Un homme seul ne soulève pas un bloc de pierre de $500\ \mathrm{kg}$ . Pourtant, avec une simple barre de fer et un caillou posé au bon endroit, il y arrive. Rien de magique là-dedans : la barre est une machine simple, un dispositif qui ne fabrique aucune énergie mais qui répartit autrement l’effort. Dans ce chapitre, tu vas comprendre pourquoi une poulie divise ta force par deux, pourquoi la brouette est plus maligne qu’un seau, et pourquoi la physique t’interdit malgré tout de gagner sur tous les tableaux.

1Qu’est-ce qu’une machine simple ?

Définition

Une machine simple est un dispositif mécanique sans moteur qui permet de modifier une force : sa valeur, sa direction ou son sens.

Les mécaniciens grecs en dénombraient cinq : le levier, la poulie, le treuil, le coin et la vis. Toutes les machines d’aujourd’hui, du sécateur au pont roulant, sont des assemblages de ces briques élémentaires.

Dans toute machine simple, on distingue deux forces :

la force motrice $F_1$ , celle que tu exerces (on l’appelle aussi l’effort) ;
la force résistante $F_2$ , celle qu’il faut vaincre (le poids de la charge, la résistance d’une noix…).

Définition — multiplication de force

On appelle multiplication de force (ou avantage mécanique) le quotient :

$m = \dfrac{F_2}{F_1}$

Si $m > 1$ , la machine multiplie la force : tu pousses moins fort que la charge ne pèse. Si $m < 1$ , elle la divise, mais elle fait alors gagner en vitesse ou en amplitude.

Rappel de 4ème : Le poids

P

d’un corps de masse

m

vaut

P = m \times g

, avec

g \approx 10\ \mathrm{N/kg}

(valeur exacte proche de

9{,}8\ \mathrm{N/kg}

en France, un peu plus faible près de l’équateur). Une masse de

1\ \mathrm{kg}

pèse donc environ

10\ \mathrm{N}

Grandeur	Symbole	Unité	Symbole de l’unité
Force (effort, poids…)	$F$ , $P$	newton	$\mathrm{N}$
Masse	$m$	kilogramme	$\mathrm{kg}$
Intensité de la pesanteur	$g$	newton par kilogramme	$\mathrm{N/kg}$
Bras de levier, longueur, hauteur	$d$ , $L$ , $h$	mètre	$\mathrm{m}$
Moment d’une force	$M$	newton-mètre	$\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$
Travail d’une force	$W$	joule	$\mathrm{J}$

2Le levier

Définition

Un levier est une barre rigide qui peut tourner autour d’un point fixe appelé point d’appui (ou pivot).

Le bras de levier d’une force est la distance $d$ entre le point d’appui et la droite d’action de cette force.

Attention

Le bras de levier n’est pas la longueur de la barre, ni la distance jusqu’à ta main mesurée le long du bras. C’est la distance mesurée perpendiculairement à la direction de la force. Quand la force est verticale et la barre horizontale, les deux coïncident : c’est le cas de tous les exemples de ce chapitre.

2.1 Les trois genres de leviers

On classe les leviers selon la position relative du point d’appui, de l’effort et de la résistance.

Figure 1 — Levier du 1er genre : l’appui est au milieu. C’est la balançoire, mais aussi les ciseaux et la tenaille.

Sur une balançoire, si tu t’éloignes du pivot, tu appuies plus efficacement : $d_1$ augmente, donc une force plus petite suffit.

Figure 2 — Levier du 2e genre : la charge est entre l’appui et l’effort. La brouette, le casse-noix, le décapsuleur.

Dans une brouette, l’effort est toujours plus loin de l’appui que la charge : $d_1 > d_2$ . La multiplication de force est donc toujours supérieure à $1$ . C’est ce qui te permet de transporter $60\ \mathrm{kg}$ de sable en soulevant l’équivalent de $20\ \mathrm{kg}$ .

Figure 3 — Levier du 3e genre : l’effort est entre l’appui et la charge. C’est l’avant-bras humain, la pince à épiler, la canne à pêche.

Ici $d_1 < d_2$ , donc $m < 1$ : le biceps tire beaucoup plus fort que la charge ne pèse. Le corps humain a choisi la vitesse et l’amplitude plutôt que la force — une petite contraction du muscle fait parcourir un grand arc à la main.

Genre	Ordre le long de la barre	Exemple	Multiplication de force
1er	effort — appui — résistance	balançoire, ciseaux, tenaille	plus grande ou plus petite que $1$
2e	appui — résistance — effort	brouette, casse-noix	toujours plus grande que $1$
3e	appui — effort — résistance	avant-bras, pince à épiler	toujours plus petite que $1$

2.2 La condition d’équilibre

Théorème — équilibre d’un levier

Un levier soumis à deux forces perpendiculaires à la barre est en équilibre lorsque :

$F_1 \times d_1 = F_2 \times d_2$

Le produit $F \times d$ s’appelle le moment de la force par rapport au point d’appui. On le note $M$ et il s’exprime en newton-mètre ( $\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$ ).

Autrement dit : le levier tourne dans le sens de la force dont le moment est le plus grand. Il ne bouge pas quand les deux moments se compensent exactement.

Méthode — résoudre un problème de levier

Repérer le point d’appui sur le schéma ;
convertir toutes les masses en poids avec $P = m \times g$ ;
mesurer les deux bras de levier à partir du point d’appui, dans la même unité ;
écrire $F_1 \times d_1 = F_2 \times d_2$ ;
isoler l’inconnue, remplacer, conclure avec l’unité.

Exemple — la balançoire déséquilibrée

Awa a une masse de $40\ \mathrm{kg}$ et s’assoit à $1{,}5\ \mathrm{m}$ du pivot. Son petit frère Ousmane a une masse de $25\ \mathrm{kg}$ . À quelle distance du pivot doit-il s’asseoir pour que la balançoire soit horizontale ? On prend $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

Poids d’Awa :

$P_1 = m_1 \times g$ formule littérale
$=$ $40\ \mathrm{kg} \times 10\ \mathrm{N/kg}$ on remplace par les valeurs
$=$ $400\ \mathrm{N}$ résultat avec son unité

Poids d’Ousmane :

$P_2 = m_2 \times g$
$=$ $25\ \mathrm{kg} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $250\ \mathrm{N}$

Condition d’équilibre :

$P_1 \times d_1 = P_2 \times d_2$ les deux moments se compensent
$\Rightarrow$ $d_2 = \dfrac{P_1 \times d_1}{P_2}$ on isole l’inconnue
$=$ $\dfrac{400\ \mathrm{N} \times 1{,}5\ \mathrm{m}}{250\ \mathrm{N}}$ on remplace
$=$ $2{,}4\ \mathrm{m}$ résultat avec son unité

Ousmane doit s’asseoir à $2{,}4\ \mathrm{m}$ du pivot. Plus léger, il doit être plus loin : c’est bien ce que dit le bon sens.

Exemple — activité expérimentale — vérifier la loi du levier

Matériel

une règle de bois graduée de $50\ \mathrm{cm}$ , percée exactement en son milieu ;
un axe horizontal fixé sur un support (le point d’appui) ;
un jeu de masses marquées de $50\ \mathrm{g}$ et $100\ \mathrm{g}$ avec leurs crochets ;
un dynamomètre de $0$ à $5\ \mathrm{N}$ ;
du fil fin.

Protocole

Enfiler la règle sur l’axe et vérifier qu’elle reste horizontale à vide : le point d’appui est alors au centre de gravité, et le poids de la règle n’intervient plus.
Suspendre une masse de $200\ \mathrm{g}$ à $10\ \mathrm{cm}$ à gauche de l’axe.
Chercher, à droite, la position où une masse de $100\ \mathrm{g}$ rétablit l’horizontale. Noter la distance.
Recommencer avec $50\ \mathrm{g}$ , puis $250\ \mathrm{g}$ , puis $400\ \mathrm{g}$ .
Compléter le tableau et calculer les produits $F \times d$ de chaque côté.

Résultats obtenus

$F_1$ à gauche	$d_1$	Produit $F_1 d_1$	$F_2$ à droite	$d_2$ mesuré	Produit $F_2 d_2$
$2\ \mathrm{N}$	$0{,}10\ \mathrm{m}$	$0{,}20\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$	$1\ \mathrm{N}$	$0{,}20\ \mathrm{m}$	$0{,}20\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$
$2\ \mathrm{N}$	$0{,}10\ \mathrm{m}$	$0{,}20\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$	$0{,}5\ \mathrm{N}$	$0{,}40\ \mathrm{m}$	$0{,}20\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$
$2\ \mathrm{N}$	$0{,}10\ \mathrm{m}$	$0{,}20\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$	$2{,}5\ \mathrm{N}$	$0{,}08\ \mathrm{m}$	$0{,}20\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$
$2\ \mathrm{N}$	$0{,}10\ \mathrm{m}$	$0{,}20\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$	$4\ \mathrm{N}$	$0{,}05\ \mathrm{m}$	$0{,}20\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$

Observation

Ni $F_2$ ni $d_2$ ne sont constants d’une ligne à l’autre. En revanche, la dernière colonne donne toujours la même valeur, égale à celle de la troisième colonne.

Interprétation

La grandeur conservée n’est donc ni la force, ni la distance, mais leur produit : le moment. L’expérience confirme la relation $F_1 \times d_1 = F_2 \times d_2$ . Les petits écarts observés en classe (de l’ordre de $2\ \%$ ) viennent des frottements sur l’axe et de la précision de lecture de la règle.

Math & Co — Archimède et le levier

Archimède de Syracuse (vers $-287$ / $-212$ ) est le premier à donner une démonstration géométrique de la loi du levier, dans son traité De l’équilibre des figures planes. La formule qu’on lui prête — « Donnez-moi un point d’appui et je soulèverai le monde » — n’apparaît toutefois dans aucun de ses écrits conservés : elle est rapportée bien plus tard par Pappus d’Alexandrie, au IVe siècle après J.-C.

Trois siècles après Archimède, Héron d’Alexandrie recense dans sa Mécanique les cinq machines simples de l’Antiquité : le levier, le treuil, la poulie, le coin et la vis. C’est encore la liste que l’on enseigne aujourd’hui.

3Les poulies et les palans

3.1 La poulie fixe

Définition

Une poulie fixe est une roue à gorge dont l’axe est immobile. La corde passe dans la gorge : la force est transmise sans être modifiée en valeur.

Figure 4 — La poulie fixe ne multiplie pas la force : elle change seulement sa direction. Tirer vers le bas est bien plus confortable que soulever à bout de bras.

Avec une poulie fixe, pour un poids $P$ de la charge :

$F = P$ aucune multiplication de force

L’intérêt est ailleurs : au bord d’un puits, tu peux tirer vers le bas et utiliser ton propre poids, ce qui est bien plus efficace que de hisser le seau à la force des bras.

3.2 La poulie mobile

Définition

Une poulie mobile a son axe accroché à la charge : elle se déplace avec elle. Un brin de corde est fixé au support, l’autre est tiré.

Figure 5 — Poulie mobile : la charge est portée par deux brins de corde, qui tirent chacun avec la même intensité.

Propriété

Avec une poulie mobile (corde et poulie de masse négligeable, frottements négligés) :

$F = \dfrac{P}{2}$

Démonstration

La poulie mobile, avec la charge accrochée dessous, est en équilibre.

les deux brins de corde exercent chacun la même force $F$ c’est la même corde, qui glisse librement
les forces vers le haut valent $F + F$ somme des deux brins
$=$ $2F$
la force vers le bas vaut $P$ poids de la charge
$\Rightarrow$ $2F = P$ condition d’équilibre
$\Rightarrow$ $F = \dfrac{P}{2}$

C.Q.F.D.

3.3 Le palan

Définition

Un palan est un assemblage de poulies fixes et de poulies mobiles reliées par une même corde. Il permet de tirer vers le bas et de diviser la force.

Figure 6 — Palan simple : la poulie fixe rend le geste confortable, la poulie mobile divise la force par

2

Propriété

Si $n$ brins de corde soutiennent la charge, alors :

$F = \dfrac{P}{n}$

Attention : on compte les brins qui portent réellement l’ensemble mobile, pas le nombre total de poulies.

Exemple — hisser un moteur au garage

Un moteur de $180\ \mathrm{kg}$ est suspendu à un palan à $4$ brins. Quelle force le mécanicien doit-il exercer ? On prend $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

$P = m \times g$
$=$ $180\ \mathrm{kg} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $1\,800\ \mathrm{N}$

$F = \dfrac{P}{n}$
$=$ $\dfrac{1\,800\ \mathrm{N}}{4}$
$=$ $450\ \mathrm{N}$

Il lui faut exercer $450\ \mathrm{N}$ , soit l’équivalent du poids de $45\ \mathrm{kg}$ : c’est faisable. En contrepartie, il devra tirer $4\ \mathrm{m}$ de corde pour élever le moteur de $1\ \mathrm{m}$ .

4Le plan incliné

Définition

Un plan incliné est une surface plane faisant un angle avec l’horizontale. On y fait monter une charge en la poussant le long de la pente au lieu de la soulever à la verticale.

Figure 7 — Plan incliné de hauteur

h

et de longueur

L

. La rampe d’accès d’un magasin, la route de montagne en lacets et la vis sont des plans inclinés.

Propriété

Sur un plan incliné parfaitement lisse (frottements négligés), la force à exercer parallèlement à la pente vérifie :

$F \times L = P \times h$

soit encore :

$F = P \times \dfrac{h}{L}$

Exemple — monter un fût dans un camion

Un fût de $80\ \mathrm{kg}$ doit être monté à $1{,}2\ \mathrm{m}$ de hauteur sur une rampe de $4{,}8\ \mathrm{m}$ de long. On prend $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

$P = m \times g$
$=$ $80\ \mathrm{kg} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $800\ \mathrm{N}$

$F = P \times \dfrac{h}{L}$ formule littérale
$=$ $800\ \mathrm{N} \times \dfrac{1{,}2\ \mathrm{m}}{4{,}8\ \mathrm{m}}$ on remplace
$=$ $200\ \mathrm{N}$ résultat avec son unité

La force est divisée par $4$ , exactement comme le rapport $\dfrac{L}{h} = 4$ . Mais le fût parcourt $4{,}8\ \mathrm{m}$ au lieu de $1{,}2\ \mathrm{m}$ : le chemin est lui aussi multiplié par $4$ .

Important : Les frottements ne sont jamais nuls dans la réalité. La force réellement nécessaire est donc toujours un peu supérieure à la valeur théorique. C’est pourquoi on met des roulettes sous les caisses lourdes.

5La règle d’or de la mécanique

Définition

Le travail d’une force constante $F$ dont le point d’application se déplace d’une longueur $d$ dans la direction de la force vaut :

$W = F \times d$

Il s’exprime en joules ( $\mathrm{J}$ ) : $1\ \mathrm{J} = 1\ \mathrm{N} \times 1\ \mathrm{m}$ .

Théorème — règle d’or de la mécanique

Aucune machine simple ne crée de travail. Ce que l’on gagne en force, on le perd en déplacement :

$W_{\text{fourni}} = W_{\text{utile}}$

Une machine simple redistribue le travail, elle n’en fabrique jamais.

Figure 8 — La poulie mobile divise la force par

2

et double la longueur de corde à tirer : le travail, lui, reste identique.

Démonstration — la règle d’or pour la poulie mobile

On élève une charge de poids $P$ d’une hauteur $h$ à l’aide d’une poulie mobile.

sans machine, $W = P \times h$ travail à fournir directement
avec la poulie, $F = \dfrac{P}{2}$ deux brins portent la charge
les deux brins raccourcissent chacun de $h$ la poulie monte de $h$
$\Rightarrow$ la longueur de corde tirée vaut $d = 2h$
$W' = F \times d$
$=$ $\dfrac{P}{2} \times 2h$
$=$ $P \times h$
$\Rightarrow$ $W' = W$ le travail est bien conservé

C.Q.F.D.

Attention

Méfie-toi des publicités pour des « machines qui démultiplient l’énergie ». Une machine simple ne peut ni créer ni détruire du travail : dans la vraie vie, les frottements en dissipent même une partie sous forme de chaleur, et l’on récupère toujours un peu moins que ce que l’on a fourni.

Fiche mémo

Une machine simple modifie la valeur, la direction ou le sens d’une force, jamais le travail.
Multiplication de force : $m = \dfrac{F_2}{F_1}$ .
Levier : $F_1 \times d_1 = F_2 \times d_2$ ; le produit $F \times d$ est le moment, en $\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$ .
1er genre : appui au milieu · 2e genre : charge au milieu · 3e genre : effort au milieu.
Poulie fixe : $F = P$ , seule la direction change.
Poulie mobile : $F = \dfrac{P}{2}$ ; palan à $n$ brins : $F = \dfrac{P}{n}$ .
Plan incliné : $F \times L = P \times h$ .
Travail : $W = F \times d$ , en joules ; règle d’or : ce qui est gagné en force est perdu en déplacement.

Niveau 1 — Application directe

Indique le genre de chacun de ces leviers : une paire de ciseaux, un casse-noix, une pince à épiler, une brouette, un décapsuleur, un avant-bras.

Voir le corrigé détaillé

On repère à chaque fois ce qui se trouve au milieu.

Ciseaux : l’axe (appui) est au milieu $\Rightarrow$ 1er genre.
Casse-noix : la noix (résistance) est au milieu $\Rightarrow$ 2e genre.
Pince à épiler : les doigts (effort) sont au milieu $\Rightarrow$ 3e genre.
Brouette : la charge est au milieu $\Rightarrow$ 2e genre.
Décapsuleur : la capsule est au milieu $\Rightarrow$ 2e genre.
Avant-bras : le biceps (effort) est au milieu $\Rightarrow$ 3e genre.

Un levier est en équilibre. On a $F_1 = 30\ \mathrm{N}$ , $d_1 = 0{,}80\ \mathrm{m}$ et $d_2 = 0{,}20\ \mathrm{m}$ . Calcule $F_2$ .

Voir le corrigé détaillé

$F_1 \times d_1 = F_2 \times d_2$ condition d’équilibre
$\Rightarrow$ $F_2 = \dfrac{F_1 \times d_1}{d_2}$ on isole $F_2$
$=$ $\dfrac{30\ \mathrm{N} \times 0{,}80\ \mathrm{m}}{0{,}20\ \mathrm{m}}$ on remplace
$=$ $120\ \mathrm{N}$ résultat avec son unité

Le levier multiplie la force par $4$ .

Calcule le poids d’un sac de ciment de masse $50\ \mathrm{kg}$ , puis celui d’un seau d’eau de $12\ \mathrm{kg}$ . On prend $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

Voir le corrigé détaillé

$P = m \times g$
$=$ $50\ \mathrm{kg} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $500\ \mathrm{N}$

$P = m \times g$
$=$ $12\ \mathrm{kg} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $120\ \mathrm{N}$

Une charge de $240\ \mathrm{N}$ est suspendue à une poulie mobile. Quelle force faut-il exercer sur la corde ? Et si l’on utilisait une poulie fixe ?

Voir le corrigé détaillé

Avec la poulie mobile :

$F = \dfrac{P}{2}$
$=$ $\dfrac{240\ \mathrm{N}}{2}$
$=$ $120\ \mathrm{N}$

Avec la poulie fixe :

$F = P$
$=$ $240\ \mathrm{N}$

La poulie fixe ne fait gagner aucune force : elle rend seulement le geste plus commode.

Un palan comporte $3$ brins soutenant la charge. Le fardeau pèse $600\ \mathrm{N}$ . Quelle force faut-il exercer ?

Voir le corrigé détaillé

$F = \dfrac{P}{n}$
$=$ $\dfrac{600\ \mathrm{N}}{3}$
$=$ $200\ \mathrm{N}$

Il faut exercer $200\ \mathrm{N}$ et tirer $3\ \mathrm{m}$ de corde par mètre d’élévation.

Une caisse de poids $450\ \mathrm{N}$ doit être hissée à $1{,}5\ \mathrm{m}$ sur une rampe de $6\ \mathrm{m}$ . Quelle force faut-il exercer, en négligeant les frottements ?

Voir le corrigé détaillé

$F = P \times \dfrac{h}{L}$
$=$ $450\ \mathrm{N} \times \dfrac{1{,}5\ \mathrm{m}}{6\ \mathrm{m}}$
$=$ $112{,}5\ \mathrm{N}$

La rampe divise la force par $4$ .

On soulève une charge de $300\ \mathrm{N}$ d’une hauteur de $2\ \mathrm{m}$ . Calcule le travail fourni. Ce travail change-t-il si l’on utilise un palan ?

Voir le corrigé détaillé

$W = F \times d$
$=$ $300\ \mathrm{N} \times 2\ \mathrm{m}$
$=$ $600\ \mathrm{J}$

Non : d’après la règle d’or, le travail reste $600\ \mathrm{J}$ (un peu plus en réalité, à cause des frottements). Le palan diminue la force, pas le travail.

Niveau 2 — Approfondissement

Une barre à mine de $1{,}80\ \mathrm{m}$ sert à soulever une pierre. On place une cale à $0{,}20\ \mathrm{m}$ de l’extrémité qui touche la pierre. La pierre a une masse de $150\ \mathrm{kg}$ . Quelle force faut-il exercer à l’autre bout ? On prend $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

Voir le corrigé détaillé

Le bras de levier de la charge vaut $d_2 = 0{,}20\ \mathrm{m}$ ; celui de l’effort vaut :

$d_1 = 1{,}80\ \mathrm{m} - 0{,}20\ \mathrm{m}$
$=$ $1{,}60\ \mathrm{m}$

Poids de la pierre :

$P = m \times g$
$=$ $150\ \mathrm{kg} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $1\,500\ \mathrm{N}$

$F_1 = \dfrac{P \times d_2}{d_1}$
$=$ $\dfrac{1\,500\ \mathrm{N} \times 0{,}20\ \mathrm{m}}{1{,}60\ \mathrm{m}}$
$=$ $187{,}5\ \mathrm{N}$

Un adulte en est capable : la barre multiplie la force par $8$ .

Une brouette chargée de sable a une masse totale de $72\ \mathrm{kg}$ . Le centre de la charge est à $0{,}50\ \mathrm{m}$ de l’axe de la roue, les poignées à $1{,}50\ \mathrm{m}$ . Calcule la force à exercer sur les poignées, puis la multiplication de force. On prend $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

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$P = m \times g$
$=$ $72\ \mathrm{kg} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $720\ \mathrm{N}$

$F_1 = \dfrac{P \times d_2}{d_1}$
$=$ $\dfrac{720\ \mathrm{N} \times 0{,}50\ \mathrm{m}}{1{,}50\ \mathrm{m}}$
$=$ $240\ \mathrm{N}$

$m = \dfrac{F_2}{F_1}$
$=$ $\dfrac{720\ \mathrm{N}}{240\ \mathrm{N}}$
$=$ $3$

La brouette multiplie la force par $3$ : on ne « porte » que l’équivalent de $24\ \mathrm{kg}$ .

Avec un palan à $4$ brins, on élève une charge de $2\,000\ \mathrm{N}$ d’une hauteur de $3\ \mathrm{m}$ . Calcule la force exercée, la longueur de corde tirée, puis vérifie la règle d’or.

Voir le corrigé détaillé

$F = \dfrac{P}{n}$
$=$ $\dfrac{2\,000\ \mathrm{N}}{4}$
$=$ $500\ \mathrm{N}$

$d = n \times h$
$=$ $4 \times 3\ \mathrm{m}$
$=$ $12\ \mathrm{m}$

Travail fourni par l’ouvrier :

$W = F \times d$
$=$ $500\ \mathrm{N} \times 12\ \mathrm{m}$
$=$ $6\,000\ \mathrm{J}$

Travail utile (élévation de la charge) :

$W_{\text{utile}} = P \times h$
$=$ $2\,000\ \mathrm{N} \times 3\ \mathrm{m}$
$=$ $6\,000\ \mathrm{J}$

Les deux travaux sont égaux : la règle d’or est vérifiée.

Compare deux façons de monter un réfrigérateur de $900\ \mathrm{N}$ à $0{,}90\ \mathrm{m}$ de haut : à la verticale, ou sur une rampe de $3{,}60\ \mathrm{m}$ . Compare les forces, les distances et les travaux.

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À la verticale : la force vaut $900\ \mathrm{N}$ sur $0{,}90\ \mathrm{m}$ .

$W = 900\ \mathrm{N} \times 0{,}90\ \mathrm{m}$
$=$ $810\ \mathrm{J}$

Sur la rampe :

$F = P \times \dfrac{h}{L}$
$=$ $900\ \mathrm{N} \times \dfrac{0{,}90\ \mathrm{m}}{3{,}60\ \mathrm{m}}$
$=$ $225\ \mathrm{N}$

$W = 225\ \mathrm{N} \times 3{,}60\ \mathrm{m}$
$=$ $810\ \mathrm{J}$

La force est divisée par $4$ , la distance multipliée par $4$ , le travail est inchangé.

Le biceps de Léa s’insère à $4\ \mathrm{cm}$ du coude. Elle tient une haltère de $5\ \mathrm{kg}$ dans sa main, à $32\ \mathrm{cm}$ du coude. Quelle force le biceps doit-il exercer ? Que vaut la multiplication de force ? On prend $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

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$P = m \times g$
$=$ $5\ \mathrm{kg} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $50\ \mathrm{N}$

$F_1 = \dfrac{P \times d_2}{d_1}$
$=$ $\dfrac{50\ \mathrm{N} \times 32\ \mathrm{cm}}{4\ \mathrm{cm}}$
$=$ $400\ \mathrm{N}$

$m = \dfrac{50\ \mathrm{N}}{400\ \mathrm{N}}$
$=$ $0{,}125$

La multiplication de force vaut $0{,}125$ , soit $\dfrac{1}{8}$ : le muscle tire huit fois plus fort que l’haltère ne pèse. Mais quand le biceps se raccourcit de $1\ \mathrm{cm}$ , la main monte de $8\ \mathrm{cm}$ .

Sur une barre en équilibre, on suspend à gauche $2\ \mathrm{N}$ à $15\ \mathrm{cm}$ et $3\ \mathrm{N}$ à $20\ \mathrm{cm}$ du pivot. À droite, on suspend une seule masse à $30\ \mathrm{cm}$ . Quel doit être son poids ?

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Les moments à gauche s’additionnent.

$M_a = 2\ \mathrm{N} \times 0{,}15\ \mathrm{m}$
$=$ $0{,}30\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$

$M_b = 3\ \mathrm{N} \times 0{,}20\ \mathrm{m}$
$=$ $0{,}60\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$

$M_{\text{gauche}} = 0{,}30\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m} + 0{,}60\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$
$=$ $0{,}90\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$

$F = \dfrac{M_{\text{gauche}}}{d}$
$=$ $\dfrac{0{,}90\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}}{0{,}30\ \mathrm{m}}$
$=$ $3\ \mathrm{N}$

Niveau 3 — Défi

Une planche homogène de $4\ \mathrm{m}$ et de masse $10\ \mathrm{kg}$ repose sur un pivot placé à $1\ \mathrm{m}$ de son extrémité gauche. Où faut-il poser une masse de $30\ \mathrm{kg}$ pour équilibrer la planche ? On prend $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

Voir le corrigé détaillé

La planche étant homogène, son poids s’applique en son milieu, à $2\ \mathrm{m}$ de l’extrémité gauche, donc à $1\ \mathrm{m}$ à droite du pivot.

$P_{\text{planche}} = 10\ \mathrm{kg} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $100\ \mathrm{N}$

$M_{\text{droite}} = 100\ \mathrm{N} \times 1\ \mathrm{m}$
$=$ $100\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$

Il faut donc créer $100\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$ à gauche du pivot.

$P_{\text{masse}} = 30\ \mathrm{kg} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $300\ \mathrm{N}$

$d = \dfrac{M_{\text{droite}}}{P_{\text{masse}}}$
$=$ $\dfrac{100\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}}{300\ \mathrm{N}}$
$\approx$ $0{,}33\ \mathrm{m}$

Il faut la poser à environ $33\ \mathrm{cm}$ à gauche du pivot. Comme le pivot est à $1\ \mathrm{m}$ du bord, c’est possible : la position convient.

Un ouvrier tire sur la corde d’un palan avec une force de $250\ \mathrm{N}$ et doit tirer $10\ \mathrm{m}$ de corde pour élever une charge de $2\ \mathrm{m}$ . a) Combien de brins soutiennent la charge ? b) Quel est le poids théorique de la charge ? c) La charge pèse en réalité $1\,100\ \mathrm{N}$ . Calcule le rendement du palan.

Voir le corrigé détaillé

a) La longueur de corde tirée vaut $n$ fois la hauteur d’élévation.

$n = \dfrac{d}{h}$
$=$ $\dfrac{10\ \mathrm{m}}{2\ \mathrm{m}}$
$=$ $5$

b) Poids théorique :

$P = n \times F$
$=$ $5 \times 250\ \mathrm{N}$
$=$ $1\,250\ \mathrm{N}$

c) Travail fourni par l’ouvrier :

$W_{\text{fourni}} = 250\ \mathrm{N} \times 10\ \mathrm{m}$
$=$ $2\,500\ \mathrm{J}$

Travail réellement utile :

$W_{\text{utile}} = 1\,100\ \mathrm{N} \times 2\ \mathrm{m}$
$=$ $2\,200\ \mathrm{J}$

$\eta = \dfrac{W_{\text{utile}}}{W_{\text{fourni}}}$
$=$ $\dfrac{2\,200\ \mathrm{J}}{2\,500\ \mathrm{J}}$
$=$ $0{,}88$

Le rendement vaut $88\ \%$ : $12\ \%$ du travail part en frottements et en chaleur dans les gorges des poulies.

On veut monter une caisse de $600\ \mathrm{N}$ à $1{,}5\ \mathrm{m}$ de haut. On dispose d’une rampe de $5\ \mathrm{m}$ , mais la force de frottement le long de la rampe vaut $40\ \mathrm{N}$ . a) Quelle force faut-il réellement exercer ? b) Quel est le rendement de la rampe ?

Voir le corrigé détaillé

a) La force sert à deux choses : monter la caisse et vaincre le frottement.

$F_{\text{théorique}} = P \times \dfrac{h}{L}$
$=$ $600\ \mathrm{N} \times \dfrac{1{,}5\ \mathrm{m}}{5\ \mathrm{m}}$
$=$ $180\ \mathrm{N}$

$F_{\text{réelle}} = 180\ \mathrm{N} + 40\ \mathrm{N}$
$=$ $220\ \mathrm{N}$

b) Travail fourni :

$W_{\text{fourni}} = 220\ \mathrm{N} \times 5\ \mathrm{m}$
$=$ $1\,100\ \mathrm{J}$

Travail utile :

$W_{\text{utile}} = 600\ \mathrm{N} \times 1{,}5\ \mathrm{m}$
$=$ $900\ \mathrm{J}$

$\eta = \dfrac{900\ \mathrm{J}}{1\,100\ \mathrm{J}}$
$\approx$ $0{,}82$

Le rendement est d’environ $82\ \%$ .

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Le puits du quartier Chagoua, à Ndjamena. Moussa remonte l’eau d’un puits de $14\ \mathrm{m}$ de profondeur. Le seau plein a une masse de $18\ \mathrm{kg}$ . Le puits est équipé d’une simple poulie fixe accrochée à une potence. On prend $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

Quel est le poids du seau plein ?
Quelle force Moussa doit-il exercer sur la corde ?
Quel est l’intérêt de la poulie, puisqu’elle ne diminue pas la force ?
Quel travail Moussa fournit-il pour remonter un seau ?
Le réservoir de la maison contient $200\ \mathrm{L}$ , soit $200\ \mathrm{kg}$ d’eau. Combien de seaux de $16\ \mathrm{L}$ faut-il remonter pour le remplir ?

Voir le corrigé détaillé

1. Poids du seau plein :

$P = m \times g$
$=$ $18\ \mathrm{kg} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $180\ \mathrm{N}$

2. Avec une poulie fixe :

$F = P$
$=$ $180\ \mathrm{N}$

3. La poulie change la direction de la force. Moussa tire vers le bas : il peut s’aider de tout le poids de son corps et garder les pieds bien calés, au lieu de hisser la corde à bout de bras au-dessus du vide. Le geste est plus sûr et beaucoup moins fatigant.

4. Travail fourni pour un seau :

$W = F \times d$
$=$ $180\ \mathrm{N} \times 14\ \mathrm{m}$
$=$ $2\,520\ \mathrm{J}$

5. Nombre de seaux :

$N = \dfrac{200\ \mathrm{L}}{16\ \mathrm{L}}$
$=$ $12{,}5$

Il faut donc 13 seaux (on ne remonte pas un demi-seau). Le travail total dépasse $32\,000\ \mathrm{J}$ : on comprend pourquoi une poulie mobile, ou mieux un treuil, serait la bienvenue.

Le chantier de Kouassi, à Abidjan. Kouassi transporte du gravier avec une brouette. La caisse pleine et son contenu représentent une masse de $90\ \mathrm{kg}$ . Le centre de la charge est à $0{,}45\ \mathrm{m}$ de l’axe de la roue, et les poignées à $1{,}35\ \mathrm{m}$ . On prend $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

De quel genre de levier s’agit-il ? Justifie.
Quelle force Kouassi exerce-t-il sur les poignées ?
Quelle est la multiplication de force de sa brouette ?
Son collègue lui propose une brouette dont les brancards mesurent $1{,}80\ \mathrm{m}$ , la charge restant à $0{,}45\ \mathrm{m}$ de la roue. Quelle force faudrait-il alors ? Cette brouette est-elle meilleure ?

Voir le corrigé détaillé

1. L’appui est l’axe de la roue, la charge est au milieu, l’effort est aux poignées : appui — résistance — effort. C’est un levier du 2e genre.

2. Poids de l’ensemble :

$P = m \times g$
$=$ $90\ \mathrm{kg} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $900\ \mathrm{N}$

$F_1 = \dfrac{P \times d_2}{d_1}$
$=$ $\dfrac{900\ \mathrm{N} \times 0{,}45\ \mathrm{m}}{1{,}35\ \mathrm{m}}$
$=$ $300\ \mathrm{N}$

3. Multiplication de force :

$m = \dfrac{900\ \mathrm{N}}{300\ \mathrm{N}}$
$=$ $3$

4. Avec des brancards de $1{,}80\ \mathrm{m}$ :

$F_1 = \dfrac{900\ \mathrm{N} \times 0{,}45\ \mathrm{m}}{1{,}80\ \mathrm{m}}$
$=$ $225\ \mathrm{N}$

La force baisse de $300\ \mathrm{N}$ à $225\ \mathrm{N}$ : c’est mieux pour le dos. En revanche, la brouette est plus longue, donc plus difficile à manœuvrer dans les allées étroites du chantier, et les poignées montent plus haut quand on soulève. Le choix est un compromis, pas un gain gratuit.

Le déménagement d’Émilie, à Bruxelles. Émilie doit charger un piano droit de $220\ \mathrm{kg}$ dans une camionnette dont le plancher est à $0{,}80\ \mathrm{m}$ du sol. Elle loue une rampe de $3{,}20\ \mathrm{m}$ . On prend $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

Quel est le poids du piano ?
Quelle force faudrait-il exercer sans la rampe ?
Quelle force théorique faut-il sur la rampe, sans frottement ?
Les frottements ajoutent $130\ \mathrm{N}$ . Quelle force faut-il réellement ? À deux personnes poussant chacune $250\ \mathrm{N}$ , est-ce possible ?
Calcule le rendement de la rampe.

Voir le corrigé détaillé

1. Poids du piano :

$P = m \times g$
$=$ $220\ \mathrm{kg} \times 10\ \mathrm{N/kg}$
$=$ $2\,200\ \mathrm{N}$

2. Sans rampe, il faudrait soulever tout le poids, soit $2\,200\ \mathrm{N}$ : c’est hors de portée de deux personnes.

3. Force théorique sur la rampe :

$F = P \times \dfrac{h}{L}$
$=$ $2\,200\ \mathrm{N} \times \dfrac{0{,}80\ \mathrm{m}}{3{,}20\ \mathrm{m}}$
$=$ $550\ \mathrm{N}$

4. Force réelle :

$F_{\text{réelle}} = 550\ \mathrm{N} + 130\ \mathrm{N}$
$=$ $680\ \mathrm{N}$

À deux, elles fournissent :

$F_{\text{disponible}} = 2 \times 250\ \mathrm{N}$
$=$ $500\ \mathrm{N}$

$500\ \mathrm{N}$ ne suffisent pas face à $680\ \mathrm{N}$ : il faut une troisième personne, ou une rampe plus longue, ou un chariot à roulettes pour réduire les frottements.

5. Rendement :

$W_{\text{utile}} = 2\,200\ \mathrm{N} \times 0{,}80\ \mathrm{m}$
$=$ $1\,760\ \mathrm{J}$

$W_{\text{fourni}} = 680\ \mathrm{N} \times 3{,}20\ \mathrm{m}$
$=$ $2\,176\ \mathrm{J}$

$\eta = \dfrac{1\,760\ \mathrm{J}}{2\,176\ \mathrm{J}}$
$\approx$ $0{,}81$

Le rendement vaut environ $81\ \%$ .

Machines simples : leviers et poulies

Ce que tu sauras faire à la fin

1Qu’est-ce qu’une machine simple ?

2Le levier

2.1 Les trois genres de leviers

2.2 La condition d’équilibre

Matériel

Protocole

Résultats obtenus

Observation

Interprétation

3Les poulies et les palans

3.1 La poulie fixe

3.2 La poulie mobile

3.3 Le palan

4Le plan incliné

5La règle d’or de la mécanique

Fiche mémo

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Énergie cinétique et sécurité routière