plus loin : que devient un rayon lumineux quand il rencontre un miroir plan ? Où se forme l'image que tu vois dedans ? Pourquoi cette image semble-t-elle « derrière » la vitre alors qu'il n'y a rien là-bas ? Tu vas apprendre à construire cette image avec précision, à l'aide de deux lois très simples, et à comprendre des objets que tu utilises tous les jours : rétroviseur, périscope, miroir de sécurité dans un magasin.

C'est un chapitre très concret : chaque schéma que tu vas tracer se vérifie avec une règle, une équerre et un rapporteur. Et c'est aussi un chapitre fondateur, car toute l'optique — celle des lentilles, des microscopes, des télescopes — repose sur la même idée : suivre un rayon lumineux pas à pas.

1Réflexion sur un miroir plan

1.1 Rappel : la propagation rectiligne

Dans un milieu transparent et homogène (l'air, le verre, l'eau claire...), la lumière se propage en ligne droite. On représente son trajet par un rayon lumineux : une droite fléchée qui indique le sens de propagation de la lumière.

Définition

Un rayon lumineux est la représentation géométrique du trajet suivi par la lumière. Il se propage en ligne droite tant qu'il reste dans le même milieu transparent et homogène, et change de milieu ou de direction seulement s'il rencontre un obstacle, une autre matière, ou une surface qui le réfléchit.

Que se passe-t-il quand ce rayon rencontre un obstacle opaque ? Une partie de la lumière est absorbée (l'obstacle « chauffe » un peu), et une partie est renvoyée : c'est la réflexion. La façon dont elle est renvoyée dépend entièrement de l'état de la surface.

1.2 Réflexion spéculaire et réflexion diffuse

Définition

La réflexion est le phénomène par lequel la lumière change de direction en revenant dans le milieu d'où elle venait, après avoir rencontré une surface. On distingue deux cas selon l'état de cette surface :

réflexion spéculaire (du latin speculum, « miroir ») : la surface est plane, lisse et polie ; les rayons parallèles restent parallèles après réflexion. C'est ce qui se passe sur un miroir.
réflexion diffuse : la surface est rugueuse, même si elle paraît lisse à l'œil nu ; les rayons repartent dans toutes les directions. C'est ce qui se passe sur un mur, une feuille de papier, un tissu.

C'est la réflexion diffuse qui te permet de voir tous les objets qui t'entourent, depuis n'importe quel endroit de la pièce : chaque point d'un mur blanc renvoie la lumière dans toutes les directions, donc une partie atteint toujours ton œil. Un miroir, au contraire, ne te renvoie une image nette que si tu es placé au bon endroit, car il renvoie chaque rayon dans une seule direction bien précise — c'est justement ce que tu vas apprendre à calculer.

Exemple — reconnaître le type de réflexion

Une eau de lac bien calme, une plaque de métal poli, une vitre bien propre : réflexion spéculaire (on y voit une image reconnaissable). Une route goudronnée, un mur crépi, un vêtement en coton : réflexion diffuse (aucune image, seulement de la lumière renvoyée dans tous les sens, ce qui permet de voir l'objet lui-même sous tous les angles).

Définition

Un miroir plan est une surface plane qui réfléchit la quasi-totalité de la lumière qu'elle reçoit, de façon spéculaire. Dans la vie courante, il s'agit d'une plaque de verre dont une face est recouverte d'une fine couche métallique (le tain), qui joue le rôle de surface réfléchissante.

Physique & Co — Des miroirs vieux de huit mille ans

Les plus anciens miroirs connus ne sont pas en verre, mais en obsidienne polie (une roche volcanique noire et vitreuse) : on en a retrouvé en Anatolie (actuelle Turquie), datés d'environ -6000. Les Égyptiens et les Romains utilisaient des disques de bronze ou de cuivre poli. Le miroir de verre argenté, tel que tu le connais, n'apparaît qu'au XVIe siècle, perfectionné par les artisans verriers de Venise : ils déposaient un amalgame d'étain et de mercure derrière une plaque de verre très plane, une technique gardée secrète pendant des décennies. Le miroir moderne, argenté chimiquement, ne date que du milieu du XIXe siècle (procédé mis au point par le chimiste allemand Justus von Liebig en 1835).

2Lois de la réflexion

2.1 Vocabulaire de la réflexion

Pour décrire précisément une réflexion, on utilise toujours le même vocabulaire, à connaître par cœur.

Définition

Le rayon incident est le rayon qui arrive sur le miroir.
Le point d'incidence I est le point où le rayon incident touche le miroir.
La normale (N) est la droite perpendiculaire au miroir, tracée au point d'incidence I.
Le rayon réfléchi est le rayon qui repart du point I après la réflexion.
L'angle d'incidence $i$ est l'angle entre le rayon incident et la normale.
L'angle de réflexion $r$ est l'angle entre le rayon réfléchi et la normale.

Attention

Les angles $i$ et $r$ se mesurent toujours par rapport à la normale, jamais par rapport à la surface du miroir. C'est l'erreur la plus fréquente : si l'énoncé donne l'angle entre le rayon et le miroir, il faut d'abord le transformer en angle par rapport à la normale, en faisant $90° -$ cet angle.

2.2 Les deux lois de Descartes pour la réflexion

Propriété — lois de la réflexion

Première loi : le rayon incident, la normale et le rayon réfléchi appartiennent à un même plan, appelé le plan d'incidence.

Deuxième loi : l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence :

$r = i$

Le rayon réfléchi se trouve donc du côté opposé de la normale par rapport au rayon incident, à la même ouverture angulaire.

Figure 1 — Lois de la réflexion : le rayon incident, la normale (N) et le rayon réfléchi sont dans le même plan ; l'angle d'incidence

i

mesuré depuis la normale est égal à l'angle de réflexion

r

Physique & Co — Une loi vieille de mille ans

L'égalité $i = r$ est connue depuis l'Antiquité (le mathématicien grec Héron d'Alexandrie, au Ier siècle, la démontre déjà en admettant que la lumière suit le trajet le plus court). Mais c'est le savant arabe Ibn al-Haytham (dit Alhazen), dans son Traité d'optique rédigé au Caire vers 1021, qui la mesure expérimentalement avec un appareil gradué de sa fabrication, et qui insiste le premier sur le rôle de la normale. Le mathématicien français René Descartes lui donne sa formulation moderne en 1637, dans son ouvrage La Dioptrique — d'où le nom de « lois de Descartes » que l'on donne parfois à ces deux règles, pour la réflexion comme pour la réfraction.

2.3 Construire le rayon réfléchi

Méthode — tracer le rayon réfléchi

Connaissant un rayon incident arrivant sur un miroir plan :

Repérer le point d'incidence I, là où le rayon touche le miroir.
Tracer la normale (N) : la perpendiculaire au miroir en I (à l'équerre).
Mesurer l'angle d'incidence $i$ entre le rayon incident et la normale, au rapporteur.
Reporter ce même angle $i$ de l'autre côté de la normale : c'est l'angle de réflexion $r$ , avec $r = i$ .
Tracer le rayon réfléchi le long de cette nouvelle direction, en partant de I.

Exemple 1 — angle d'incidence donné

Un rayon lumineux arrive sur un miroir plan avec un angle d'incidence $i = 40°$ . Quel est l'angle de réflexion, et quel est l'angle entre le rayon incident et le rayon réfléchi ?

$r = i$ deuxième loi de la réflexion
$\Rightarrow$ $r = 40°$
angle (incident ; réfléchi) $= i + r$
$=$ $40° + 40°$
$=$ $80°$

Le rayon réfléchi fait donc un angle de $80°$ avec le rayon incident.

Exemple 2 — angle avec le miroir donné

Un rayon rase le miroir en faisant un angle de $20°$ avec sa surface. Détermine l'angle de réflexion $r$ .

$i = 90° - 20°$ l'angle d'incidence se mesure depuis la normale, pas depuis le miroir
$=$ $70°$
$r = i$
$=$ $70°$

Le rayon réfléchi fait donc lui aussi $70°$ avec la normale, soit $20°$ avec le miroir.

Un cas particulier mérite d'être noté : si le rayon incident arrive perpendiculairement au miroir ( $i = 0°$ ), alors $r = 0°$ : le rayon réfléchi repart exactement sur le même trajet que le rayon incident, en sens inverse.

3Image donnée par un miroir plan

3.1 Où se forme l'image ?

Place un objet devant un miroir plan : tu vois son image « à l'intérieur » du miroir, comme si elle se trouvait de l'autre côté de la surface réfléchissante. Peux-tu la toucher ? Non — et c'est là toute la différence avec un objet réel.

Définition

Une image est dite réelle si elle peut se former sur un écran (comme au cinéma). Elle est dite virtuelle si elle ne peut pas se recueillir sur un écran, mais seulement être observée par un œil placé sur le trajet des rayons réfléchis, qui la reconstitue par prolongement.

Pour un point objet A, on définit son image A' par la construction géométrique suivante : on trace deux rayons issus de A, on applique les lois de la réflexion à chacun pour obtenir les deux rayons réfléchis correspondants, puis on prolonge ces rayons réfléchis en pointillé, vers l'arrière du miroir. Le point où ces prolongements se croisent est l'image A'.

3.2 Démonstration : l'image est le symétrique de l'objet

Théorème

L'image A' d'un point objet A donnée par un miroir plan est le symétrique orthogonal de A par rapport au plan du miroir.

Démonstration

Soit M un point quelconque du miroir, et soit A' le symétrique de A par rapport au plan du miroir. Montrons que le rayon AM, une fois réfléchi selon les lois de la réflexion, se prolonge (en arrière du miroir) exactement jusqu'en A'.

Comme A' est le symétrique de A par rapport au miroir, et que M appartient au miroir (donc à l'axe de symétrie), on a l'égalité des distances :

$MA = MA'$ M est sur le plan de symétrie qui échange A et A'

Le triangle AMA' est donc isocèle en M. Or, le plan du miroir est justement l'axe de symétrie de ce triangle isocèle : il coupe donc le segment [AA'] perpendiculairement en son milieu, et il partage en deux angles égaux l'angle au sommet $\widehat{AMA'}$ .

La normale au miroir en M étant perpendiculaire au miroir, elle fait donc, elle aussi, des angles égaux avec (MA) et avec (MA') :

angle entre (MA) et la normale $=$ angle entre (MA') et la normale

C'est précisément la loi de la réflexion ( $i = r$ ) : le rayon réfléchi en M, associé au rayon incident AM, est donc porté par la droite (MA'). Comme ce raisonnement est valable pour n'importe quel point M du miroir, tous les rayons réfléchis, prolongés en arrière du miroir, passent par A'. C.Q.F.D.

Figure 2 — L'image A' d'un point objet A est le symétrique de A par rapport au plan du miroir : tout rayon réfléchi, prolongé fictivement en arrière du miroir, semble provenir de A'. L'image est donc virtuelle.

3.3 Caractéristiques de l'image

Propriété

L'image A' d'un objet A donnée par un miroir plan est :

virtuelle : elle ne peut pas se former sur un écran ;
symétrique de l'objet par rapport au plan du miroir : $A$ et $A'$ sont à la même distance du miroir, sur la perpendiculaire au miroir ;
même taille que l'objet (le miroir plan ne grandit ni ne rétrécit) ;
inversée latéralement (la droite et la gauche sont échangées), mais pas inversée de haut en bas.

Attention

Une confusion très fréquente : on dit souvent que le miroir « inverse l'image », en pensant à un retournement haut-bas. C'est faux pour un miroir vertical usuel : si tu lèves la main droite devant un miroir, ton image lève sa main gauche (inversion latérale), mais elle ne se tient pas la tête en bas ! Essaie avec un mot écrit sur une feuille : « SOS » se lit encore « SOS » dans un miroir vertical (mot symétrique), mais « BONJOUR » devient illisible dans le mauvais sens.

Exemple 1 — distance à l'image

Léa se tient à $1,2$ m d'un miroir plan mural. À quelle distance d'elle se trouve son image ?

distance (Léa, miroir) $=$ distance (miroir, image)symétrie par rapport au miroir
$\Rightarrow$ distance (Léa, image) $= 1,2 + 1,2$
$=$ $2,4$ m

Exemple 2 — image qui s'approche

Boubacar avance de $0,5$ m vers un miroir plan devant lequel il se trouvait à $2$ m. Que devient la distance entre lui et son image ?

nouvelle distance (Boubacar, miroir) $= 2 - 0,5$
$=$ $1,5$ m
nouvelle distance (Boubacar, image) $= 1,5 \times 2$
$=$ $3$ m

Boubacar s'est rapproché du miroir de $0,5$ m ; il s'est donc rapproché de son image de $0,5 + 0,5 = 1$ m (l'image se rapproche à la même vitesse, dans l'autre sens).

4Champ de vision

4.1 Définir le champ d'un miroir

Un miroir a des dimensions limitées : on ne voit donc pas tout ce qui se trouve devant soi lorsqu'on s'y regarde, mais seulement une portion de l'espace. Cette portion s'appelle le champ de vision du miroir.

Définition

Le champ de vision (ou champ du miroir) pour un œil placé en un point E est l'ensemble des points de l'espace dont l'image, formée par le miroir, peut être vue par cet œil. Un objet situé hors du champ n'apparaît pas dans le miroir, même si l'œil regarde bien dans sa direction.

Méthode — construire le champ de vision

Pour trouver le champ de vision d'un œil placé en E devant un miroir de bords M et N :

Construire E', symétrique de E par rapport au plan du miroir (comme pour une image).
Tracer les droites (E'M) et (E'N), et les prolonger devant le miroir.
Le champ de vision est la zone de l'espace comprise entre ces deux prolongements.

Cette méthode fonctionne car, pour qu'un rayon issu d'un point objet A atteigne l'œil après réflexion, il faut et il suffit que le segment [AE'] traverse le miroir entre M et N (propriété directement liée à la démonstration du paragraphe précédent).

Figure 3 — Champ de vision : pour trouver la zone visible par un œil placé en E, on construit le symétrique E' de E par rapport au miroir. Le champ est la zone comprise entre les droites (E'M) et (E'N), prolongées devant le miroir.

Deux conséquences pratiques et utiles à retenir : plus l'œil est proche du miroir, plus le champ de vision est étroit (les droites (E'M) et (E'N) divergent moins) ; et plus le miroir est grand, plus le champ est large, à distance égale de l'œil.

Exemple — un miroir trop petit

Fatou se tient devant un miroir fixé au mur et n'arrive pas à voir ses pieds, même en reculant de plusieurs pas. Pourquoi reculer n'aide-t-il pas ?

Le point le plus bas que Fatou peut voir d'elle-même est fixé par la construction du champ : il correspond au symétrique de son œil par rapport au bord bas du miroir. Or ce bord bas a toujours la même hauteur sur le mur, et l'œil de Fatou garde toujours la même hauteur par rapport au sol, quelle que soit sa distance au miroir. La construction (donc le point le plus bas visible) ne dépend absolument pas de la distance : reculer ne change rien. Pour voir ses pieds, Fatou doit soit utiliser un miroir descendant plus bas sur le mur, soit l'incliner vers le bas.

5Applications : rétroviseur, périscope

5.1 Le rétroviseur

Le rétroviseur intérieur d'une voiture est un simple miroir plan : il applique exactement les lois que tu viens d'étudier. Les rétroviseurs extérieurs, eux, sont souvent légèrement bombés (convexes) plutôt que plans.

Définition

Un miroir convexe est un miroir dont la surface réfléchissante est bombée vers l'extérieur (comme le dos d'une cuillère). Il n'est pas au programme de ce chapitre d'en étudier les constructions d'image, mais il faut connaître sa propriété essentielle : à taille égale, un miroir convexe offre un champ de vision plus large qu'un miroir plan — mais il donne une image rétrécie, donc d'apparence plus lointaine que la réalité.

Attention

C'est pour cette raison que les rétroviseurs extérieurs convexes portent souvent la mention « Objets plus proches qu'ils ne le paraissent » (ou son équivalent local). Un conducteur qui ne le sait pas peut sous-estimer la distance d'un véhicule qui le double, avec un risque réel pour la sécurité.

5.2 Le périscope

Le périscope permet de voir par-dessus un obstacle (un mur, la surface de l'eau) sans y être directement exposé. Son principe repose sur deux miroirs plans, parallèles entre eux, inclinés chacun à $45°$ par rapport à la direction de visée, et montés aux deux extrémités d'un tube.

Méthode — suivre la marche des rayons dans un périscope

Le rayon issu de l'objet arrive horizontalement sur le premier miroir, incliné à $45°$ : l'angle d'incidence, mesuré par rapport à la normale (elle-même à $45°$ de l'horizontale), vaut $i = 45°$ .
Par la loi de la réflexion, $r = 45°$ également : le rayon réfléchi repart donc à $90°$ de sa direction initiale, c'est-à-dire à la verticale, vers le bas du tube.
Ce rayon vertical arrive sur le second miroir, incliné lui aussi à $45°$ mais parallèle au premier : par le même raisonnement, il est renvoyé à nouveau à $90°$ , donc à l'horizontale, jusqu'à l'œil de l'observateur.

Figure 4 — Marche des rayons dans un périscope : le rayon horizontal issu de l'objet se réfléchit une première fois vers le bas sur le miroir 1, puis une seconde fois vers l'horizontale sur le miroir 2, parallèle au premier, avant d'atteindre l'œil de l'observateur.

Propriété

Comme les deux miroirs d'un périscope sont parallèles, le rayon qui ressort à la fin (vers l'œil) est parallèle au rayon qui est entré (vers l'objet visé), simplement décalé verticalement de la longueur du tube. L'image observée n'est ni agrandie, ni rétrécie, ni inversée gauche-droite : elle apparaît comme si l'œil s'était déplacé à la hauteur du premier miroir.

Physique & Co — Le périscope, des remparts aux tranchées

Le principe à deux miroirs parallèles est décrit dès 1685 par le savant allemand Johann Zahn, dans son traité d'optique Oculus Artificialis Teledioptricus : il propose un « polémoscope », un instrument à miroirs destiné aux soldats pour observer par-dessus un rempart sans exposer leur tête. Le nom moderne « périscope », du grec peri (« autour ») et skopein (« regarder »), s'impose au tournant du XXe siècle, quand l'appareil est perfectionné pour équiper les premiers sous-marins militaires. Il devient un objet familier des soldats pendant la Première Guerre mondiale (1914-1918), qui l'utilisent, monté sur une simple planche, pour surveiller l'ennemi depuis le fond des tranchées.

5.3 Autres applications

Exemple — le kaléidoscope

Un kaléidoscope contient deux (ou trois) miroirs plans inclinés l'un par rapport à l'autre, entre lesquels on place de petits objets colorés. Les réflexions multiples, successives, entre les deux miroirs créent une image répétée en rosace, avec un nombre d'images d'autant plus grand que l'angle entre les miroirs est petit. Inventé par le physicien écossais David Brewster en 1816, cet instrument reste un jouet optique très répandu.

Exemple — les miroirs de sécurité

Dans un magasin, à un croisement de couloirs étroit, ou à la sortie d'un parking, on installe souvent un grand miroir convexe plutôt qu'un miroir plan : il permet de surveiller une zone beaucoup plus large depuis un seul point d'observation, au prix d'une image réduite et légèrement déformée sur les bords — un compromis tout à fait acceptable pour repérer un danger (un client, un piéton, une voiture) à temps.

Fiche mémo

Réflexion spéculaire (miroir, surface lisse) : rayons parallèles restant parallèles. Réflexion diffuse (surface rugueuse) : rayons dispersés dans toutes les directions.
Vocabulaire : rayon incident, point d'incidence I, normale (N, perpendiculaire au miroir en I), rayon réfléchi, angle d'incidence $i$ , angle de réflexion $r$ — tous mesurés par rapport à la normale.
Lois de la réflexion : (1) le rayon incident, la normale et le rayon réfléchi sont dans un même plan ; (2) $r = i$ .
Méthode de construction du rayon réfléchi : tracer la normale, reporter l'angle $i$ de l'autre côté.
L'image A' d'un point A par un miroir plan est le symétrique orthogonal de A par rapport au plan du miroir (démontré à partir du triangle isocèle AMA').
Caractéristiques de l'image : virtuelle (pas d'écran possible), même taille que l'objet, à même distance du miroir, inversée latéralement (gauche/droite) mais pas de haut en bas.
Champ de vision : zone visible depuis l'œil E ; se construit à l'aide de E', symétrique de E par rapport au miroir, et des droites (E'M), (E'N) prolongées devant le miroir.
Un miroir plan de taille fixe : reculer ne change pas la portion de son propre corps visible dans le miroir.
Rétroviseur convexe : champ de vision plus large, mais image rétrécie — les objets paraissent plus loin qu'ils ne le sont.
Périscope : deux miroirs plans parallèles, inclinés à $45°$ , qui décalent verticalement un rayon horizontal sans le dévier (rayon de sortie parallèle au rayon d'entrée).

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Sur un schéma de réflexion, nomme les quatre éléments essentiels autour du point d'incidence I, et précise par rapport à quelle droite se mesurent les angles $i$ et $r$ .

Voir le corrigé détaillé

Les quatre éléments sont : le rayon incident (qui arrive sur le miroir), la normale (N), perpendiculaire au miroir en I, le rayon réfléchi (qui repart de I), et le miroir lui-même. Les angles $i$ (incidence) et $r$ (réflexion) se mesurent tous les deux par rapport à la normale, jamais par rapport à la surface du miroir.

Un rayon lumineux arrive sur un miroir plan avec un angle d'incidence $i = 52°$ . Donne l'angle de réflexion $r$ , puis l'angle formé entre le rayon incident et le rayon réfléchi.

Voir le corrigé détaillé

$r = i$ deuxième loi de la réflexion
$\Rightarrow$ $r = 52°$
angle (incident ; réfléchi) $= i + r$
$=$ $52° + 52°$
$=$ $104°$

Figure 6 — Lois de la réflexion : le rayon incident, la normale (N) et le rayon réfléchi sont dans le même plan ; l'angle d'incidence

i

mesuré depuis la normale est égal à l'angle de réflexion

r

Un rayon lumineux fait un angle de $25°$ avec la surface d'un miroir plan. Calcule l'angle d'incidence $i$ , puis l'angle de réflexion $r$ .

Voir le corrigé détaillé

$i = 90° - 25°$ l'angle donné est mesuré depuis le miroir, pas depuis la normale
$=$ $65°$
$r = i$
$=$ $65°$

Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse en une phrase.

L'image donnée par un miroir plan est toujours virtuelle.
L'image a une taille différente de celle de l'objet.
L'objet et son image sont à la même distance du miroir.
L'image est retournée de haut en bas.
L'image est inversée de gauche à droite.

Voir le corrigé détaillé

1. Vrai. Un miroir plan ne peut jamais former une image réelle : elle ne peut pas être recueillie sur un écran.

2. Faux. Le miroir plan conserve exactement la taille de l'objet.

3. Vrai. C'est la conséquence directe de la symétrie par rapport au plan du miroir.

4. Faux. Un miroir plan vertical n'inverse pas le haut et le bas.

5. Vrai. C'est l'inversion latérale : la main droite d'une personne correspond à la main gauche de son image.

Classe chacune des surfaces suivantes en réflexion spéculaire ou diffuse : (a) la vitre d'une bijouterie ; (b) une feuille de cahier ; (c) un lac gelé et parfaitement lisse ; (d) un mur peint en mat ; (e) le dos poli d'une cuillère en métal.

Voir le corrigé détaillé

(a) Spéculaire — surface lisse et polie, donne une image reconnaissable. (b) Diffuse — le papier, même lisse en apparence, disperse la lumière dans toutes les directions, c'est ce qui te permet de la lire sous tous les angles. (c) Spéculaire — la glace lisse se comporte comme un miroir. (d) Diffuse — c'est le but d'une peinture mate : renvoyer la lumière sans éblouir ni former d'image. (e) Spéculaire — le métal poli agit comme un miroir (légèrement bombé ici, donc convexe).

Niveau 2 — Approfondissement

Kofi se regarde dans un miroir plan vertical ; son visage est à $40$ cm du miroir. 1) Calcule la distance entre son visage et son image. 2) En admettant que ses yeux sont pratiquement à la même distance du miroir que son visage, calcule le trajet total parcouru par la lumière, du visage jusqu'à l'œil de Kofi, en passant par le miroir. Compare les deux résultats.

Voir le corrigé détaillé

distance (visage, image) $= 2 \times 40$ objet et image à distances égales du miroir, de part et d'autre
$=$ $80$ cm
trajet lumineux $= 40$ (visage → miroir) $+\ 40$ (miroir → œil)
$=$ $80$ cm

Les deux résultats sont identiques : lorsque l'œil observe pratiquement au même endroit que l'objet regardé, le trajet réel parcouru par la lumière est égal à la distance qui sépare l'œil de l'image.

Deux miroirs plans sont perpendiculaires l'un à l'autre (un horizontal, un vertical). Un rayon incident touche le miroir horizontal avec un angle d'incidence $i_1 = 35°$ , puis le rayon réfléchi va toucher le miroir vertical. 1) Calcule $r_1$ . 2) Justifie que l'angle d'incidence sur le second miroir vaut $i_2 = 90° - r_1$ , puis calcule-le. 3) Calcule $r_2$ .

Voir le corrigé détaillé

$r_1 = i_1$
$=$ $35°$

Les deux miroirs étant perpendiculaires, leurs deux normales sont, elles aussi, perpendiculaires entre elles. Le rayon issu du premier miroir et la normale du second miroir forment donc, avec la normale du premier miroir, un triangle rectangle dont on déduit :

$i_2 = 90° - r_1$
$=$ $90° - 35°$
$=$ $55°$
$r_2 = i_2$
$=$ $55°$

On remarque que $i_1 + i_2 = 35° + 55° = 90°$ : cette relation est toujours vraie pour deux miroirs perpendiculaires, quelle que soit la valeur de $i_1$ . On peut montrer qu'il en résulte que le rayon final ressort strictement parallèle (mais de sens opposé) au rayon incident initial : c'est le principe du rétroréflecteur, utilisé par exemple dans les catadioptres de vélo.

Aïcha se tient à $0,5$ m d'un miroir plan de salle de bain, large de $0,4$ m. Un mur lui fait face, à $2$ m au-delà du miroir. Calcule la largeur de la portion de ce mur qu'Aïcha peut voir reflétée dans le miroir.

Voir le corrigé détaillé

On utilise la méthode du champ de vision : E' (symétrique de l'œil d'Aïcha) est à $0,5$ m derrière le miroir. La largeur du champ, à une distance donnée de E', est proportionnelle à cette distance (triangles semblables).

distance (E', miroir) $= 0,5$ m
distance (E', mur) $= 0,5 + 2$
$=$ $2,5$ m
coefficient d'agrandissement $= \dfrac{2,5}{0,5}$
$=$ $5$
largeur visible sur le mur $= 0,4 \times 5$
$=$ $2$ m

Aïcha peut donc voir, reflétée dans son petit miroir, une bande de $2$ m de large sur le mur du fond.

Un rayon incident fixe touche un miroir avec un angle d'incidence $i_0 = 25°$ . On fait pivoter le miroir de $10°$ (le rayon incident, lui, ne bouge pas). 1) Calcule le nouvel angle d'incidence $i'$ , puis $r'$ . 2) Calcule l'angle entre le rayon incident et le rayon réfléchi, avant puis après la rotation. 3) Déduis-en de combien de degrés le rayon réfléchi a tourné.

Voir le corrigé détaillé

$i' = i_0 + 10°$ la normale tourne avec le miroir
$=$ $35°$
$r' = i'$
$=$ $35°$
angle avant rotation $= 2 \times i_0 = 2 \times 25°$
$=$ $50°$
angle après rotation $= 2 \times i' = 2 \times 35°$
$=$ $70°$
rotation du rayon réfléchi $= 70° - 50°$
$=$ $20°$

Le rayon réfléchi a tourné de $20°$ , soit exactement le double de la rotation du miroir ( $10°$ ). C'est une propriété générale : quand un miroir tourne d'un angle $\alpha$ , à rayon incident fixe, le rayon réfléchi tourne de $2\alpha$ .

Niveau 3 — Défi

Au bord d'un fleuve parfaitement calme, à Abéché, un pêcheur observe le mât AB d'une pirogue, vertical, de hauteur $AB = 1,6$ m, dont le pied A touche exactement la surface de l'eau (qui se comporte comme un miroir plan horizontal).

Décris la méthode de construction de l'image A'B' du mât dans l'eau, et donne la position du point A'.
Calcule la distance entre le sommet réel B et le sommet de son image B'.
Donne deux caractéristiques de l'image observée par le pêcheur.

Voir le corrigé détaillé

1. Pour construire A'B', on trace la perpendiculaire à la surface de l'eau passant par chaque point du mât, et on reporte, de l'autre côté de la surface, une distance égale à celle qui sépare ce point de l'eau. Le point A touchant déjà la surface, son image A' est confondue avec A (distance nulle). Le point B, à $1,6$ m au-dessus de l'eau, a pour image B', à $1,6$ m en dessous de la surface.

Figure 5 — Construction de l'image A'B' d'un objet AB par un miroir plan horizontal : l'image, virtuelle, a la même taille que l'objet mais se trouve « retournée » de l'autre côté du miroir.

2. B est à $1,6$ m au-dessus de la surface, B' est à $1,6$ m en dessous.

$BB' = 1,6 + 1,6$
$=$ $3,2$ m

3. L'image A'B' est virtuelle (on ne peut pas la toucher, elle est « sous » l'eau) et de même taille que le mât réel ( $A'B' = AB = 1,6$ m). Elle apparaît de plus retournée par rapport au mât réel, car le miroir est ici horizontal.

Un périscope est construit dans un tube de section carrée de côté $c = 8$ cm, avec deux miroirs identiques inclinés à $45°$ , placés exactement en diagonale de chaque section carrée. La distance verticale entre les deux miroirs est de $60$ cm.

En utilisant le théorème de Pythagore, calcule la longueur $L$ minimale de chaque miroir pour qu'il barre entièrement la diagonale du tube.
Justifie, en citant les lois de la réflexion, que le rayon qui sort du périscope (vers l'œil) est parallèle au rayon qui y entre (vers l'objet observé).
Ce périscope permettrait-il, depuis le fond d'une tranchée profonde de $1,8$ m, d'observer par-dessus le bord ? Justifie à partir de la longueur du tube.

Voir le corrigé détaillé

1. Le miroir traverse le tube en diagonale : il forme, avec deux côtés du carré, un triangle rectangle isocèle de côtés $c$ et $c$ .

$L^{2} = c^{2} + c^{2}$ théorème de Pythagore
$=$ $8^{2} + 8^{2}$
$=$ $64 + 64$
$=$ $128$
$\Rightarrow$ $L = \sqrt{128}$ une longueur est positive
$\approx$ $11,3$ cm

2. Chaque miroir est incliné à $45°$ : l'angle d'incidence par rapport à sa normale vaut donc $45°$ , et l'angle de réflexion aussi ( $r = i$ ), ce qui fait tourner le rayon de $90°$ à chaque réflexion (horizontal → vertical, puis vertical → horizontal). Les deux miroirs étant parallèles, ces deux rotations de $90°$ se compensent exactement en direction : le rayon de sortie est donc parallèle à celui d'entrée (voir la propriété du paragraphe 5.2).

3. Le tube mesure $60$ cm de haut, soit $0,6$ m, ce qui est bien inférieur à $1,8$ m. Un soldat au fond de la tranchée devrait donc lever le périscope à bout de bras, ou utiliser un tube nettement plus long, pour que le premier miroir dépasse effectivement le bord de la tranchée.

Un kaléidoscope contient deux miroirs plans qui forment entre eux un angle $\alpha$ . Le nombre d'images visibles $n$ (en plus de l'objet réel) vérifie, quand ce quotient est un nombre entier :

$n = \dfrac{360°}{\alpha} - 1$

Calcule $n$ pour un angle $\alpha = 40°$ .
Calcule $n$ pour un angle $\alpha = 30°$ .
Explique pourquoi cette formule ne donne pas un résultat exploitable pour $\alpha = 50°$ .

Voir le corrigé détaillé

$n = \dfrac{360°}{40°} - 1$
$=$ $9 - 1$
$=$ $8$

$n = \dfrac{360°}{30°} - 1$
$=$ $12 - 1$
$=$ $11$

3. Avec $\alpha = 50°$ , on calcule $\dfrac{360°}{50°} = 7,2$ , qui n'est pas un nombre entier. Les images successives, obtenues par réflexions répétées, ne se referment plus alors exactement en rosace : la dernière image chevauche ou laisse un vide par rapport à la première, et la formule simple ne s'applique plus.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Réparation à Dakar. Le rétroviseur extérieur droit de la voiture de M. Diallo, un miroir plan légèrement convexe, est cassé. Un garagiste du quartier propose de le remplacer pour $12\,500$ F CFA (pièce et pose comprises) ; le rétroviseur intérieur (miroir plan classique), lui aussi fissuré, coûte $6\,800$ F CFA à remplacer.

Calcule le coût total de la réparation.
M. Diallo se place à $0,6$ m du rétroviseur intérieur pour le régler avant de démarrer. À quelle distance de lui se trouve son image ?
Le garagiste insiste : « Soyez prudent en doublant, à cause du rétroviseur extérieur. » Pourquoi ce conseil, spécifique au miroir convexe ?

Voir le corrigé détaillé

coût total $= 12\,500 + 6\,800$
$=$ $19\,300$ F CFA

distance (M. Diallo, image) $= 2 \times 0,6$
$=$ $1,2$ m

3. Un miroir convexe donne une image rétrécie, donc d'apparence plus lointaine que la réalité. Un véhicule qui double, vu dans ce rétroviseur, paraît donc plus loin qu'il ne l'est réellement : d'où le risque si le conducteur se rabat trop tôt.

Club de sciences à Ndjamena. Pour observer les oiseaux au bord du fleuve Chari sans les effrayer, le club de sciences d'un collège construit des périscopes. Matériel nécessaire pour un périscope : deux miroirs plans ( $2\,200$ F CFA l'unité), un tube de PVC ( $3\,500$ F CFA), colle et carton ( $1\,300$ F CFA).

Calcule le coût du matériel pour un périscope.
Les élèves inclinent les deux miroirs, parallèles entre eux, à $45°$ . Justifie que le rayon horizontal entrant ressort bien horizontal, en citant les lois de la réflexion.
Le club dispose d'un budget de $45\,000$ F CFA pour le matériel. Combien de périscopes complets peut-il fabriquer, et quelle somme restera-t-il ?

Voir le corrigé détaillé

coût $= 2 \times 2\,200 + 3\,500 + 1\,300$
$=$ $4\,400 + 3\,500 + 1\,300$
$=$ $9\,200$ F CFA

2. Sur chaque miroir incliné à $45°$ , l'angle d'incidence par rapport à la normale vaut $45°$ , donc l'angle de réflexion aussi ( $r = i$ ) : le rayon tourne de $90°$ à chaque réflexion. Les deux miroirs étant parallèles, la première rotation de $90°$ (horizontal → vertical) est exactement compensée par la seconde (vertical → horizontal) : le rayon ressort bien horizontal, parallèle au rayon d'entrée.

nombre de périscopes $= 45\,000 \div 9\,200$
$\approx$ $4,89$ on ne peut fabriquer qu'un nombre entier de périscopes
$\Rightarrow$ $4$ périscopes complets
somme utilisée $= 4 \times 9\,200 = 36\,800$ F CFA
somme restante $= 45\,000 - 36\,800$
$=$ $8\,200$ F CFA

Le club peut donc fabriquer 4 périscopes, et il lui restera $8\,200$ F CFA.

Miroir de sécurité à Abidjan. À un croisement de rayons dans un supermarché, le gérant hésite entre un miroir plan ( $15\,000$ F CFA, fourniture et pose) et un miroir convexe de même diamètre ( $34\,000$ F CFA).

Calcule la différence de prix entre les deux options.
Pourquoi le gérant choisit-il finalement le miroir convexe, plus cher, pour cet usage précis ?
Satisfait, il fait installer $3$ miroirs convexes identiques à différents croisements du magasin. Calcule la dépense totale.

Voir le corrigé détaillé

différence $= 34\,000 - 15\,000$
$=$ $19\,000$ F CFA

2. À diamètre égal, le miroir convexe offre un champ de vision beaucoup plus large qu'un miroir plan : depuis un seul point d'observation, le gérant peut surveiller un couloir entier, ce qui justifie le surcoût pour la sécurité du magasin.

dépense totale $= 3 \times 34\,000$
$=$ $102\,000$ F CFA

📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Dans un milieu transparent et homogène, la lumière se propage :

en suivant une courbe uniquement la nuit en ligne droite uniquement dans le vide

Explication : Dans un milieu transparent et homogène, la lumière se propage en ligne droite : c'est ce que représente un rayon lumineux.

Sur quelle surface a-t-on une réflexion diffuse, où les rayons repartent dans toutes les directions ?

un mur peint en mat un miroir bien poli une eau de lac parfaitement calme une plaque de métal poli

Explication : Une surface rugueuse, comme un mur mat, renvoie la lumière dans toutes les directions : c'est la réflexion diffuse, qui permet de voir l'objet sous tous les angles.

La normale (N), en un point d'incidence I, est :

une droite parallèle au miroir le rayon incident lui-même le rayon réfléchi lui-même la droite perpendiculaire au miroir, tracée en I

Explication : La normale (N) est la droite perpendiculaire au miroir, tracée au point d'incidence I : c'est par rapport à elle que se mesurent les angles.

Les angles d'incidence $i$ et de réflexion $r$ se mesurent toujours :

par rapport à la surface du miroir par rapport à la normale par rapport au sol en centimètres

Explication : C'est l'erreur la plus fréquente à éviter : les angles

i

r

se mesurent toujours par rapport à la normale, jamais par rapport au miroir lui-même.

D'après la deuxième loi de la réflexion, on a toujours :

i = 90° - r

i + r = 90°

r = i

r = 2i

Explication : La deuxième loi de la réflexion dit que l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence :

r = i

Un rayon lumineux arrive sur un miroir plan avec un angle d'incidence $i = 40°$ . Quel est l'angle entre le rayon incident et le rayon réfléchi ?

80°

40°

20°

140°

Explication :

r = i = 40°

, donc l'angle entre les deux rayons vaut

i + r = 40° + 40° = 80°

Un rayon rase un miroir en faisant un angle de $20°$ avec sa surface. L'angle d'incidence $i$ (mesuré depuis la normale) vaut :

20°

45°

110°

70°

Explication : L'angle d'incidence se mesure depuis la normale, pas depuis le miroir :

i = 90° - 20° = 70°

Un rayon arrive perpendiculairement à un miroir ( $i = 0°$ ). Le rayon réfléchi :

disparaît complètement repart exactement sur le même trajet, en sens inverse part à

90°

du rayon incident devient parallèle au miroir

Explication : Si

i = 0°

, alors

r = 0°

: le rayon réfléchi repart exactement sur le même trajet que le rayon incident, mais en sens inverse.

Une image donnée par un miroir plan est dite virtuelle car :

elle n'existe pas du tout elle peut toujours se former sur un écran elle ne peut pas se former sur un écran, seul un œil peut la percevoir elle est toujours floue

Explication : Une image virtuelle ne peut pas se recueillir sur un écran : elle n'est observable que par un œil placé sur le trajet des rayons réfléchis.

L'image A' d'un point objet A donnée par un miroir plan est :

le symétrique orthogonal de A par rapport au plan du miroir toujours plus grande que A située à l'intérieur même du miroir indépendante de la position de A

Explication : C'est le théorème central du chapitre : l'image A' est le symétrique orthogonal de A par rapport au plan du miroir.

Un mot écrit « SOS » sur une feuille, vu dans un miroir vertical, se lit encore « SOS », alors que « BONJOUR » devient illisible. Que montre cet exemple ?

que le miroir inverse le haut et le bas que le miroir ne renvoie aucune lumière que « BONJOUR » n'est jamais réfléchi que le miroir inverse la gauche et la droite, mais pas le haut et le bas

Explication : Un miroir plan vertical inverse latéralement (gauche/droite) mais ne retourne jamais l'image de haut en bas. « SOS » est symétrique, donc reste lisible ; « BONJOUR » ne l'est pas.

Léa se tient à $1,2\ \text{m}$ d'un miroir plan mural. À quelle distance d'elle se trouve son image ?

1,2\ \text{m}

2,4\ \text{m}

0,6\ \text{m}

3,6\ \text{m}

Explication : L'image est à la même distance du miroir que Léa, de l'autre côté : distance (Léa, image)

= 1,2 + 1,2 = 2,4\ \text{m}

Boubacar se trouvait à $2\ \text{m}$ d'un miroir plan ; il avance de $0,5\ \text{m}$ vers le miroir. Sa nouvelle distance à son image vaut :

2\ \text{m}

2,5\ \text{m}

3\ \text{m}

4\ \text{m}

Explication : Sa nouvelle distance au miroir est

2 - 0,5 = 1,5\ \text{m}

, donc sa distance à l'image vaut

2 \times 1,5 = 3\ \text{m}

Le champ de vision d'un œil placé en E devant un miroir se construit en traçant d'abord :

le symétrique E' de E par rapport au plan du miroir une droite parallèle au miroir passant par E un cercle centré sur le miroir la normale au sol

Explication : On construit d'abord E', symétrique de E par rapport au miroir, puis on trace les droites (E'M) et (E'N) vers les bords du miroir, prolongées devant celui-ci.

Fatou, devant un miroir mural, ne voit pas ses pieds même en reculant. Pourquoi reculer ne change-t-il rien ?

car son image change de taille en reculant car le miroir tourne quand elle recule car la lumière ne se propage plus en ligne droite à cette distance car le point le plus bas visible ne dépend que de la hauteur du bord bas du miroir, pas de la distance

Explication : Le point le plus bas visible est fixé par le bord bas du miroir et la hauteur de l'œil, deux éléments qui ne changent pas avec la distance : reculer ne change donc rien.

Un rétroviseur extérieur convexe, comparé à un miroir plan de même taille, offre :

un champ de vision plus étroit et une image agrandie exactement le même champ de vision un champ de vision plus large, mais une image rétrécie aucune image du tout

Explication : À taille égale, un miroir convexe offre un champ de vision plus large qu'un miroir plan, mais l'image qu'il donne est rétrécie.

Pourquoi les rétroviseurs convexes portent-ils la mention « Objets plus proches qu'ils ne le paraissent » ?

car ils grossissent les objets car l'image rétrécie donne l'impression que les objets sont plus loin qu'en réalité car ils sont toujours sales car ils ne fonctionnent que la nuit

Explication : L'image rétrécie d'un miroir convexe donne une impression de distance trompeuse : les objets paraissent plus lointains qu'ils ne le sont réellement.

Dans un périscope, les deux miroirs plans sont :

parallèles entre eux, chacun incliné à

45°

perpendiculaires entre eux un seul miroir suffit, pas deux inclinés à

90°

chacun

Explication : Le périscope repose sur deux miroirs plans, parallèles entre eux, chacun incliné à

45°

par rapport à la direction de visée.

Un rayon horizontal arrive sur le premier miroir d'un périscope, incliné à $45°$ . Après réflexion, ce rayon repart :

toujours à l'horizontale, sans changer de direction dans le sens inverse, vers l'objet à

45°

au-dessus de l'horizontale à la verticale, vers le bas du tube

Explication : Avec

i = r = 45°

, le rayon réfléchi repart à

90°

de sa direction initiale : d'horizontal, il devient vertical, vers le bas du tube.

Dans un magasin ou un parking, on installe souvent un grand miroir convexe plutôt qu'un miroir plan pour surveiller un croisement, car il permet :

de voir une image plus grande que la réalité de surveiller une zone plus large depuis un seul point d'observation de ne jamais avoir besoin d'entretien de supprimer complètement la réflexion diffuse

Explication : Un miroir convexe permet de surveiller une zone beaucoup plus large depuis un seul point, au prix d'une image réduite : un bon compromis pour la sécurité.

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En bref

Classe : Classe de Quatrième
Matière : Physique
Durée estimée : 5 h
6 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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