Monter un sac de ciment au troisième étage, ou le monter à la même hauteur avec une grue : dans les deux cas, la physique dit que le même travail a été accompli. Ce qui change, c’est le temps mis pour le faire — et c’est exactement ce que mesure la puissance. Travail et puissance sont deux grandeurs différentes que l’on confond souvent dans la vie courante ; ce chapitre va te permettre de les séparer une fois pour toutes, et d’expliquer pourquoi un moteur de $90$ chevaux n’est pas « plus fort », mais « plus rapide ».

1Le travail d’une force constante

Une force n’a d’effet intéressant que si elle déplace quelque chose. Pousser un mur toute la journée fatigue les bras, mais en physique cela n’accomplit aucun travail : le mur n’a pas bougé.

Définition — travail d’une force parallèle au déplacement

Lorsqu’une force constante $\overrightarrow{F}$ est parallèle au déplacement et de même sens, son travail sur une distance $d$ vaut :

$W = F \times d$

$W$ : travail de la force, en joules ( $\mathrm{J}$ ) ;
$F$ : valeur de la force, en newtons ( $\mathrm{N}$ ) ;
$d$ : distance parcourue, en mètres ( $\mathrm{m}$ ).

On note souvent $W(\overrightarrow{F})$ pour préciser de quelle force on parle.

Important : Le joule est donc défini par :

1\ \mathrm{J} = 1\ \mathrm{N} \times 1\ \mathrm{m}

. Une force de

1\ \mathrm{N}

qui déplace un objet de

1\ \mathrm{m}

accomplit un travail de

1\ \mathrm{J}

Figure 1 — Un wagonnet tracté par une force horizontale de

250\ \mathrm{N}

sur

40\ \mathrm{m}

: c’est la situation la plus simple du calcul de travail.

Exemple — travail de la force de traction du wagonnet

$W = F \times d$ formule littérale
$W = 250 \times 40$ on remplace par les valeurs
$=$ $10\,000\ \mathrm{J}$ résultat avec son unité

On peut aussi écrire ce résultat $10\ \mathrm{kJ}$ , car $1\ \mathrm{kJ} = 1\,000\ \mathrm{J}$ .

Attention

La distance doit toujours être exprimée en mètres. Une distance donnée en kilomètres doit être convertie avant le calcul : $1{,}5\ \mathrm{km} = 1\,500\ \mathrm{m}$ .

2Travail moteur, travail résistant, travail nul

Toutes les forces qui s’exercent sur un objet en mouvement ne l’aident pas de la même façon. On classe leur travail en trois catégories.

Propriété — les trois cas

Travail moteur : la force est dans le même sens que le déplacement, elle aide au mouvement. On écrit $W > 0$ .
Travail résistant : la force est en sens opposé au déplacement, elle freine le mouvement. On écrit $W < 0$ .
Travail nul : la force est perpendiculaire au déplacement, elle ne fait ni l’un ni l’autre. On écrit $W = 0$ .

Exemple — les frottements sur le wagonnet

Le wagonnet précédent subit aussi des frottements de valeur $f = 60\ \mathrm{N}$ , opposés au déplacement, sur les mêmes $40\ \mathrm{m}$ .

$W(\overrightarrow{f}) = -f \times d$ formule littérale, force opposée au déplacement
$W(\overrightarrow{f}) = -60 \times 40$ on remplace par les valeurs
$=$ $-2\,400\ \mathrm{J}$ travail résistant : le signe est négatif

Le travail total reçu par le wagonnet vaut alors :

$W_{\text{total}} = 10\,000 + (-2\,400)$
$=$ $7\,600\ \mathrm{J}$

2.1 Le cas très important de la force perpendiculaire

Un serveur traverse une salle en portant un plateau bien horizontal. Il se fatigue, bien sûr — mais son bras exerce une force verticale alors que le plateau se déplace horizontalement. Ces deux directions sont perpendiculaires.

Figure 2 — Le carton avance horizontalement ; son poids est vertical. Le poids est perpendiculaire au déplacement : son travail est nul.

Propriété

Une force perpendiculaire au déplacement a un travail nul : $W = 0\ \mathrm{J}$ .

C’est le cas du poids lors d’un déplacement horizontal, ou de la réaction d’un support horizontal.

Astuce : Pour savoir si une force travaille, pose-toi une seule question : la force a-t-elle une composante dans la direction du déplacement ? Si la réponse est non, son travail est nul, quelle que soit sa valeur.

3Le travail du poids

Le poids est la force la plus fréquente de tous les exercices de mécanique. Comme il est toujours vertical, seul le déplacement vertical compte pour calculer son travail : le déplacement horizontal, lui, est perpendiculaire au poids et ne compte pas.

Propriété — travail du poids

Pour un objet de masse $m$ dont le centre de gravité se déplace verticalement d’une hauteur $h$ :

$W = m \times g \times h$

lors d’une descente, le poids est moteur : $W = + m \times g \times h$ ;
lors d’une montée, le poids est résistant : $W = - m \times g \times h$ .

Avec $m$ en $\mathrm{kg}$ , $g$ en $\mathrm{N/kg}$ , $h$ en $\mathrm{m}$ , le travail $W$ est en $\mathrm{J}$ .

Figure 3 — Un monte-charge élève

80\ \mathrm{kg}

12\ \mathrm{m}

. Le poids s’oppose à la montée : son travail est résistant.

Exemple — travail du poids dans le monte-charge

$W = m \times g \times h$ formule littérale, en valeur absolue
$W = 80 \times 9{,}8 \times 12$ on remplace par les valeurs
$=$ $9\,408\ \mathrm{J}$ résultat avec son unité

Comme il s’agit d’une montée, le travail du poids est résistant : $W = -9\,408\ \mathrm{J}$ . Le moteur doit donc fournir au moins $9\,408\ \mathrm{J}$ pour hisser la charge.

3.1 Le chemin suivi n’a aucune importance

Voilà une propriété étonnante et très utile : que l’on monte tout droit ou par une longue rampe, le travail du poids reste exactement le même, pourvu que la hauteur gagnée soit la même.

Figure 4 — Deux chemins différents de

A

B

, une seule et même hauteur

h

: le travail du poids est identique dans les deux cas.

Exemple — monter 8 kg de 2,5 m, par l’échelle ou par la rampe

Un maçon monte un seau de $8\ \mathrm{kg}$ à $2{,}5\ \mathrm{m}$ de hauteur. Le travail du poids vaut, dans les deux cas :

$W = m \times g \times h$
$W = 8 \times 9{,}8 \times 2{,}5$
$=$ $196\ \mathrm{J}$

S’il utilise une rampe de $6\ \mathrm{m}$ de long sans frottement, la force qu’il doit exercer est plus faible :

$F = \dfrac{W}{d}$ même travail, mais réparti sur une plus grande distance
$F = \dfrac{196}{6}$
$=$ $32{,}7\ \mathrm{N}$

C’est tout l’intérêt d’une rampe : elle ne diminue pas le travail, elle diminue la force — au prix d’un trajet plus long.

4La puissance mécanique

Deux ouvriers montent la même charge au même étage : ils fournissent le même travail. Mais si l’un met deux minutes et l’autre dix, ils ne sont visiblement pas aussi puissants. La puissance est la grandeur qui mesure la rapidité avec laquelle un travail est effectué.

Définition — puissance moyenne

$P = \dfrac{W}{\Delta t}$

$P$ : puissance, en watts ( $\mathrm{W}$ ) ;
$W$ : travail effectué, en joules ( $\mathrm{J}$ ) ;
$\Delta t$ : durée du travail, en secondes ( $\mathrm{s}$ ).

Ainsi $1\ \mathrm{W} = 1\ \mathrm{J/s}$ : une puissance de $1$ watt correspond à $1$ joule fourni chaque seconde.

Attention

Attention à deux pièges de notation !

la lettre $P$ désigne soit le poids (en $\mathrm{N}$ ), soit la puissance (en $\mathrm{W}$ ) : c’est le contexte et l’unité qui tranchent ;
la lettre $\mathrm{W}$ désigne soit le travail (grandeur), soit le watt (unité). On écrit $W = 500\ \mathrm{J}$ pour un travail, $P = 500\ \mathrm{W}$ pour une puissance.

Exemple — puissance du monte-charge

Le monte-charge précédent fournit $9\,408\ \mathrm{J}$ en $24\ \mathrm{s}$ .

$P = \dfrac{W}{\Delta t}$ formule littérale
$P = \dfrac{9\,408}{24}$ on remplace par les valeurs
$=$ $392\ \mathrm{W}$ résultat avec son unité

Exemple — activité expérimentale — mesurer sa propre puissance dans un escalier

Matériel

un pèse-personne ;
un mètre ruban ou une règle graduée ;
un chronomètre (celui d’un téléphone convient) ;
un escalier droit d’au moins deux étages.

Protocole

Mesurer sa masse $m$ au pèse-personne, en kilogrammes.
Mesurer la hauteur d’une seule marche, puis compter le nombre de marches ; en déduire la hauteur totale $h$ .
Monter l’escalier à allure soutenue pendant qu’un camarade chronomètre la durée $\Delta t$ .
Recommencer trois fois et conserver la durée moyenne.

Observations (exemple d’un groupe)

Grandeur mesurée	Valeur
Masse de l’élève	$52\ \mathrm{kg}$
Hauteur d’une marche	$0{,}175\ \mathrm{m}$
Nombre de marches	$24$
Hauteur totale $h$	$4{,}2\ \mathrm{m}$
Durée moyenne $\Delta t$	$8{,}5\ \mathrm{s}$

Exploitation

Travail fourni contre le poids :

$W = m \times g \times h$
$W = 52 \times 9{,}8 \times 4{,}2$
$=$ $2\,140\ \mathrm{J}$

Puissance développée :

$P = \dfrac{W}{\Delta t}$
$P = \dfrac{2\,140}{8{,}5}$
$=$ $252\ \mathrm{W}$

Interprétation

L’élève développe environ $250\ \mathrm{W}$ , soit à peu près un tiers de cheval-vapeur. C’est une puissance qu’un être humain ne peut soutenir que quelques dizaines de secondes ; sur une heure, on ne dépasse guère $100\ \mathrm{W}$ . Si l’élève monte le même escalier deux fois plus vite, le travail ne change pas, mais la puissance double.

4.1 Le cheval-vapeur

Avant le watt, on comparait les machines aux animaux de trait. Le cheval-vapeur, de symbole $\mathrm{ch}$ , est encore utilisé pour les moteurs de voitures et de motos.

Propriété

$1\ \mathrm{ch} \approx 736\ \mathrm{W}$

Exemple — une voiture de 90 chevaux

$P = 90 \times 736$ on convertit les chevaux en watts
$=$ $66\,240\ \mathrm{W}$
$\approx$ $66\ \mathrm{kW}$ car $1\ \mathrm{kW} = 1\,000\ \mathrm{W}$

Grandeur	Symbole	Unité	Symbole de l’unité
Travail d’une force	$W$	joule	$\mathrm{J}$
Valeur d’une force	$F$	newton	$\mathrm{N}$
Distance parcourue	$d$	mètre	$\mathrm{m}$
Hauteur gagnée ou perdue	$h$	mètre	$\mathrm{m}$
Puissance	$P$	watt	$\mathrm{W}$
Durée	$\Delta t$	seconde	$\mathrm{s}$
Rendement	$\eta$	sans unité (ou en %)	—

Math & Co — James Watt et la machine à vapeur

James Watt (1736-1819), fabricant d’instruments à l’université de Glasgow, se voit confier en 1763 la réparation d’un modèle réduit de machine à vapeur de Newcomen. Il constate qu’elle gaspille énormément de chaleur, car le même cylindre doit être alternativement chauffé et refroidi. Sa solution — le condenseur séparé, breveté en 1769 — divise la consommation de charbon par trois et rend la machine à vapeur réellement rentable. Associé à l’industriel Matthew Boulton à partir de 1775, il équipe des centaines de mines et de filatures : c’est l’un des moteurs de la révolution industrielle.

Pour vendre ses machines, Watt devait convaincre des clients qui utilisaient jusque-là des chevaux. Il mesura donc le travail qu’un cheval de mine pouvait fournir en une minute et en tira une unité commerciale, le horsepower. C’est l’ancêtre de notre cheval-vapeur.

L’unité de puissance du Système international porte aujourd’hui son nom : le watt, inscrit au SI par la Conférence générale des poids et mesures en 1960.

5Le rendement d’un dispositif

Aucune machine ne restitue intégralement ce qu’on lui donne : une partie de l’énergie part en chaleur dans les frottements, en bruit, en vibrations. Le rendement mesure cette « efficacité ».

Définition

$\eta = \dfrac{W_{\text{utile}}}{W_{\text{fourni}}}$

Le rendement $\eta$ (lettre grecque « êta ») est un nombre sans unité, toujours compris entre $0$ et $1$ . On l’exprime souvent en pourcentage.

On peut aussi l’écrire avec des puissances : $\eta = \dfrac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{fournie}}}$ .

Figure 5 — Sur

12\,000\ \mathrm{J}

fournis au treuil, seuls

9\,000\ \mathrm{J}

servent à hisser la charge : le rendement vaut

75\ \%

Exemple — rendement du treuil

$\eta = \dfrac{W_{\text{utile}}}{W_{\text{fourni}}}$ formule littérale
$\eta = \dfrac{9\,000}{12\,000}$ on remplace par les valeurs
$=$ $0{,}75$ nombre sans unité
$=$ $75\ \%$ écriture en pourcentage

Les $3\,000\ \mathrm{J}$ manquants sont dissipés : ils échauffent les engrenages, le câble et l’air environnant.

Attention

Un rendement supérieur à $100\ \%$ est impossible : cela reviendrait à récupérer plus d’énergie qu’on n’en a fourni. Si tu trouves $\eta > 1$ , c’est qu’il y a une erreur de calcul ou une confusion entre « utile » et « fourni ».

Méthode — résoudre un problème de travail et de puissance

Identifier la force dont on calcule le travail, et la distance effectivement parcourue dans sa direction.
Convertir : distance en mètres, masse en kilogrammes, durée en secondes.
Calculer le travail : $W = F \times d$ , ou $W = m \times g \times h$ pour le poids.
Préciser si le travail est moteur ou résistant.
Diviser par la durée pour obtenir la puissance.
Si l’énoncé donne un rendement, l’appliquer en dernier : $W_{\text{fourni}} = \dfrac{W_{\text{utile}}}{\eta}$ .

Fiche mémo

Travail d’une force parallèle et de même sens que le déplacement : $W = F \times d$ , en joules.
$W > 0$ : travail moteur ; $W < 0$ : travail résistant ; $W = 0$ : force perpendiculaire au déplacement.
Travail du poids : $W = m \times g \times h$ — il ne dépend que de la hauteur, jamais du chemin suivi.
$1\ \mathrm{J} = 1\ \mathrm{N} \times 1\ \mathrm{m}$ et $1\ \mathrm{kJ} = 1\,000\ \mathrm{J}$ .
Puissance : $P = \dfrac{W}{\Delta t}$ , en watts, avec $\Delta t$ en secondes.
$1\ \mathrm{W} = 1\ \mathrm{J/s}$ et $1\ \mathrm{ch} \approx 736\ \mathrm{W}$ .
Rendement : $\eta = \dfrac{W_{\text{utile}}}{W_{\text{fourni}}}$ , sans unité, toujours inférieur à $1$ .

Niveau 1 — Application directe

Une force horizontale de $120\ \mathrm{N}$ tire une caisse sur $25\ \mathrm{m}$ , dans le même sens que le déplacement. Calcule son travail.

Voir le corrigé détaillé

$W = F \times d$ formule littérale
$W = 120 \times 25$ on remplace par les valeurs
$=$ $3\,000\ \mathrm{J}$ résultat avec son unité

Le travail est moteur : la force aide au déplacement.

Un chariot est tiré par une force constante de $80\ \mathrm{N}$ sur $1{,}5\ \mathrm{km}$ . Calcule le travail de cette force, en joules puis en kilojoules.

Voir le corrigé détaillé

On convertit d’abord la distance : $1{,}5\ \mathrm{km} = 1\,500\ \mathrm{m}$ .

$W = F \times d$
$W = 80 \times 1\,500$
$=$ $120\,000\ \mathrm{J}$
$=$ $120\ \mathrm{kJ}$

Une luge glisse sur $30\ \mathrm{m}$ en subissant des frottements de $45\ \mathrm{N}$ opposés au déplacement. Calcule le travail de la force de frottement et précise sa nature.

Voir le corrigé détaillé

$W = -f \times d$ la force est opposée au déplacement
$W = -45 \times 30$
$=$ $-1\,350\ \mathrm{J}$

Le travail est résistant : il freine le mouvement.

Un serveur porte un plateau dont le poids vaut $15\ \mathrm{N}$ . Il traverse la salle sur $12\ \mathrm{m}$ , en gardant le plateau à hauteur constante. Quel est le travail du poids du plateau ? Justifie.

Voir le corrigé détaillé

Le poids est vertical, le déplacement est horizontal : ces deux directions sont perpendiculaires.

$W = 0\ \mathrm{J}$ force perpendiculaire au déplacement

Autre justification : la hauteur du plateau n’a pas changé, donc $h = 0$ et $W = m \times g \times 0 = 0$ .

Un sac de $5\ \mathrm{kg}$ tombe d’une hauteur de $3\ \mathrm{m}$ . Calcule le travail de son poids. Est-il moteur ou résistant ?

Voir le corrigé détaillé

$W = m \times g \times h$ formule littérale
$W = 5 \times 9{,}8 \times 3$ on remplace par les valeurs
$=$ $147\ \mathrm{J}$ résultat avec son unité

Le sac descend : le poids est dans le sens du déplacement, son travail est donc moteur.

Une machine fournit un travail de $6\,000\ \mathrm{J}$ en $20\ \mathrm{s}$ . Quelle est sa puissance ?

Voir le corrigé détaillé

$P = \dfrac{W}{\Delta t}$
$P = \dfrac{6\,000}{20}$
$=$ $300\ \mathrm{W}$

Une tondeuse thermique affiche une puissance de $4\ \mathrm{ch}$ . a. Exprime cette puissance en watts, puis en kilowatts. b. Un moteur électrique de $2{,}2\ \mathrm{kW}$ est-il plus ou moins puissant ?

Voir le corrigé détaillé

a. Conversion :

$P = 4 \times 736$
$=$ $2\,944\ \mathrm{W}$
$\approx$ $2{,}9\ \mathrm{kW}$

b. Comparaison :

$2{,}2 < 2{,}9$
$\Rightarrow$ le moteur électrique est moins puissant que la tondeuse.

Niveau 2 — Approfondissement

Un ascenseur monte une charge totale de $300\ \mathrm{kg}$ sur une hauteur de $15\ \mathrm{m}$ , en $25\ \mathrm{s}$ . a. Calcule le travail fourni contre le poids. b. Calcule la puissance développée. c. Exprime-la en chevaux-vapeur.

Voir le corrigé détaillé

a. Travail contre le poids :

$W = m \times g \times h$
$W = 300 \times 9{,}8 \times 15$
$=$ $44\,100\ \mathrm{J}$

b. Puissance :

$P = \dfrac{W}{\Delta t}$
$P = \dfrac{44\,100}{25}$
$=$ $1\,764\ \mathrm{W}$

c. Conversion en chevaux :

$P = \dfrac{1\,764}{736}$
$=$ $2{,}4\ \mathrm{ch}$

Un cycliste développe une puissance moyenne de $180\ \mathrm{W}$ pendant $20$ minutes. Quel travail a-t-il fourni ?

Voir le corrigé détaillé

On convertit la durée : $20\ \text{min} = 20 \times 60 = 1\,200\ \mathrm{s}$ .

$P = \dfrac{W}{\Delta t}$ formule littérale
$W = P \times \Delta t$ on isole le travail
$W = 180 \times 1\,200$
$=$ $216\,000\ \mathrm{J}$
$=$ $216\ \mathrm{kJ}$

Une force constante de $500\ \mathrm{N}$ , parallèle au déplacement, produit un travail de $20\ \mathrm{kJ}$ . Sur quelle distance a-t-elle agi ?

Voir le corrigé détaillé

On convertit : $20\ \mathrm{kJ} = 20\,000\ \mathrm{J}$ .

$W = F \times d$
$d = \dfrac{W}{F}$ on isole la distance
$d = \dfrac{20\,000}{500}$
$=$ $40\ \mathrm{m}$

Un treuil reçoit $25\ \mathrm{kJ}$ d’énergie électrique et fournit $18\ \mathrm{kJ}$ de travail utile. a. Calcule son rendement. b. Quelle énergie a été dissipée ? c. Sous quelle forme ?

Voir le corrigé détaillé

a. Rendement :

$\eta = \dfrac{W_{\text{utile}}}{W_{\text{fourni}}}$
$\eta = \dfrac{18}{25}$
$=$ $0{,}72$
$=$ $72\ \%$

b. Énergie dissipée :

$W_{\text{perdu}} = 25 - 18$
$=$ $7\ \mathrm{kJ}$

c. Essentiellement sous forme de chaleur (échauffement du moteur, des engrenages et du câble), et un peu sous forme sonore.

Pour charger un fût de $60\ \mathrm{kg}$ dans un camion, à $1{,}2\ \mathrm{m}$ de haut, on hésite entre le soulever à la verticale ou le faire rouler sur une rampe de $4\ \mathrm{m}$ (frottements négligés). a. Compare les travaux du poids dans les deux cas. b. Compare les forces nécessaires. c. Conclus.

Voir le corrigé détaillé

a. Le travail du poids ne dépend que de la hauteur gagnée :

$W = m \times g \times h$
$W = 60 \times 9{,}8 \times 1{,}2$
$=$ $705{,}6\ \mathrm{J}$

Ce travail est le même pour les deux méthodes.

b. À la verticale, la force à exercer est le poids lui-même :

$F_1 = 60 \times 9{,}8$
$=$ $588\ \mathrm{N}$

Sur la rampe, le même travail est réparti sur $4\ \mathrm{m}$ :

$F_2 = \dfrac{705{,}6}{4}$
$=$ $176{,}4\ \mathrm{N}$

c. La rampe divise la force par plus de trois, mais impose de parcourir plus de trois fois plus de chemin. On ne gagne jamais de travail : on échange de la force contre de la distance.

Un moteur de $1{,}5\ \mathrm{kW}$ , de rendement supposé égal à $100\ \%$ , doit hisser $200\ \mathrm{kg}$ sur $9\ \mathrm{m}$ . Combien de temps met-il ?

Voir le corrigé détaillé

Travail à fournir :

$W = m \times g \times h$
$W = 200 \times 9{,}8 \times 9$
$=$ $17\,640\ \mathrm{J}$

Durée, avec $1{,}5\ \mathrm{kW} = 1\,500\ \mathrm{W}$ :

$P = \dfrac{W}{\Delta t}$
$\Delta t = \dfrac{W}{P}$ on isole la durée
$\Delta t = \dfrac{17\,640}{1\,500}$
$=$ $11{,}8\ \mathrm{s}$

Niveau 3 — Défi

Un véhicule avance à vitesse constante $v$ , tiré par une force motrice constante $F$ parallèle au déplacement.

Démontre que la puissance développée par cette force vaut $P = F \times v$ .
Un camion tire avec une force de $2\,400\ \mathrm{N}$ à la vitesse de $72\ \mathrm{km/h}$ . Calcule sa puissance en watts, en kilowatts puis en chevaux.

Voir le corrigé détaillé

1. Pendant une durée $\Delta t$ , le véhicule parcourt la distance $d = v \times \Delta t$ .

$P = \dfrac{W}{\Delta t}$ définition de la puissance
$P = \dfrac{F \times d}{\Delta t}$ on remplace $W$ par $F \times d$
$P = \dfrac{F \times v \times \Delta t}{\Delta t}$ on remplace $d$ par $v \times \Delta t$
$=$ $F \times v$ on simplifie par $\Delta t$

2. On convertit la vitesse en mètres par seconde :

$v = \dfrac{72}{3{,}6}$
$=$ $20\ \mathrm{m/s}$

$P = F \times v$
$P = 2\,400 \times 20$
$=$ $48\,000\ \mathrm{W}$
$=$ $48\ \mathrm{kW}$

$P = \dfrac{48\,000}{736}$
$=$ $65\ \mathrm{ch}$

Une installation de levage est composée d’un moteur de rendement $0{,}80$ qui entraîne un treuil de rendement $0{,}90$ .

Détermine le rendement global de l’installation.
Quelle énergie électrique faut-il fournir pour obtenir $5\,400\ \mathrm{J}$ de travail utile ?
Quelle est l’énergie totale dissipée ? Où va-t-elle ?

Voir le corrigé détaillé

1. Le moteur transmet $80\ \%$ de ce qu’il reçoit ; le treuil transmet $90\ \%$ de ce que le moteur lui donne.

$\eta = \eta_{\text{moteur}} \times \eta_{\text{treuil}}$
$\eta = 0{,}80 \times 0{,}90$
$=$ $0{,}72$
$=$ $72\ \%$

2. Énergie électrique nécessaire :

$\eta = \dfrac{W_{\text{utile}}}{W_{\text{fourni}}}$
$W_{\text{fourni}} = \dfrac{W_{\text{utile}}}{\eta}$ on isole l’énergie fournie
$W_{\text{fourni}} = \dfrac{5\,400}{0{,}72}$
$=$ $7\,500\ \mathrm{J}$

3. Énergie dissipée :

$W_{\text{perdu}} = 7\,500 - 5\,400$
$=$ $2\,100\ \mathrm{J}$

Elle est transférée à l’air et aux pièces mécaniques sous forme de chaleur (effet Joule dans les bobinages du moteur, frottements dans les engrenages et le câble).

Une grue de chantier hisse une charge de $1{,}2\ \mathrm{t}$ sur $18\ \mathrm{m}$ en $40\ \mathrm{s}$ . Son rendement est de $65\ \%$ .

Calcule le travail utile.
Calcule la puissance utile.
Quelle puissance électrique la grue consomme-t-elle réellement ?
Le disjoncteur du chantier coupe au-delà de $9\ \mathrm{kW}$ . L’installation tient-elle ?

Voir le corrigé détaillé

1. On convertit : $1{,}2\ \mathrm{t} = 1\,200\ \mathrm{kg}$ .

$W = m \times g \times h$
$W = 1\,200 \times 9{,}8 \times 18$
$=$ $211\,680\ \mathrm{J}$

2. Puissance utile :

$P_{\text{utile}} = \dfrac{W}{\Delta t}$
$P_{\text{utile}} = \dfrac{211\,680}{40}$
$=$ $5\,292\ \mathrm{W}$

3. Puissance réellement consommée :

$P_{\text{absorbée}} = \dfrac{P_{\text{utile}}}{\eta}$
$P_{\text{absorbée}} = \dfrac{5\,292}{0{,}65}$
$=$ $8\,142\ \mathrm{W}$
$\approx$ $8{,}1\ \mathrm{kW}$

4. Comparaison à la limite :

$8{,}1 < 9$
$\Rightarrow$ le disjoncteur ne coupe pas, mais la marge n’est que de $0{,}9\ \mathrm{kW}$ : il ne faudra pas brancher d’autre machine en même temps.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Le chantier de Cocody, à Abidjan. Kouassi dirige la construction d’un immeuble. Il doit monter $30$ sacs de ciment de $50\ \mathrm{kg}$ chacun jusqu’au quatrième niveau, situé à $12\ \mathrm{m}$ du sol. Le monte-charge du chantier met $15$ minutes pour l’ensemble.

Calcule le travail total fourni contre le poids des sacs.
Calcule la puissance moyenne du monte-charge.
Le rendement du monte-charge vaut $0{,}70$ : quelle puissance électrique consomme-t-il ?
Un ouvrier qui monterait les sacs à dos développerait au mieux $150\ \mathrm{W}$ . Combien de temps lui faudrait-il ? Conclus.

Voir le corrigé détaillé

1. Masse totale, puis travail :

$m = 30 \times 50$
$=$ $1\,500\ \mathrm{kg}$

$W = m \times g \times h$
$W = 1\,500 \times 9{,}8 \times 12$
$=$ $176\,400\ \mathrm{J}$

2. On convertit la durée : $15\ \text{min} = 900\ \mathrm{s}$ .

$P = \dfrac{W}{\Delta t}$
$P = \dfrac{176\,400}{900}$
$=$ $196\ \mathrm{W}$

3. Puissance électrique absorbée :

$P_{\text{absorbée}} = \dfrac{196}{0{,}70}$
$=$ $280\ \mathrm{W}$

4. Durée pour un ouvrier :

$\Delta t = \dfrac{W}{P}$
$\Delta t = \dfrac{176\,400}{150}$
$=$ $1\,176\ \mathrm{s}$

$\dfrac{1\,176}{60} = 19{,}6$
$\Rightarrow$ environ 20 minutes

Le travail est le même dans les deux cas : la machine ne « soulève pas mieux », elle soulève plus vite — et surtout sans épuiser personne, car aucun être humain ne tient $150\ \mathrm{W}$ pendant vingt minutes d’affilée avec un sac de $50\ \mathrm{kg}$ sur le dos.

Le funiculaire de Genève. Une cabine de $3\,000\ \mathrm{kg}$ transporte $40$ passagers de masse moyenne $70\ \mathrm{kg}$ . Elle gravit un dénivelé de $120\ \mathrm{m}$ en $4$ minutes.

Calcule la masse totale hissée.
Calcule le travail fourni contre le poids.
Calcule la puissance utile, en kilowatts.
Le rendement de l’installation est de $70\ \%$ : quelle puissance électrique faut-il prévoir ?

Voir le corrigé détaillé

1. Masse totale :

$m_{\text{passagers}} = 40 \times 70$
$=$ $2\,800\ \mathrm{kg}$

$m = 3\,000 + 2\,800$
$=$ $5\,800\ \mathrm{kg}$

2. Travail contre le poids :

$W = m \times g \times h$
$W = 5\,800 \times 9{,}8 \times 120$
$=$ $6\,820\,800\ \mathrm{J}$

3. On convertit la durée : $4\ \text{min} = 240\ \mathrm{s}$ .

$P = \dfrac{W}{\Delta t}$
$P = \dfrac{6\,820\,800}{240}$
$=$ $28\,420\ \mathrm{W}$
$\approx$ $28{,}4\ \mathrm{kW}$

4. Puissance électrique à prévoir :

$P_{\text{absorbée}} = \dfrac{28\,420}{0{,}70}$
$=$ $40\,600\ \mathrm{W}$
$\approx$ $40{,}6\ \mathrm{kW}$

La charrette d’Ali, à Ndjamena. Ali livre des bidons d’eau avec une charrette qu’il tire lui-même. Pour la faire avancer à vitesse constante, il exerce une force horizontale de $320\ \mathrm{N}$ . Il parcourt $1{,}8\ \mathrm{km}$ en $30$ minutes.

Calcule le travail de la force de traction.
Calcule la puissance moyenne développée par Ali.
Exprime cette puissance en chevaux-vapeur. Commente.
La charrette avance à vitesse constante : que peux-tu dire du travail des forces de frottement ?

Voir le corrigé détaillé

1. On convertit la distance : $1{,}8\ \mathrm{km} = 1\,800\ \mathrm{m}$ .

$W = F \times d$
$W = 320 \times 1\,800$
$=$ $576\,000\ \mathrm{J}$
$=$ $576\ \mathrm{kJ}$

2. On convertit la durée : $30\ \text{min} = 1\,800\ \mathrm{s}$ .

$P = \dfrac{W}{\Delta t}$
$P = \dfrac{576\,000}{1\,800}$
$=$ $320\ \mathrm{W}$

3. En chevaux-vapeur :

$P = \dfrac{320}{736}$
$=$ $0{,}43\ \mathrm{ch}$

Ali développe donc moins d’un demi-cheval-vapeur, et il le fait pendant une demi-heure : c’est déjà un effort considérable pour un être humain. Cela montre à quel point l’unité « cheval » était bien choisie pour impressionner les acheteurs de machines.

4. La charrette avance à vitesse constante : le travail moteur de la traction est exactement compensé par le travail résistant des frottements.

$W(\text{frottements}) = -W(\text{traction})$
$=$ $-576\,000\ \mathrm{J}$

Travail et puissance mécanique

Ce que tu sauras faire à la fin

1Le travail d’une force constante

2Travail moteur, travail résistant, travail nul

2.1 Le cas très important de la force perpendiculaire

3Le travail du poids

3.1 Le chemin suivi n’a aucune importance

4La puissance mécanique

Matériel

Protocole

Observations (exemple d’un groupe)

Exploitation

Interprétation

4.1 Le cheval-vapeur

5Le rendement d’un dispositif

Fiche mémo

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Énergie cinétique et sécurité routière