Lentilles, œil et instruments d'optique

• 1. Convergente : elle est à bords minces, c’est le critère du toucher.
• 2. Divergente : elle écarte les rayons, c’est le critère de l’effet.
• 3. Divergente : l’œil myope est trop convergent, il faut lui retirer de la convergence.
• 4. Convergente : seule une lentille convergente peut donner une image virtuelle agrandie.

Première lentille.

Seconde lentille.

La vergence est négative : cette lentille est divergente, et sa distance focale mesure $40\ \mathrm{cm}$.

1. Un rayon parallèle à l’axe optique ressort en passant par le foyer image $F′$.
2. Un rayon qui passe par le centre optique $O$ n’est pas dévié.
3. Un rayon qui passe par le foyer objet $F$ ressort parallèle à l’axe optique.

Deux droites sécantes se coupent en un seul point : deux rayons suffisent donc à déterminer $B′$. Le troisième n’est pas inutile pour autant — il sert de vérification, car il doit passer exactement par le même point.

La montagne est extrêmement éloignée : les rayons qui en proviennent arrivent parallèles sur la lentille.

Or les rayons parallèles à l’axe se rassemblent au foyer image $F′$. L’écran doit donc être placé dans le plan focal image, c’est-à-dire à $10\ \mathrm{cm}$ derrière la lentille.

L’image obtenue est réelle (elle se forme sur un écran), renversée et extrêmement réduite.

On repère d’abord les points clés : $F$ est à $6\ \mathrm{cm}$ et $2F$ à $12\ \mathrm{cm}$ de la lentille.

• 1. $20\ \mathrm{cm} > 12\ \mathrm{cm}$ : l’objet est au-delà de $2F$. L’image est réelle, renversée et réduite.
• 2. $6 < 9 < 12$ : l’objet est entre $F$ et $2F$. L’image est réelle, renversée et agrandie.
• 3. $4\ \mathrm{cm} < 6\ \mathrm{cm}$ : l’objet est entre $F$ et $O$. L’image est virtuelle, droite et agrandie : la lentille fonctionne en loupe.

Une différence essentielle demeure : l’appareil photo fait le point en déplaçant son objectif, alors que l’œil déforme son cristallin.

Salif. La vergence est négative : le verre est divergent, il corrige la myopie.

Nadia. La vergence est positive : le verre est convergent, il corrige l’hypermétropie.

Données : $f′ = 4\ \mathrm{cm}$, $\overline{OA} = -12\ \mathrm{cm}$, $\overline{AB} = 3\ \mathrm{cm}$.

L’image est réelle ($\overline{OA′} > 0$), située à $6\ \mathrm{cm}$ derrière la lentille, renversée ($\gamma < 0$) et réduite de moitié : elle mesure $1{,}5\ \mathrm{cm}$.

Vérification graphique. L’objet est à $12\ \mathrm{cm}$, or $2F$ est à $8\ \mathrm{cm}$ : l’objet est bien au-delà de $2F$, ce qui donne une image réelle, renversée et réduite. Le rayon parallèle à l’axe issu de $B$ ressort par $F′$ ; le rayon passant par $O$ n’est pas dévié ; ils se coupent à $6\ \mathrm{cm}$ de $O$, $1{,}5\ \mathrm{cm}$ sous l’axe.

Données : $f′ = 5\ \mathrm{cm}$, $\overline{OA} = -3\ \mathrm{cm}$, $\overline{AB} = 4\ \mathrm{mm}$.

$\overline{OA′}$ est négatif : l’image est virtuelle, située $7{,}5\ \mathrm{cm}$ devant la lentille, du même côté que le timbre. Le grandissement est positif : l’image est droite, et elle est agrandie $2{,}5$ fois. C’est bien le comportement d’une loupe.

On travaille en mètres : $f′ = 0{,}050\ \mathrm{m}$ et $\overline{OA} = -2{,}0\ \mathrm{m}$.

Il faut donc placer le capteur à environ $51{,}3\ \mathrm{mm}$ de l’objectif, soit à peine $1{,}3\ \mathrm{mm}$ de plus que la distance focale.

C’est pour cette raison qu’un objectif ne se déplace que de quelques millimètres lors de la mise au point : dès que le sujet est à plusieurs mètres, l’image se forme pratiquement dans le plan focal.

Œil au repos. L’objet est à l’infini : l’image se forme dans le plan focal image, donc sur la rétine.

Œil accommodant. L’image doit toujours tomber à $17\ \mathrm{mm}$, donc $\overline{OA′} = 0{,}017\ \mathrm{m}$, avec $\overline{OA} = -0{,}25\ \mathrm{m}$.

Pour lire, le cristallin doit donc gagner environ $4\ \delta$ : c’est exactement l’accommodation. Cet effort musculaire permanent explique la fatigue oculaire après une longue séance de lecture ou d’écran.

Un écran ne devient lumineux que si de la lumière arrive réellement sur lui. Or, dans le cas d’une image virtuelle, les rayons qui sortent de la lentille divergent : ils ne se croisent jamais après elle. Ce sont seulement leurs prolongements, tracés en pointillés vers l’arrière, qui se coupent. Aucune énergie lumineuse ne passe par le point image : un écran placé là ne recevrait qu’un éclairage diffus.

L’œil, en revanche, est lui-même un système convergent. Il reçoit le faisceau divergent qui sort de la loupe et le rassemble sur sa rétine. Le cerveau interprète alors ce faisceau comme s’il provenait du point d’où les rayons semblent venir : c’est ainsi qu’on « voit » l’image virtuelle, grande et droite, derrière la loupe.

Il a raison dans le cas le plus fréquent, mais pas toujours.

Tant que l’objet est au-delà du foyer objet $F$, les rayons se recroisent après la lentille : l’image est réelle et renversée. C’est le cas de l’appareil photo, du projecteur et de l’œil.

Mais si l’objet est placé entre $F$ et $O$, les rayons ressortent en divergeant. L’image devient alors virtuelle et droite : c’est le fonctionnement de la loupe. L’élève oublie ce second cas.

Enfin, si l’objet est exactement en $F$, les rayons ressortent parallèles : il n’y a pas d’image du tout.

La vergence est positive : l’ensemble se comporte comme une lentille convergente.

Le Soleil est à l’infini : son image se forme dans le plan focal image. Il faudrait donc placer l’écran à environ $33\ \mathrm{cm}$ derrière l’ensemble.

Attention : cette expérience ne se fait jamais en visant le Soleil à l’œil. On projette l’image sur l’écran sans jamais regarder à travers les lentilles.

1. Première position. L’image est à $\overline{OA′} = 0{,}276\ \mathrm{m}$, donc l’objet est à $\overline{OA} = -(1{,}00 - 0{,}276) = -0{,}724\ \mathrm{m}$.

Or $\dfrac{1}{f′} = \dfrac{1}{0{,}20} = 5{,}00$. L’égalité est vérifiée : cette position convient.

2. Seconde position. Cette fois $\overline{OA′} = 0{,}724\ \mathrm{m}$ et $\overline{OA} = -0{,}276\ \mathrm{m}$.

La somme est la même : la seconde position convient aussi. Les deux positions sont symétriques l’une de l’autre par rapport au milieu du dispositif.

3. Grandissements.

Dans les deux cas l’image est renversée. La première position donne une image réduite, la seconde une image agrandie. On remarque que $\gamma_1 \times \gamma_2 = 1$ : les deux grandissements sont inverses l’un de l’autre.

L’objet est à l’infini : les rayons arrivent parallèles à l’axe. Le verre doit donc en faire une image située à $50\ \mathrm{cm}$ devant lui, c’est-à-dire du même côté que l’objet.

Cette image se situe donc au foyer image du verre :

Il faut donc des verres de $-2{,}0\ \delta$, effectivement divergents, ce qui confirme la règle : la myopie se corrige par une lentille divergente.

On retiendra la règle pratique : la vergence du verre correcteur d’un myope est l’opposé de l’inverse de la distance de son punctum remotum exprimée en mètres.

1. La vergence est négative, donc les verres sont divergents.

2. Distance focale :

Soit environ $67\ \mathrm{cm}$, le signe rappelant que le foyer image est virtuel.

3. Un verre divergent corrige la myopie. Sans lunettes, l’œil d’Aïcha est trop convergent : l’image du tableau se forme avant sa rétine, et sur la rétine elle-même il ne reste qu’une tache floue.

4. Son punctum remotum se déduit de la distance focale du verre correcteur :

Aïcha voit donc net jusqu’à environ $67\ \mathrm{cm}$ : le tableau, à plusieurs mètres, est bien au-delà.

5. Parce qu’elle tient son cahier à $30\ \mathrm{cm}$ environ, soit bien en deçà de $67\ \mathrm{cm}$. Dans cette zone, son œil trop convergent forme l’image exactement sur la rétine : elle voit parfaitement net. C’est la signature du myope, qui voit mal de loin mais très bien de près.

1. On convertit tout en mètres : $f′ = 0{,}050\ \mathrm{m}$ et $\overline{OA} = -3{,}0\ \mathrm{m}$.

Le capteur doit être à environ $50{,}8\ \mathrm{mm}$ de l’objectif.

2. Grandissement :

Hauteur de l’image :

L’image mesure donc $28{,}8\ \mathrm{mm}$, et le signe $-$ rappelle qu’elle est renversée sur le capteur.

3. Le capteur ne mesure que $24\ \mathrm{mm}$ de haut, or l’image en réclame $28{,}8$. Lucas ne tient pas entièrement : la photo lui coupera la tête ou les pieds.

4. Il faut que l’image ne dépasse pas $24\ \mathrm{mm}$, soit $0{,}024\ \mathrm{m}$.

Comme l’image se forme quasiment dans le plan focal, on peut prendre $\overline{OA′} \approx 0{,}050\ \mathrm{m}$.

Mathieu doit donc reculer d’environ un demi-mètre, jusqu’à $3{,}6\ \mathrm{m}$, pour que Lucas tienne confortablement dans le cadre.

1. Loupe à $6\ \mathrm{cm}$. Données : $f′ = 10\ \mathrm{cm}$, $\overline{OA} = -6\ \mathrm{cm}$.

L’image est virtuelle (position négative), située $15\ \mathrm{cm}$ devant la loupe, du même côté que le journal. Elle est droite ($\gamma > 0$) et agrandie $2{,}5$ fois. La grand-mère lit sans peine.

2. Loupe à $12\ \mathrm{cm}$. Cette fois $\overline{OA} = -12\ \mathrm{cm}$.

L’image est devenue réelle et renversée, agrandie $5$ fois. La grand-mère voit brusquement le texte à l’envers et très flou, car son œil n’est pas placé où l’image se forme. La loupe ne remplit plus son rôle.

3. Règle d’or. Pour qu’une lentille convergente serve de loupe, l’objet doit toujours être placé entre le foyer objet $F$ et le centre optique $O$, c’est-à-dire à une distance inférieure à la distance focale. Ici, il fallait rester à moins de $10\ \mathrm{cm}$ du journal.