Plonge un caillou dans un seau : il te semble aussitôt plus léger. Pourtant, il n’a rien perdu de sa matière. C’est que l’eau, elle, pousse vers le haut. Cette force discrète explique à la fois pourquoi tu flottes dans le fleuve, pourquoi un cargo de $50\,000$ tonnes ne coule pas, et pourquoi une montgolfière s’élève. En un peu plus de deux mille ans, elle n’a jamais changé de nom : la poussée d’Archimède.

1Un objet paraît plus léger dans l’eau

Exemple — activité expérimentale — la double pesée

Matériel

un dynamomètre de $0$ à $2\ \mathrm{N}$ (précision $0{,}05\ \mathrm{N}$ ) ;
un solide en verre muni d’un crochet, de volume $V = 60\ \mathrm{cm^{3}}$ ;
un bécher de $500\ \mathrm{mL}$ rempli d’eau ;
une éprouvette graduée, un support et une potence.

Protocole

Accrocher le solide au dynamomètre, à l’air libre. Lire l’indication : c’est le poids $P$ du solide.
Sans rien décrocher, faire monter le bécher jusqu’à immerger complètement le solide, sans qu’il touche ni le fond ni les parois. Lire de nouveau : c’est le poids apparent $P'$ .
Recommencer en immergeant le solide à moitié seulement.
Recommencer enfin dans de l’eau salée saturée.

Résultats obtenus

Situation	Indication du dynamomètre	Écart avec le poids
dans l’air	$1{,}50\ \mathrm{N}$	—
à moitié immergé dans l’eau	$1{,}20\ \mathrm{N}$	$0{,}30\ \mathrm{N}$
totalement immergé dans l’eau	$0{,}90\ \mathrm{N}$	$0{,}60\ \mathrm{N}$
totalement immergé dans l’eau salée	$0{,}86\ \mathrm{N}$	$0{,}64\ \mathrm{N}$

Observation

Le dynamomètre indique moins dès que le solide entre dans l’eau. L’écart double quand on immerge deux fois plus de volume, et il augmente encore quand on remplace l’eau douce par de l’eau salée, plus dense.

Interprétation

Le solide n’a pas maigri : son poids $P$ est toujours le même. C’est donc qu’une force supplémentaire, dirigée vers le haut, s’exerce sur lui et soulage le dynamomètre. Cette force dépend du volume immergé et de la nature du liquide : c’est la poussée d’Archimède $F_A$ .

Figure 1 — La double pesée : la différence des deux indications donne directement la poussée d’Archimède.

Définition

Tout corps plongé dans un fluide (liquide ou gaz) subit de la part de ce fluide une force verticale, dirigée vers le haut, appelée poussée d’Archimède et notée $\overrightarrow{F_A}$ .

Le poids apparent est ce qu’indique le dynamomètre quand le corps est immergé :

$P' = P - F_A$ poids apparent
$\Rightarrow$ $F_A = P - P'$ la poussée se lit à la différence

Figure 2 — Bilan des forces : le poids

\overrightarrow{P}

descend, la poussée

\overrightarrow{F_A}

monte. C’est la comparaison de leurs valeurs qui décide de tout.

Important : La poussée d’Archimède existe aussi dans l’air. Elle y est simplement très faible, parce que l’air est environ

800

fois moins dense que l’eau. Mais elle suffit à faire monter un ballon d’hélium ou une montgolfière.

2Le théorème d’Archimède

Théorème — théorème d’Archimède

Tout corps plongé dans un fluide au repos subit une poussée verticale, dirigée vers le haut, égale au poids du volume de fluide déplacé.

Traduisons cette phrase en formule. Le fluide déplacé occupe exactement le volume immergé du corps ; sa masse vaut $\rho \times V_{\text{immergé}}$ , et son poids s’obtient en multipliant par $g$ .

Propriété

$F_A = \rho_{\text{liquide}} \times V_{\text{immergé}} \times g$

Grandeur	Symbole	Unité du système international	Symbole
Poussée d’Archimède	$F_A$	newton	$\mathrm{N}$
Poids	$P$	newton	$\mathrm{N}$
Masse volumique du liquide	$\rho$ (rhô)	kilogramme par mètre cube	$\mathrm{kg/m^{3}}$
Volume immergé	$V_{\text{immergé}}$	mètre cube	$\mathrm{m^{3}}$
Masse	$m$	kilogramme	$\mathrm{kg}$
Intensité de la pesanteur	$g$	newton par kilogramme	$\mathrm{N/kg}$

Attention

La formule ne marche que si toutes les grandeurs sont dans les unités du système international. Le piège classique est le volume : il faut le convertir en mètres cubes.

$1\ \mathrm{m^{3}} = 1\,000\ \mathrm{L}$
$1\ \mathrm{L} = 1\ \mathrm{dm^{3}}$
$1\ \mathrm{dm^{3}} = 1\,000\ \mathrm{cm^{3}}$
$\Rightarrow$ $1\ \mathrm{cm^{3}} = 10^{-6}\ \mathrm{m^{3}}$

Méthode — calculer une poussée d’Archimède

Repérer le liquide et sa masse volumique $\rho$ ;
déterminer le volume immergé (le volume total si le corps est complètement sous l’eau) ;
convertir ce volume en $\mathrm{m^{3}}$ ;
écrire $F_A = \rho \times V \times g$ , remplacer, conclure en newtons.

Exemple — retour sur l’expérience

Le solide de l’activité a un volume $V = 60\ \mathrm{cm^{3}}$ . Vérifions la valeur mesurée $F_A = 0{,}60\ \mathrm{N}$ , avec $\rho_{\text{eau}} = 1\,000\ \mathrm{kg/m^{3}}$ et $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

Conversion du volume :

$V = 60\ \mathrm{cm^{3}}$
$=$ $60 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^{3}}$
$=$ $6{,}0 \times 10^{-5}\ \mathrm{m^{3}}$

Poussée :

$F_A = \rho \times V \times g$ formule littérale
$=$ $1\,000\ \mathrm{kg/m^{3}} \times 6{,}0 \times 10^{-5}\ \mathrm{m^{3}} \times 10\ \mathrm{N/kg}$ on remplace
$=$ $0{,}60\ \mathrm{N}$ résultat avec son unité

La théorie retrouve exactement la mesure. Le théorème d’Archimède est vérifié.

Math & Co — Archimède et la couronne du roi Hiéron

Archimède de Syracuse (vers $-287$ / $-212$ ) consacre au sujet un traité entier, Des corps flottants, où il démontre le théorème qui porte aujourd’hui son nom. C’est un texte de géométrie, sec et rigoureux : on n’y trouve ni couronne, ni baignoire, ni cri de joie.

L’anecdote célèbre vient d’ailleurs. Elle est racontée par l’architecte romain Vitruve, dans le neuvième livre de son De architectura, écrit environ deux siècles après la mort d’Archimède. Le roi Hiéron II soupçonnait son orfèvre d’avoir remplacé une partie de l’or d’une couronne par de l’argent ; Archimède, entrant dans son bain et voyant l’eau déborder, aurait compris comment mesurer le volume d’un objet de forme compliquée, et se serait écrié « Eurêka ! » (« j’ai trouvé »).

Le récit est donc tardif et de seconde main : rien ne permet de dire qu’il est authentique. En 1586, Galilée fit d’ailleurs remarquer dans La Bilancetta que la méthode décrite par Vitruve — mesurer un débordement d’eau — serait bien trop imprécise, et proposa d’utiliser plutôt une balance hydrostatique, c’est-à-dire exactement la double pesée que tu viens de pratiquer.

3Masse volumique et condition de flottaison

Définition

La masse volumique $\rho$ d’un corps est la masse d’une unité de volume de ce corps :

$\rho = \dfrac{m}{V}$

Elle s’exprime en $\mathrm{kg/m^{3}}$ , ou en $\mathrm{g/cm^{3}}$ dans la vie courante.

Conversion utile :

1\ \mathrm{g/cm^{3}} = 1\,000\ \mathrm{kg/m^{3}}

. L’eau douce a donc une masse volumique de

1{,}0\ \mathrm{g/cm^{3}}

, soit

1\,000\ \mathrm{kg/m^{3}}

Corps	Masse volumique en $\mathrm{kg/m^{3}}$	En $\mathrm{g/cm^{3}}$
Air (à $20\ \mathrm{^{\circ}C}$ )	$1{,}2$	$0{,}0012$
Bois de balsa	$150$	$0{,}15$
Huile de table	$920$	$0{,}92$
Glace	$917$	$0{,}917$
Eau douce	$1\,000$	$1{,}00$
Eau de mer	$1\,025$	$1{,}025$
Aluminium	$2\,700$	$2{,}70$
Acier	$7\,800$	$7{,}80$
Plomb	$11\,300$	$11{,}30$
Or	$19\,300$	$19{,}30$

Attention

Ne confonds pas masse et masse volumique. Une bille de plomb de $1\ \mathrm{g}$ est plus légère qu’un tronc d’arbre, mais elle coule et le tronc flotte : ce qui décide, ce n’est pas la masse, c’est la masse volumique.

3.1 Les trois cas

Comparons les deux forces en jeu pour un corps entièrement immergé, de masse volumique $\rho_{\text{corps}}$ et de volume $V$ .

$P = \rho_{\text{corps}} \times V \times g$ poids du corps
$F_A = \rho_{\text{liquide}} \times V \times g$ poussée d’Archimède

Les facteurs $V$ et $g$ sont les mêmes dans les deux lignes. Comparer $P$ et $F_A$ revient donc simplement à comparer les deux masses volumiques.

Propriété — condition de flottaison

si $\rho_{\text{corps}} > \rho_{\text{liquide}}$ , alors $P > F_A$ : le corps coule ;
si $\rho_{\text{corps}} = \rho_{\text{liquide}}$ , alors $P = F_A$ : le corps reste où on le lâche, entre deux eaux ;
si $\rho_{\text{corps}} < \rho_{\text{liquide}}$ , alors $P < F_A$ : le corps remonte et finit par flotter en surface.

Figure 3 — Les trois cas se déduisent d’une simple comparaison de masses volumiques.

Le troisième cas mérite une précision : une fois en surface, le corps ne monte plus. Une partie seulement de son volume reste sous l’eau, juste ce qu’il faut pour que la poussée compense exactement le poids.

Propriété — corps flottant en surface

Pour un corps flottant à l’équilibre :

$\rho_{\text{corps}} \times V_{\text{total}} = \rho_{\text{liquide}} \times V_{\text{immergé}}$

La fraction immergée vaut donc $\dfrac{V_{\text{immergé}}}{V_{\text{total}}} = \dfrac{\rho_{\text{corps}}}{\rho_{\text{liquide}}}$ .

Exemple — le glaçon dans le verre

La glace a pour masse volumique $917\ \mathrm{kg/m^{3}}$ , l’eau douce $1\,000\ \mathrm{kg/m^{3}}$ . Quelle fraction d’un glaçon reste sous la surface ?

$\dfrac{V_{\text{immergé}}}{V_{\text{total}}} = \dfrac{\rho_{\text{glace}}}{\rho_{\text{eau}}}$ formule littérale
$=$ $\dfrac{917\ \mathrm{kg/m^{3}}}{1\,000\ \mathrm{kg/m^{3}}}$ on remplace
$=$ $0{,}917$ soit $91{,}7\ \%$

Près de $92\ \%$ du glaçon est immergé : seuls $8\ \%$ dépassent. C’est la même chose pour un iceberg — d’où l’expression « la partie émergée de l’iceberg ».

4Les navires et la ligne de flottaison

L’acier a une masse volumique de $7\,800\ \mathrm{kg/m^{3}}$ , presque huit fois celle de l’eau. Un clou coule à pic. Pourtant un porte-conteneurs, fait du même acier, flotte parfaitement. Où est le tour de passe-passe ?

Figure 4 — Le secret est la coque creuse : elle enferme un énorme volume d’air, ce qui abaisse la masse volumique moyenne de l’ensemble bien en dessous de

1\,000\ \mathrm{kg/m^{3}}

Ce qui compte pour un navire, ce n’est pas la masse volumique de l’acier, mais celle de l’ensemble coque + air + cargaison :

$\rho_{\text{moyenne}} = \dfrac{m_{\text{totale}}}{V_{\text{extérieur}}}$ on divise la masse totale par le volume total occupé

Définition

La ligne de flottaison est la ligne dessinée sur la coque à l’endroit où la surface de l’eau la coupe quand le navire est chargé normalement.

Plus on charge un navire, plus il s’enfonce et plus la ligne de flottaison monte sur la coque. C’est pourquoi les navires de commerce portent, peintes sur leurs flancs, des marques de charge indiquant l’enfoncement maximal autorisé — plus profond en eau douce, moins profond en eau de mer, car l’eau salée porte davantage.

Exemple — la barge du port

Une barge à fond plat mesure $8\ \mathrm{m}$ de long et $3\ \mathrm{m}$ de large. Chargée, l’ensemble a une masse de $9\,600\ \mathrm{kg}$ . De combien s’enfonce-t-elle en eau douce ? On prend $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

À l’équilibre, la poussée compense le poids.

$P = m \times g$
$=$ $9\,600\ \mathrm{kg} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $96\,000\ \mathrm{N}$

$F_A = P$ équilibre du corps flottant
$\Rightarrow$ $\rho \times V_{\text{immergé}} \times g = 96\,000\ \mathrm{N}$
$\Rightarrow$ $V_{\text{immergé}} = \dfrac{96\,000\ \mathrm{N}}{1\,000\ \mathrm{kg/m^{3}} \times 10\ \mathrm{N/kg}}$
$=$ $9{,}6\ \mathrm{m^{3}}$

Ce volume immergé est celui d’un pavé de base $8 \times 3$ et de hauteur $h$ :

$h = \dfrac{V_{\text{immergé}}}{\text{aire de la base}}$
$=$ $\dfrac{9{,}6\ \mathrm{m^{3}}}{24\ \mathrm{m^{2}}}$
$=$ $0{,}40\ \mathrm{m}$

La barge s’enfonce de $40\ \mathrm{cm}$ .

5Deux applications : le densimètre et la montgolfière

5.1 Le densimètre

Définition

Un densimètre est un flotteur lesté, muni d’une tige graduée, qui s’enfonce d’autant plus que le liquide est moins dense. On lit directement la masse volumique du liquide au niveau de la surface.

Figure 5 — Le densimètre garde toujours le même poids : il ajuste donc son volume immergé, et c’est cet enfoncement qui renseigne sur le liquide.

Le raisonnement est toujours le même : le poids $P$ du densimètre ne change pas, donc le volume immergé doit s’adapter pour que $\rho \times V_{\text{immergé}} \times g$ reste égal à $P$ . Si $\rho$ diminue, $V_{\text{immergé}}$ doit augmenter : l’instrument s’enfonce.

On en trouve partout : le pèse-lait (ou lactodensimètre) qui détecte le mouillage du lait, le pèse-acide qui contrôle la charge d’une batterie de voiture, le pèse-moût du vigneron.

5.2 La montgolfière

Figure 6 — En chauffant l’air, on le dilate : la même enveloppe contient alors moins de masse d’air, et le poids total passe sous la poussée.

L’air chaud est moins dense que l’air froid. Le brûleur ne change donc pas la poussée — qui dépend de l’air extérieur — mais il allège le contenu de l’enveloppe. Dès que le poids total (enveloppe + air chaud + nacelle + passagers) devient plus petit que la poussée, le ballon monte.

Pour redescendre, le pilote laisse refroidir : l’air se contracte, de l’air froid rentre, la masse augmente et le poids repasse au-dessus de la poussée.

Fiche mémo

Poussée d’Archimède : force verticale, vers le haut, égale au poids du fluide déplacé.
$F_A = \rho_{\text{liquide}} \times V_{\text{immergé}} \times g$ , avec $\rho$ en $\mathrm{kg/m^{3}}$ , $V$ en $\mathrm{m^{3}}$ , $g$ en $\mathrm{N/kg}$ .
Double pesée : $F_A = P - P'$ .
Masse volumique : $\rho = \dfrac{m}{V}$ ; $1\ \mathrm{g/cm^{3}} = 1\,000\ \mathrm{kg/m^{3}}$ ; $1\ \mathrm{cm^{3}} = 10^{-6}\ \mathrm{m^{3}}$ .
$\rho_{\text{corps}} > \rho_{\text{liquide}}$ : il coule · $=$ : entre deux eaux · $<$ : il flotte en surface.
Corps flottant : $\dfrac{V_{\text{immergé}}}{V_{\text{total}}} = \dfrac{\rho_{\text{corps}}}{\rho_{\text{liquide}}}$ .
Un navire flotte grâce à sa coque creuse : c’est la masse volumique moyenne qui compte.
La poussée existe aussi dans l’air : densimètre, montgolfière, ballon d’hélium.

Niveau 1 — Application directe

Un objet a une masse de $270\ \mathrm{g}$ et un volume de $100\ \mathrm{cm^{3}}$ . Calcule sa masse volumique en $\mathrm{g/cm^{3}}$ , puis en $\mathrm{kg/m^{3}}$ . De quel métal s’agit-il probablement ?

Voir le corrigé détaillé

$\rho = \dfrac{m}{V}$
$=$ $\dfrac{270\ \mathrm{g}}{100\ \mathrm{cm^{3}}}$
$=$ $2{,}70\ \mathrm{g/cm^{3}}$

$\rho = 2{,}70 \times 1\,000$
$=$ $2\,700\ \mathrm{kg/m^{3}}$

D’après le tableau du cours, c’est de l’aluminium.

Un galet de volume $250\ \mathrm{cm^{3}}$ est totalement immergé dans l’eau douce. Calcule la poussée d’Archimède. On prend $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

Voir le corrigé détaillé

$V = 250 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^{3}}$
$=$ $2{,}5 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^{3}}$

$F_A = \rho \times V \times g$
$=$ $1\,000\ \mathrm{kg/m^{3}} \times 2{,}5 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^{3}} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $2{,}5\ \mathrm{N}$

Un objet pèse $8\ \mathrm{N}$ dans l’air. Immergé, il subit une poussée de $3\ \mathrm{N}$ . Que va indiquer le dynamomètre ?

Voir le corrigé détaillé

$P' = P - F_A$
$=$ $8\ \mathrm{N} - 3\ \mathrm{N}$
$=$ $5\ \mathrm{N}$

Le dynamomètre indiquera $5\ \mathrm{N}$ : c’est le poids apparent.

On dispose de bois ( $700\ \mathrm{kg/m^{3}}$ ), de glace ( $917\ \mathrm{kg/m^{3}}$ ), de fer ( $7\,800\ \mathrm{kg/m^{3}}$ ) et d’huile ( $920\ \mathrm{kg/m^{3}}$ ). Lesquels flottent sur l’eau douce ? Lesquels coulent ?

Voir le corrigé détaillé

On compare chaque masse volumique à celle de l’eau douce, $1\,000\ \mathrm{kg/m^{3}}$ .

Bois : $700 < 1\,000$ $\Rightarrow$ il flotte.
Glace : $917 < 1\,000$ $\Rightarrow$ elle flotte.
Huile : $920 < 1\,000$ $\Rightarrow$ elle flotte (elle surnage).
Fer : $7\,800 > 1\,000$ $\Rightarrow$ il coule.

Convertis en mètres cubes : $350\ \mathrm{cm^{3}}$ ; $2\ \mathrm{L}$ ; $45\ \mathrm{dm^{3}}$ .

Voir le corrigé détaillé

$350\ \mathrm{cm^{3}} = 350 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^{3}}$
$=$ $3{,}5 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^{3}}$

$2\ \mathrm{L} = 2\ \mathrm{dm^{3}}$
$=$ $2 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^{3}}$

$45\ \mathrm{dm^{3}} = 45 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^{3}}$
$=$ $4{,}5 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^{3}}$

Le galet de $250\ \mathrm{cm^{3}}$ est maintenant immergé dans l’eau de mer ( $1\,025\ \mathrm{kg/m^{3}}$ ). Calcule la nouvelle poussée et compare.

Voir le corrigé détaillé

$F_A = \rho \times V \times g$
$=$ $1\,025\ \mathrm{kg/m^{3}} \times 2{,}5 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^{3}} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$\approx$ $2{,}56\ \mathrm{N}$

La poussée est plus grande de $0{,}06\ \mathrm{N}$ : l’eau de mer porte un peu mieux que l’eau douce, parce qu’elle est plus dense.

Un morceau de bois de masse volumique $750\ \mathrm{kg/m^{3}}$ et de volume $400\ \mathrm{cm^{3}}$ flotte sur l’eau douce. Quel volume est immergé ?

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{V_{\text{immergé}}}{V_{\text{total}}} = \dfrac{\rho_{\text{bois}}}{\rho_{\text{eau}}}$
$=$ $\dfrac{750}{1\,000}$
$=$ $0{,}75$

$V_{\text{immergé}} = 0{,}75 \times 400\ \mathrm{cm^{3}}$
$=$ $300\ \mathrm{cm^{3}}$

$300\ \mathrm{cm^{3}}$ sont sous l’eau, $100\ \mathrm{cm^{3}}$ dépassent.

Niveau 2 — Approfondissement

Un solide pèse $4{,}5\ \mathrm{N}$ dans l’air et $3{,}0\ \mathrm{N}$ dans l’eau douce. Calcule la poussée, puis le volume du solide, puis sa masse volumique. On prend $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

Voir le corrigé détaillé

$F_A = P - P'$
$=$ $4{,}5\ \mathrm{N} - 3{,}0\ \mathrm{N}$
$=$ $1{,}5\ \mathrm{N}$

$V = \dfrac{F_A}{\rho_{\text{eau}} \times g}$
$=$ $\dfrac{1{,}5\ \mathrm{N}}{1\,000\ \mathrm{kg/m^{3}} \times 10\ \mathrm{N/kg}}$
$=$ $1{,}5 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^{3}}$

Soit $150\ \mathrm{cm^{3}}$ . Masse du solide :

$m = \dfrac{P}{g}$
$=$ $\dfrac{4{,}5\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}$
$=$ $0{,}45\ \mathrm{kg}$

$\rho = \dfrac{m}{V}$
$=$ $\dfrac{0{,}45\ \mathrm{kg}}{1{,}5 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^{3}}}$
$=$ $3\,000\ \mathrm{kg/m^{3}}$

Un cube de fer de $10\ \mathrm{cm}$ d’arête est totalement immergé dans l’eau douce. Calcule son volume, sa masse, son poids, la poussée d’Archimède et son poids apparent. On prend $\rho_{\text{fer}} = 7\,800\ \mathrm{kg/m^{3}}$ et $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

Voir le corrigé détaillé

$V = 0{,}10\ \mathrm{m} \times 0{,}10\ \mathrm{m} \times 0{,}10\ \mathrm{m}$
$=$ $1{,}0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^{3}}$

$m = \rho \times V$
$=$ $7\,800\ \mathrm{kg/m^{3}} \times 1{,}0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^{3}}$
$=$ $7{,}8\ \mathrm{kg}$

$P = m \times g$
$=$ $7{,}8\ \mathrm{kg} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $78\ \mathrm{N}$

$F_A = \rho_{\text{eau}} \times V \times g$
$=$ $1\,000\ \mathrm{kg/m^{3}} \times 1{,}0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^{3}} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $10\ \mathrm{N}$

$P' = P - F_A$
$=$ $78\ \mathrm{N} - 10\ \mathrm{N}$
$=$ $68\ \mathrm{N}$

Le cube reste bien plus lourd que la poussée : il coule.

Un cube de bois de $10\ \mathrm{cm}$ d’arête, de masse volumique $600\ \mathrm{kg/m^{3}}$ , flotte sur l’eau douce. Sur quelle hauteur s’enfonce-t-il ?

Voir le corrigé détaillé

$V = 1{,}0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^{3}}$

$m = 600\ \mathrm{kg/m^{3}} \times 1{,}0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^{3}}$
$=$ $0{,}60\ \mathrm{kg}$

$P = 0{,}60\ \mathrm{kg} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $6{,}0\ \mathrm{N}$

À l’équilibre, la poussée vaut $6{,}0\ \mathrm{N}$ .

$V_{\text{immergé}} = \dfrac{F_A}{\rho_{\text{eau}} \times g}$
$=$ $\dfrac{6{,}0\ \mathrm{N}}{1\,000\ \mathrm{kg/m^{3}} \times 10\ \mathrm{N/kg}}$
$=$ $6{,}0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^{3}}$

Soit $600\ \mathrm{cm^{3}}$ . La base du cube vaut $100\ \mathrm{cm^{2}}$ .

$h = \dfrac{600\ \mathrm{cm^{3}}}{100\ \mathrm{cm^{2}}}$
$=$ $6{,}0\ \mathrm{cm}$

Le cube s’enfonce de $6\ \mathrm{cm}$ et dépasse de $4\ \mathrm{cm}$ .

Un objet flotte sur l’eau douce en laissant émerger le cinquième de son volume. Quelle est sa masse volumique ?

Voir le corrigé détaillé

Si $\dfrac{1}{5}$ émerge, alors $\dfrac{4}{5}$ est immergé, soit $0{,}80$ .

$\dfrac{\rho_{\text{corps}}}{\rho_{\text{eau}}} = \dfrac{V_{\text{immergé}}}{V_{\text{total}}}$
$\Rightarrow$ $\rho_{\text{corps}} = 0{,}80 \times \rho_{\text{eau}}$
$=$ $0{,}80 \times 1\,000\ \mathrm{kg/m^{3}}$
$=$ $800\ \mathrm{kg/m^{3}}$

Un ballon d’hélium de $5\ \mathrm{m^{3}}$ est gonflé à l’air libre. On donne $\rho_{\text{air}} = 1{,}2\ \mathrm{kg/m^{3}}$ , $\rho_{\text{hélium}} = 0{,}18\ \mathrm{kg/m^{3}}$ , masse de l’enveloppe $0{,}20\ \mathrm{kg}$ , $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ . Quelle charge maximale peut-il soulever ?

Voir le corrigé détaillé

$F_A = \rho_{\text{air}} \times V \times g$
$=$ $1{,}2\ \mathrm{kg/m^{3}} \times 5\ \mathrm{m^{3}} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $60\ \mathrm{N}$

Poids de l’hélium contenu :

$P_{\text{He}} = 0{,}18\ \mathrm{kg/m^{3}} \times 5\ \mathrm{m^{3}} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $9{,}0\ \mathrm{N}$

Poids de l’enveloppe :

$P_{\text{env}} = 0{,}20\ \mathrm{kg} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $2{,}0\ \mathrm{N}$

$P_{\text{charge}} = 60\ \mathrm{N} - 9{,}0\ \mathrm{N} - 2{,}0\ \mathrm{N}$
$=$ $49\ \mathrm{N}$

$m_{\text{charge}} = \dfrac{49\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}$
$=$ $4{,}9\ \mathrm{kg}$

Explique en quelques lignes pourquoi il est plus facile de flotter dans la mer Morte, dont l’eau a une masse volumique d’environ $1\,240\ \mathrm{kg/m^{3}}$ , que dans une piscine.

Voir le corrigé détaillé

Le poids du nageur ne change pas d’un endroit à l’autre. En revanche, la poussée vaut $F_A = \rho \times V_{\text{immergé}} \times g$ : à volume immergé égal, elle est $1{,}24$ fois plus grande dans la mer Morte que dans une piscine.

Il faut donc immerger moins de volume pour équilibrer le même poids.

$\dfrac{V_{\text{immergé}}}{V_{\text{total}}} = \dfrac{\rho_{\text{corps}}}{\rho_{\text{eau}}}$
avec $\rho_{\text{corps}} \approx 985\ \mathrm{kg/m^{3}}$ pour un corps humain poumons pleins
$\Rightarrow$ en piscine : $\dfrac{985}{1\,000} \approx 0{,}99$
$\Rightarrow$ en mer Morte : $\dfrac{985}{1\,240} \approx 0{,}79$

En piscine, $99\ \%$ du corps doit être immergé : on flotte tout juste. Dans la mer Morte, $79\ \%$ suffisent : plus d’un cinquième du corps reste hors de l’eau, et l’on flotte sans effort.

Niveau 3 — Défi

La couronne du roi Hiéron. Une couronne de masse $800\ \mathrm{g}$ est suspendue à un dynamomètre : il indique $8{,}00\ \mathrm{N}$ dans l’air et $7{,}45\ \mathrm{N}$ une fois la couronne totalement immergée dans l’eau douce. On prend $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ et $\rho_{\text{or}} = 19\,300\ \mathrm{kg/m^{3}}$ .

Calcule la poussée d’Archimède, puis le volume de la couronne.
Calcule sa masse volumique.
La couronne est-elle en or pur ? Conclus.

Voir le corrigé détaillé

1. Poussée :

$F_A = P - P'$
$=$ $8{,}00\ \mathrm{N} - 7{,}45\ \mathrm{N}$
$=$ $0{,}55\ \mathrm{N}$

$V = \dfrac{F_A}{\rho_{\text{eau}} \times g}$
$=$ $\dfrac{0{,}55\ \mathrm{N}}{1\,000\ \mathrm{kg/m^{3}} \times 10\ \mathrm{N/kg}}$
$=$ $5{,}5 \times 10^{-5}\ \mathrm{m^{3}}$

Soit $55\ \mathrm{cm^{3}}$ .

2. Masse volumique :

$\rho = \dfrac{m}{V}$
$=$ $\dfrac{0{,}800\ \mathrm{kg}}{5{,}5 \times 10^{-5}\ \mathrm{m^{3}}}$
$\approx$ $14\,500\ \mathrm{kg/m^{3}}$

3. L’or pur a une masse volumique de $19\,300\ \mathrm{kg/m^{3}}$ .

$14\,500\ \mathrm{kg/m^{3}} < 19\,300\ \mathrm{kg/m^{3}}$
$\Rightarrow$ la couronne n’est pas en or pur

Pour une même masse, elle occupe trop de volume : l’orfèvre y a mêlé un métal moins dense, l’argent par exemple. L’orfèvre du roi Hiéron aurait mal dormi ce soir-là.

Un iceberg flotte dans l’eau de mer. On donne $\rho_{\text{glace}} = 917\ \mathrm{kg/m^{3}}$ et $\rho_{\text{mer}} = 1\,025\ \mathrm{kg/m^{3}}$ . a) Quelle fraction de l’iceberg émerge ? b) Un iceberg dont la partie visible représente $2\,000\ \mathrm{m^{3}}$ : quel est son volume total ?

Voir le corrigé détaillé

a) Fraction immergée :

$\dfrac{V_{\text{immergé}}}{V_{\text{total}}} = \dfrac{\rho_{\text{glace}}}{\rho_{\text{mer}}}$
$=$ $\dfrac{917}{1\,025}$
$\approx$ $0{,}895$

fraction émergée $= 1 - 0{,}895$
$=$ $0{,}105$

Environ $10{,}5\ \%$ seulement dépassent de l’eau.

b) Volume total :

$V_{\text{total}} = \dfrac{V_{\text{émergé}}}{0{,}105}$
$=$ $\dfrac{2\,000\ \mathrm{m^{3}}}{0{,}105}$
$\approx$ $19\,000\ \mathrm{m^{3}}$

Presque dix fois ce que l’on voit : voilà pourquoi les navires s’en écartent largement.

Un caboteur de $2\,050\ \mathrm{t}$ (chargement compris) quitte le port fluvial de Rouen, en eau douce, pour la haute mer. On donne $\rho_{\text{douce}} = 1\,000\ \mathrm{kg/m^{3}}$ et $\rho_{\text{mer}} = 1\,025\ \mathrm{kg/m^{3}}$ . a) Calcule le volume immergé dans chaque eau. b) La coque a une section horizontale de $500\ \mathrm{m^{2}}$ au niveau de la flottaison : de combien remonte-t-elle en arrivant en mer ?

Voir le corrigé détaillé

a) En eau douce, la poussée doit équilibrer le poids, donc le volume immergé vaut :

$V_1 = \dfrac{m}{\rho_{\text{douce}}}$
$=$ $\dfrac{2\,050\,000\ \mathrm{kg}}{1\,000\ \mathrm{kg/m^{3}}}$
$=$ $2\,050\ \mathrm{m^{3}}$

$V_2 = \dfrac{m}{\rho_{\text{mer}}}$
$=$ $\dfrac{2\,050\,000\ \mathrm{kg}}{1\,025\ \mathrm{kg/m^{3}}}$
$=$ $2\,000\ \mathrm{m^{3}}$

b) Différence de volume immergé :

$\Delta V = 2\,050\ \mathrm{m^{3}} - 2\,000\ \mathrm{m^{3}}$
$=$ $50\ \mathrm{m^{3}}$

$\Delta h = \dfrac{\Delta V}{S}$
$=$ $\dfrac{50\ \mathrm{m^{3}}}{500\ \mathrm{m^{2}}}$
$=$ $0{,}10\ \mathrm{m}$

Le navire remonte de $10\ \mathrm{cm}$ : la ligne de flottaison redescend d’autant sur la coque. C’est précisément ce que signalent les marques de charge peintes sur les flancs des navires.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

La pirogue d’Abakar, sur le fleuve Chari à Ndjamena. Abakar pêche avec une pirogue en bois dont la masse à vide est de $120\ \mathrm{kg}$ . Le volume de la coque, jusqu’au niveau du bord, est de $0{,}90\ \mathrm{m^{3}}$ . L’eau du fleuve a une masse volumique de $1\,000\ \mathrm{kg/m^{3}}$ et l’on prend $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

Quelle est la poussée d’Archimède maximale que peut recevoir la pirogue ?
Quelle masse totale, au maximum, peut-elle porter avant d’être noyée ?
Quelle charge utile cela laisse-t-il ?
Abakar ( $70\ \mathrm{kg}$ ) embarque avec son fils Youssouf ( $45\ \mathrm{kg}$ ) et $400\ \mathrm{kg}$ de poisson. Quel volume de la coque est immergé ? Quelle fraction du bord reste au-dessus de l’eau ?
La règle de sécurité du port impose de ne jamais dépasser les trois quarts du chargement maximal. Abakar la respecte-t-il ?

Voir le corrigé détaillé

1. La poussée maximale correspond à la coque immergée jusqu’au bord.

$F_A = \rho \times V \times g$
$=$ $1\,000\ \mathrm{kg/m^{3}} \times 0{,}90\ \mathrm{m^{3}} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $9\,000\ \mathrm{N}$

2. À la limite, le poids total égale la poussée maximale.

$m_{\text{max}} = \dfrac{F_A}{g}$
$=$ $\dfrac{9\,000\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}$
$=$ $900\ \mathrm{kg}$

3. Charge utile :

$m_{\text{utile}} = 900\ \mathrm{kg} - 120\ \mathrm{kg}$
$=$ $780\ \mathrm{kg}$

4. Masse totale embarquée :

$m = 120\ \mathrm{kg} + 70\ \mathrm{kg} + 45\ \mathrm{kg} + 400\ \mathrm{kg}$
$=$ $635\ \mathrm{kg}$

$V_{\text{immergé}} = \dfrac{m}{\rho}$
$=$ $\dfrac{635\ \mathrm{kg}}{1\,000\ \mathrm{kg/m^{3}}}$
$=$ $0{,}635\ \mathrm{m^{3}}$

$\dfrac{0{,}635\ \mathrm{m^{3}}}{0{,}90\ \mathrm{m^{3}}}$
$\approx$ $0{,}71$

$71\ \%$ de la coque est immergée : il reste donc $29\ \%$ de franc-bord, soit près d’un tiers de la hauteur du bord au-dessus de l’eau.

5. Charge embarquée hors pirogue :

$m_{\text{chargée}} = 70\ \mathrm{kg} + 45\ \mathrm{kg} + 400\ \mathrm{kg}$
$=$ $515\ \mathrm{kg}$

$\dfrac{3}{4} \times 780\ \mathrm{kg}$
$=$ $585\ \mathrm{kg}$

$515\ \mathrm{kg} < 585\ \mathrm{kg}$ : Abakar respecte la consigne. Il pourrait encore embarquer $70\ \mathrm{kg}$ de poisson sans dépasser la limite de sécurité.

Le contrôle du lait à la coopérative de Yaoundé. Chantal contrôle les livraisons de lait au moyen d’un lactodensimètre, un densimètre de masse $90\ \mathrm{g}$ dont la tige a une section de $0{,}50\ \mathrm{cm^{2}}$ . Le lait entier pur a une masse volumique de $1\,030\ \mathrm{kg/m^{3}}$ , l’eau de $1\,000\ \mathrm{kg/m^{3}}$ .

Quel volume du densimètre est immergé dans du lait pur ?
Un bidon donne une lecture de $1\,024\ \mathrm{kg/m^{3}}$ . Quel volume est alors immergé ?
De combien la tige s’enfonce-t-elle en plus, en centimètres ?
En supposant que la fraude consiste à ajouter de l’eau, quelle proportion d’eau (en volume) a été ajoutée ?

Voir le corrigé détaillé

1. Le densimètre flotte : sa poussée équilibre son poids, donc $\rho \times V_{\text{immergé}} = m$ .

$V_1 = \dfrac{m}{\rho_{\text{lait}}}$
$=$ $\dfrac{0{,}090\ \mathrm{kg}}{1\,030\ \mathrm{kg/m^{3}}}$
$\approx$ $8{,}74 \times 10^{-5}\ \mathrm{m^{3}}$

Soit environ $87{,}4\ \mathrm{cm^{3}}$ .

2. Dans le lait suspect :

$V_2 = \dfrac{0{,}090\ \mathrm{kg}}{1\,024\ \mathrm{kg/m^{3}}}$
$\approx$ $8{,}79 \times 10^{-5}\ \mathrm{m^{3}}$

Soit environ $87{,}9\ \mathrm{cm^{3}}$ .

3. Supplément de volume immergé :

$\Delta V = 87{,}9\ \mathrm{cm^{3}} - 87{,}4\ \mathrm{cm^{3}}$
$\approx$ $0{,}5\ \mathrm{cm^{3}}$

$\Delta h = \dfrac{\Delta V}{S}$
$=$ $\dfrac{0{,}5\ \mathrm{cm^{3}}}{0{,}50\ \mathrm{cm^{2}}}$
$=$ $1{,}0\ \mathrm{cm}$

La tige s’enfonce d’un centimètre de plus : c’est parfaitement visible à l’œil nu, et c’est tout l’intérêt d’une tige fine.

4. Soit $x$ la fraction volumique d’eau ajoutée. La masse volumique du mélange s’écrit :

$\rho_{\text{mélange}} = 1\,030 \times (1 - x) + 1\,000 \times x$
$=$ $1\,030 - 30x$

$1\,030 - 30x = 1\,024$
$\Rightarrow$ $30x = 6$
$\Rightarrow$ $x = 0{,}20$

Le lait a été mouillé à hauteur de $20\ \%$ de son volume. Le bidon est refusé.

Un vol en montgolfière au-dessus du lac Léman, près de Genève. L’enveloppe a un volume de $2\,200\ \mathrm{m^{3}}$ . L’ensemble enveloppe + nacelle + brûleur + bouteilles a une masse de $250\ \mathrm{kg}$ . L’air extérieur a une masse volumique de $1{,}20\ \mathrm{kg/m^{3}}$ ; le brûleur porte l’air intérieur à une masse volumique de $0{,}95\ \mathrm{kg/m^{3}}$ . On prend $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

Calcule la poussée d’Archimède exercée par l’air extérieur.
Calcule le poids de l’air chaud enfermé dans l’enveloppe.
Calcule le poids de la structure, puis la charge maximale de passagers.
Combien de personnes de $75\ \mathrm{kg}$ le pilote peut-il embarquer ?
Le pilote coupe le brûleur, l’air intérieur refroidit et atteint $1{,}10\ \mathrm{kg/m^{3}}$ . Le ballon, avec trois passagers à bord, monte-t-il encore ?

Voir le corrigé détaillé

1. Poussée d’Archimède :

$F_A = \rho_{\text{air froid}} \times V \times g$
$=$ $1{,}20\ \mathrm{kg/m^{3}} \times 2\,200\ \mathrm{m^{3}} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $26\,400\ \mathrm{N}$

2. Poids de l’air chaud :

$P_{\text{air chaud}} = 0{,}95\ \mathrm{kg/m^{3}} \times 2\,200\ \mathrm{m^{3}} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $20\,900\ \mathrm{N}$

3. Poids de la structure :

$P_{\text{structure}} = 250\ \mathrm{kg} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $2\,500\ \mathrm{N}$

Le ballon s’élève tant que la poussée dépasse le poids total.

$P_{\text{passagers}} = F_A - P_{\text{air chaud}} - P_{\text{structure}}$
$=$ $26\,400\ \mathrm{N} - 20\,900\ \mathrm{N} - 2\,500\ \mathrm{N}$
$=$ $3\,000\ \mathrm{N}$

$m_{\text{passagers}} = \dfrac{3\,000\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}$
$=$ $300\ \mathrm{kg}$

4. Nombre de passagers :

$N = \dfrac{300\ \mathrm{kg}}{75\ \mathrm{kg}}$
$=$ $4$

Il peut embarquer quatre personnes de $75\ \mathrm{kg}$ , à la limite exacte de l’équilibre. En pratique, on en embarque moins pour garder une marge de montée.

5. Avec l’air refroidi à $1{,}10\ \mathrm{kg/m^{3}}$ :

$P_{\text{air}} = 1{,}10\ \mathrm{kg/m^{3}} \times 2\,200\ \mathrm{m^{3}} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $24\,200\ \mathrm{N}$

$P_{\text{passagers}} = 3 \times 75\ \mathrm{kg} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $2\,250\ \mathrm{N}$

$P_{\text{total}} = 24\,200\ \mathrm{N} + 2\,500\ \mathrm{N} + 2\,250\ \mathrm{N}$
$=$ $28\,950\ \mathrm{N}$

$28\,950\ \mathrm{N} > 26\,400\ \mathrm{N}$
$\Rightarrow$ $P_{\text{total}} > F_A$

Le poids l’emporte : le ballon descend. C’est exactement ainsi que le pilote pilote son altitude — non pas avec un moteur, mais en jouant sur la température de l’air enfermé.

Poussée d'Archimède et flottaison

Ce que tu sauras faire à la fin

1Un objet paraît plus léger dans l’eau

Matériel

Protocole

Résultats obtenus

Observation

Interprétation

2Le théorème d’Archimède

3Masse volumique et condition de flottaison

3.1 Les trois cas

4Les navires et la ligne de flottaison

5Deux applications : le densimètre et la montgolfière

5.1 Le densimètre

5.2 La montgolfière

Fiche mémo

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Énergie cinétique et sécurité routière