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Énergie cinétique et énergie potentielle

Étudier les formes d'énergie mécanique et leur conservation.

Physique 3ème Chapitre 3 / 9 ⏱ 8 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Calculer une énergie cinétique et une énergie potentielle
  • Appliquer la conservation de l'énergie mécanique
  • Interpréter une distance de freinage

Une bille lâchée d’un mètre de haut arrive au sol à près de 16 km/h16\ \mathrm{km/h} ; un pendule qui oscille remonte toujours exactement à la même hauteur ; une voiture qui roule deux fois plus vite met quatre fois plus de distance pour s’arrêter. Ces trois phénomènes, qui semblent sans rapport, s’expliquent par une seule et même idée : l’énergie mécanique se transforme en permanence d’une forme à l’autre, mais elle ne se crée ni ne se perd — elle se conserve, sauf quand les frottements la dissipent.

1L’énergie cinétique

Définition

Un objet en mouvement possède, du seul fait de son mouvement, une énergie appelée énergie cinétique, notée EcE_c :

Ec=12mv2E_c = \dfrac{1}{2}mv^{2}

  • EcE_c : énergie cinétique, en joules (J\mathrm{J}) ;
  • mm : masse de l’objet, en kilogrammes (kg\mathrm{kg}) ;
  • vv : vitesse, en mètres par seconde (m/s\mathrm{m/s}).
Attention

La vitesse doit obligatoirement être en mètres par seconde. C’est l’erreur la plus fréquente de tout le chapitre. Pour convertir des km/h\mathrm{km/h} en m/s\mathrm{m/s}, on divise par 3,63{,}6 :

  1. v=903,6v = \dfrac{90}{3{,}6}une vitesse de 90 km/h90\ \mathrm{km/h}
  2. ==25 m/s25\ \mathrm{m/s}
Exemple — énergie cinétique d’une voiture

Une voiture de masse 1 000 kg1\,000\ \mathrm{kg} roule à 36 km/h36\ \mathrm{km/h}.

On convertit d’abord la vitesse :

  1. v=363,6v = \dfrac{36}{3{,}6}
  2. ==10 m/s10\ \mathrm{m/s}

Puis on applique la formule :

  1. Ec=12mv2E_c = \dfrac{1}{2}mv^{2}formule littérale
  2. Ec=12×1 000×102E_c = \dfrac{1}{2} \times 1\,000 \times 10^{2}on remplace par les valeurs
  3. ==50 000 J50\,000\ \mathrm{J}résultat avec son unité

1.1  Doubler la vitesse quadruple l’énergie

Dans la formule, la masse intervient au premier degré mais la vitesse est au carré. Les deux ne jouent donc pas du tout le même rôle.

Exemple — la même voiture à 72 km/h
  1. v=723,6v = \dfrac{72}{3{,}6}
  2. ==20 m/s20\ \mathrm{m/s}
  1. Ec=12×1 000×202E_c = \dfrac{1}{2} \times 1\,000 \times 20^{2}
  2. ==200 000 J200\,000\ \mathrm{J}

La vitesse a été multipliée par 2, l’énergie cinétique par 4.

Propriété — à retenir absolument
  • vitesse ×2\times 2 ⇒\Rightarrow énergie cinétique ×4\times 4 ;
  • vitesse ×3\times 3 ⇒\Rightarrow énergie cinétique ×9\times 9 ;
  • masse ×2\times 2 ⇒\Rightarrow énergie cinétique ×2\times 2 seulement.

Rouler plus vite est beaucoup plus dangereux que transporter une charge plus lourde.

2Vitesse, freinage et sécurité routière

Pour arrêter un véhicule, les freins doivent « détruire » toute son énergie cinétique en la transformant en chaleur. Si la force de freinage FF reste constante, le travail résistant des freins sur la distance dd doit compenser exactement EcE_c.

Propriété — distance de freinage
  1. F×d=EcF \times d = E_cles freins dissipent toute l’énergie cinétique
  2. d=EcFd = \dfrac{E_c}{F}on isole la distance
  3. ==mv22F\dfrac{m v^{2}}{2F}on remplace EcE_c par son expression

La distance de freinage est donc proportionnelle au carré de la vitesse.

20406080100120140204060801000xy50 km/h → 12,5 m100 km/h → 50 mdistance de freinage d (en m)vitesse v (en km/h)vitesse ×2 → distance ×4
Figure 1 — La courbe n’est pas une droite : c’est une parabole. En passant de 5050 à 100 km/h100\ \mathrm{km/h}, la distance de freinage passe de 12,512{,}5 à 50 m50\ \mathrm{m} — elle est quadruplée.
Important : La distance de freinage n’est pas la distance d’arrêt. Il faut y ajouter la distance de réaction, parcourue pendant la seconde où le conducteur réalise qu’il doit freiner. À 50 km/h50\ \mathrm{km/h}, cette seconde représente déjà près de 14 m14\ \mathrm{m} !
Attention

C’est la raison physique des limitations de vitesse aux abords des écoles. Le passage de 5050 à 30 km/h30\ \mathrm{km/h} ne divise pas l’énergie cinétique par 1,71{,}7 mais par 1,721{,}7^{2}, soit environ par 3. La distance d’arrêt est plus que divisée par deux.

3L’énergie potentielle de pesanteur

Définition

Un objet situé en hauteur possède une énergie en réserve, appelée énergie potentielle de pesanteur, notée EppE_{pp} :

Epp=m×g×hE_{pp} = m \times g \times h

  • EppE_{pp} : énergie potentielle de pesanteur, en joules (J\mathrm{J}) ;
  • mm : masse, en kilogrammes (kg\mathrm{kg}) ;
  • gg : intensité de la pesanteur, en newtons par kilogramme (N/kg\mathrm{N/kg}) ;
  • hh : hauteur au-dessus d’un niveau de référence choisi, en mètres (m\mathrm{m}).

Tu reconnais la formule du travail du poids : c’est normal ! L’énergie potentielle de pesanteur d’un objet, c’est exactement le travail que son poids pourra fournir en le laissant descendre jusqu’au niveau de référence.

Important : Le niveau de référence est un choix libre : le sol, le plancher, la surface d’un lac… Ce qui compte n’est jamais la valeur de EppE_{pp} toute seule, mais sa variation entre deux positions. Une fois le choix fait, on ne le change plus au milieu de l’exercice.
Exemple — un sac de ciment au troisième étage

Un sac de 35 kg35\ \mathrm{kg} est posé sur une plateforme à 9,0 m9{,}0\ \mathrm{m} au-dessus du sol, pris comme référence.

  1. Epp=m×g×hE_{pp} = m \times g \times hformule littérale
  2. Epp=35×9,8×9,0E_{pp} = 35 \times 9{,}8 \times 9{,}0on remplace par les valeurs
  3. ==3 087 J3\,087\ \mathrm{J}résultat avec son unité

4L’énergie mécanique et sa conservation

Définition

L’énergie mécanique d’un objet est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle de pesanteur :

Em=Ec+EppE_m = E_c + E_{pp}

Elle s’exprime elle aussi en joules.

Théorème — conservation de l’énergie mécanique

En l’absence de frottements, l’énergie mécanique d’un objet soumis à son seul poids reste constante au cours du mouvement :

Em=Ec+Epp=constanteE_m = E_c + E_{pp} = \text{constante}

L’énergie n’est ni créée ni détruite : elle se convertit d’une forme à l’autre. Ce que l’objet perd en énergie potentielle, il le gagne exactement en énergie cinétique — et réciproquement.

Chute d’une bille de 200 g lâchée de 1,80 ménergie potentielle de pesanteurénergie cinétiqueh = 1,80 mh = 0,90 mh = 03,53 J0 J1,76 J1,76 J0 J3,53 Jau départà mi-hauteurjuste avant le solÀ chaque instant, Ec + Epp = 3,53 J : l’énergie mécanique se conserve.
Figure 2 — Pendant la chute, la barre bleue diminue et la barre orange augmente exactement d’autant : la somme des deux ne change jamais.
Exemple — la bille lâchée de 1,80 m

Une bille de 200 g200\ \mathrm{g} est lâchée sans vitesse initiale d’une hauteur de 1,80 m1{,}80\ \mathrm{m}. On néglige les frottements de l’air et on prend le sol comme référence.

Au départ

  1. Ec=0 JE_c = 0\ \mathrm{J}la bille est lâchée sans vitesse
  2. Epp=0,200×9,8×1,80E_{pp} = 0{,}200 \times 9{,}8 \times 1{,}80
  3. ==3,53 J3{,}53\ \mathrm{J}
  4. Em=0+3,53E_m = 0 + 3{,}53
  5. ==3,53 J3{,}53\ \mathrm{J}

Juste avant le sol

  1. Epp=0 JE_{pp} = 0\ \mathrm{J}la bille est au niveau de référence
  2. Ec=Em−EppE_c = E_m - E_{pp}l’énergie mécanique s’est conservée
  3. Ec=3,53−0E_c = 3{,}53 - 0
  4. ==3,53 J3{,}53\ \mathrm{J}

Vitesse d’arrivée

  1. Ec=12mv2E_c = \dfrac{1}{2}mv^{2}formule littérale
  2. v2=2Ecmv^{2} = \dfrac{2 E_c}{m}on isole v2v^{2}
  3. v2=2×3,530,200v^{2} = \dfrac{2 \times 3{,}53}{0{,}200}on remplace par les valeurs
  4. ==35,335{,}3
  5. v=35,3v = \sqrt{35{,}3}
  6. ==5,94 m/s5{,}94\ \mathrm{m/s}soit environ 21 km/h21\ \mathrm{km/h}

4.1  Le pendule : un aller-retour d’énergie

Le pendule : conversion permanente entre Ec et EppABOEc = 0Epp maximaleEc = 0Epp maximaleEc maximale · Epp = 0hSans frottements, la bille remonte exactement à la même hauteur.
Figure 3 — Aux points extrêmes AA et BB, la bille est immobile : toute l’énergie est potentielle. Au point le plus bas OO, elle est la plus rapide : toute l’énergie est cinétique.

C’est ce qui explique une expérience spectaculaire : si l’on lâche une lourde bille suspendue contre son propre nez, elle revient s’arrêter juste avant de le toucher. Sans frottements, elle ne peut pas remonter plus haut que son point de départ ; avec les frottements, elle remonte toujours un peu moins haut.

Sur des montagnes russes, l’énergie change de formeniveau de référence : h = 0ABCA (h = 5,0 m) : toute l’énergie est potentielleB (h = 0) : toute l’énergie est cinétiqueC (h = 3,0 m) : Ec et Epp se partagentSans frottements, l’énergie mécanique reste constante tout au long du trajet.
Figure 4 — Sur des montagnes russes, chaque descente convertit EppE_{pp} en EcE_c, chaque montée fait l’inverse. Aucune bosse ne peut être plus haute que le point de départ.
Exemple — activité expérimentale — la bille remonte-t-elle à la même hauteur ?

Matériel

  • une gouttière souple ou un rail courbe formant une cuvette ;
  • une bille d’acier et une bille de bois de même diamètre ;
  • une règle graduée fixée verticalement, une potence ;
  • une feuille de papier de verre (pour augmenter les frottements).

Protocole

  1. Fixer la gouttière en cuvette et repérer le point le plus bas.
  2. Lâcher la bille d’acier sans vitesse depuis une hauteur hh mesurée à la règle.
  3. Repérer la hauteur maximale h’h’ atteinte de l’autre côté.
  4. Recommencer pour h=10h = 10, 2020 et 30 cm30\ \mathrm{cm}.
  5. Recommencer enfin après avoir collé le papier de verre dans la cuvette.

Observations

Hauteur de départ hhHauteur de retour h’h’ (rail lisse)Hauteur de retour h’h’ (rail rugueux)
10 cm10\ \mathrm{cm}9,5 cm9{,}5\ \mathrm{cm}6,0 cm6{,}0\ \mathrm{cm}
20 cm20\ \mathrm{cm}19,0 cm19{,}0\ \mathrm{cm}11,5 cm11{,}5\ \mathrm{cm}
30 cm30\ \mathrm{cm}28,0 cm28{,}0\ \mathrm{cm}16,5 cm16{,}5\ \mathrm{cm}

Interprétation

Sur le rail lisse, la bille remonte presque à sa hauteur de départ : l’énergie mécanique est quasiment conservée, et le petit écart mesure les frottements résiduels. Sur le rail rugueux, la perte est bien plus grande.

La bille ne remonte jamais plus haut que son point de départ : cela confirme qu’aucune énergie n’apparaît de nulle part.

5La dissipation par frottements

Dans la vraie vie, les frottements sont partout : entre l’objet et le support, entre l’objet et l’air. Ils exercent un travail résistant, qui retire de l’énergie mécanique au système.

Propriété

En présence de frottements, l’énergie mécanique diminue :

Edissipeˊe=Em(deˊpart)−Em(arriveˊe)E_{\text{dissipée}} = E_m(\text{départ}) - E_m(\text{arrivée})

Cette énergie n’a pas disparu : elle a été transférée au support et à l’air sous forme de chaleur (et un peu de bruit). L’énergie totale, elle, se conserve toujours.

Avec des frottements, la bille ne remonte pas aussi hauthauteur de départ : h = 1,00 mhauteur de retour : h’ = 0,78 mla différence a été dissipée par les frottementsL’énergie mécanique n’est plus conservée : une partie chauffe la piste et l’air.
Figure 5 — Avec des frottements, la bille remonte moins haut qu’elle n’est partie. La différence de hauteur mesure directement l’énergie dissipée.
Exemple — calcul de l’énergie dissipée

Une bille de 50 g50\ \mathrm{g} est lâchée d’une hauteur de 1,00 m1{,}00\ \mathrm{m} et remonte à 0,78 m0{,}78\ \mathrm{m} de l’autre côté.

  1. Em(deˊpart)=0,050×9,8×1,00E_m(\text{départ}) = 0{,}050 \times 9{,}8 \times 1{,}00
  2. ==0,49 J0{,}49\ \mathrm{J}
  1. Em(arriveˊe)=0,050×9,8×0,78E_m(\text{arrivée}) = 0{,}050 \times 9{,}8 \times 0{,}78
  2. ==0,38 J0{,}38\ \mathrm{J}
  1. Edissipeˊe=0,49−0,38E_{\text{dissipée}} = 0{,}49 - 0{,}38
  2. ==0,11 J0{,}11\ \mathrm{J}soit environ 22 %22\ \% de l’énergie de départ
GrandeurSymboleFormuleUnité
Énergie cinétiqueEcE_c12mv2\dfrac{1}{2}mv^{2}joule (J\mathrm{J})
Énergie potentielle de pesanteurEppE_{pp}m×g×hm \times g \times hjoule (J\mathrm{J})
Énergie mécaniqueEmE_mEc+EppE_c + E_{pp}joule (J\mathrm{J})
Massemm—kilogramme (kg\mathrm{kg})
Vitessevv—mètre par seconde (m/s\mathrm{m/s})
Hauteurhh—mètre (m\mathrm{m})
Intensité de la pesanteurgg—newton par kilogramme (N/kg\mathrm{N/kg})
Math & Co — James Prescott Joule et l’équivalent mécanique de la chaleur

James Prescott Joule (1818-1889) n’était pas professeur d’université : il dirigeait la brasserie familiale de Salford, près de Manchester, et faisait de la physique le reste du temps. Au début du XIXe siècle, on croyait encore que la chaleur était une substance invisible, le « calorique », indépendante du mouvement.

Joule construit alors une expérience d’une précision inouïe pour l’époque : une masse qui descend fait tourner une roue à aubes plongée dans un récipient d’eau calorifugé. En mesurant à la fois la hauteur de chute et l’élévation de température de l’eau, il montre en 1845 qu’une quantité donnée de travail produit toujours la même quantité de chaleur. C’est l’équivalent mécanique de la chaleur.

Ses valeurs, proches de 4,154{,}15 joules par calorie, sont remarquablement voisines de la valeur admise aujourd’hui (4,1864{,}186). Ce travail ouvre la voie au principe de conservation de l’énergie. L’unité d’énergie du Système international porte son nom : le joule.

Fiche mémo

  • Énergie cinétique : Ec=12mv2E_c = \dfrac{1}{2}mv^{2}, avec vv en m/s\mathrm{m/s} (diviser les km/h\mathrm{km/h} par 3,63{,}6).
  • Vitesse ×2\times 2 ⇒\Rightarrow Ec×4E_c \times 4 ; vitesse ×3\times 3 ⇒\Rightarrow Ec×9E_c \times 9.
  • La distance de freinage est proportionnelle au carré de la vitesse : d=mv22Fd = \dfrac{mv^{2}}{2F}.
  • Énergie potentielle de pesanteur : Epp=m×g×hE_{pp} = m \times g \times h, avec un niveau de référence choisi.
  • Énergie mécanique : Em=Ec+EppE_m = E_c + E_{pp}.
  • Sans frottements, EmE_m est constante : ce qui est perdu en EppE_{pp} est gagné en EcE_c.
  • Avec frottements, EmE_m diminue ; la différence est dissipée sous forme de chaleur.
  • Vitesse après une chute libre d’une hauteur hh : v=2×g×hv = \sqrt{2 \times g \times h}, indépendante de la masse.
Niveau 1 — Application directe
1

Calcule l’énergie cinétique d’un objet de masse 4 kg4\ \mathrm{kg} animé d’une vitesse de 6 m/s6\ \mathrm{m/s}.

Voir le corrigé détaillé
  1. Ec=12mv2E_c = \dfrac{1}{2}mv^{2}formule littérale
  2. Ec=12×4×62E_c = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 6^{2}on remplace par les valeurs
  3. ==72 J72\ \mathrm{J}résultat avec son unité
2

Un cycliste et son vélo ont une masse totale de 80 kg80\ \mathrm{kg} et roulent à 18 km/h18\ \mathrm{km/h}. Calcule leur énergie cinétique.

Voir le corrigé détaillé

On convertit d’abord la vitesse en m/s\mathrm{m/s} :

  1. v=183,6v = \dfrac{18}{3{,}6}
  2. ==5 m/s5\ \mathrm{m/s}
  1. Ec=12mv2E_c = \dfrac{1}{2}mv^{2}
  2. Ec=12×80×52E_c = \dfrac{1}{2} \times 80 \times 5^{2}
  3. ==1 000 J1\,000\ \mathrm{J}
3

Le même cycliste roule maintenant à 36 km/h36\ \mathrm{km/h}. a. Calcule sa nouvelle énergie cinétique. b. Par combien a-t-elle été multipliée ? Explique.

Voir le corrigé détaillé

a. Conversion et calcul :

  1. v=363,6v = \dfrac{36}{3{,}6}
  2. ==10 m/s10\ \mathrm{m/s}
  1. Ec=12×80×102E_c = \dfrac{1}{2} \times 80 \times 10^{2}
  2. ==4 000 J4\,000\ \mathrm{J}

b. Comparaison :

  1. 4 0001 000=4\dfrac{4\,000}{1\,000} = 4
  2. ⇒\Rightarrowl’énergie a été multipliée par 4.

La vitesse a doublé et elle intervient au carré dans la formule : 22=42^{2} = 4.

4

Calcule l’énergie potentielle de pesanteur d’un objet de 1,5 kg1{,}5\ \mathrm{kg} situé à 4 m4\ \mathrm{m} au-dessus du sol, pris comme référence.

Voir le corrigé détaillé
  1. Epp=m×g×hE_{pp} = m \times g \times hformule littérale
  2. Epp=1,5×9,8×4E_{pp} = 1{,}5 \times 9{,}8 \times 4on remplace par les valeurs
  3. ==58,8 J58{,}8\ \mathrm{J}résultat avec son unité
5

Un objet possède une énergie cinétique de 120 J120\ \mathrm{J} et une énergie potentielle de pesanteur de 250 J250\ \mathrm{J}. Quelle est son énergie mécanique ?

Voir le corrigé détaillé
  1. Em=Ec+EppE_m = E_c + E_{pp}formule littérale
  2. Em=120+250E_m = 120 + 250on remplace par les valeurs
  3. ==370 J370\ \mathrm{J}résultat avec son unité
6

Un objet de masse 5 kg5\ \mathrm{kg} possède une énergie cinétique de 90 J90\ \mathrm{J}. Quelle est sa vitesse ?

Voir le corrigé détaillé
  1. Ec=12mv2E_c = \dfrac{1}{2}mv^{2}formule littérale
  2. v2=2Ecmv^{2} = \dfrac{2E_c}{m}on isole v2v^{2}
  3. v2=2×905v^{2} = \dfrac{2 \times 90}{5}on remplace par les valeurs
  4. ==3636
  5. v=36v = \sqrt{36}
  6. ==6 m/s6\ \mathrm{m/s}
7

Un sac de 3 kg3\ \mathrm{kg} possède une énergie potentielle de pesanteur de 147 J147\ \mathrm{J}. À quelle hauteur se trouve-t-il ?

Voir le corrigé détaillé
  1. Epp=m×g×hE_{pp} = m \times g \times hformule littérale
  2. h=Eppm×gh = \dfrac{E_{pp}}{m \times g}on isole la hauteur
  3. h=1473×9,8h = \dfrac{147}{3 \times 9{,}8}on remplace par les valeurs
  4. ==5 m5\ \mathrm{m}résultat avec son unité
Niveau 2 — Approfondissement
8

Une bille de 100 g100\ \mathrm{g} est lâchée sans vitesse d’une hauteur de 2,0 m2{,}0\ \mathrm{m}. On néglige les frottements. a. Calcule son énergie mécanique au départ. b. Quelle est son énergie cinétique juste avant le sol ? c. Quelle est alors sa vitesse ?

Voir le corrigé détaillé

a. Au départ, la bille est immobile, donc Ec=0E_c = 0.

  1. Epp=0,100×9,8×2,0E_{pp} = 0{,}100 \times 9{,}8 \times 2{,}0
  2. ==1,96 J1{,}96\ \mathrm{J}
  1. Em=0+1,96E_m = 0 + 1{,}96
  2. ==1,96 J1{,}96\ \mathrm{J}

b. Juste avant le sol, h=0h = 0 donc Epp=0E_{pp} = 0. L’énergie mécanique s’étant conservée :

  1. Ec=Em−EppE_c = E_m - E_{pp}
  2. Ec=1,96−0E_c = 1{,}96 - 0
  3. ==1,96 J1{,}96\ \mathrm{J}

c. Vitesse d’arrivée :

  1. v2=2Ecmv^{2} = \dfrac{2E_c}{m}
  2. v2=2×1,960,100v^{2} = \dfrac{2 \times 1{,}96}{0{,}100}
  3. ==39,239{,}2
  4. v=39,2v = \sqrt{39{,}2}
  5. ==6,26 m/s6{,}26\ \mathrm{m/s}
9

Le pendule d’une horloge porte une masse de 200 g200\ \mathrm{g}. On l’écarte de sa position d’équilibre en l’élevant de 25 cm25\ \mathrm{cm}, puis on le lâche. Les frottements sont négligés. a. Calcule son énergie mécanique. b. Quelle est sa vitesse au point le plus bas ? c. Jusqu’à quelle hauteur remonte-t-il de l’autre côté ?

Voir le corrigé détaillé

a. On convertit : 25 cm=0,25 m25\ \mathrm{cm} = 0{,}25\ \mathrm{m}. Au départ, le pendule est immobile.

  1. Em=EppE_m = E_{pp}
  2. Em=0,200×9,8×0,25E_m = 0{,}200 \times 9{,}8 \times 0{,}25
  3. ==0,49 J0{,}49\ \mathrm{J}

b. Au point le plus bas, Epp=0E_{pp} = 0 donc Ec=0,49 JE_c = 0{,}49\ \mathrm{J}.

  1. v2=2×0,490,200v^{2} = \dfrac{2 \times 0{,}49}{0{,}200}
  2. ==4,94{,}9
  3. v=4,9v = \sqrt{4{,}9}
  4. ==2,21 m/s2{,}21\ \mathrm{m/s}

c. Sans frottements, l’énergie mécanique se conserve : au point le plus haut de l’autre côté, la bille est de nouveau immobile, donc toute l’énergie est redevenue potentielle. La hauteur atteinte est donc exactement 25 cm25\ \mathrm{cm}.

10

Compare l’énergie cinétique d’une moto de 250 kg250\ \mathrm{kg} roulant à 90 km/h90\ \mathrm{km/h} et celle d’un camion de 12 000 kg12\,000\ \mathrm{kg} roulant à 54 km/h54\ \mathrm{km/h}. Commente.

Voir le corrigé détaillé

La moto, après conversion 90÷3,6=25 m/s90 \div 3{,}6 = 25\ \mathrm{m/s} :

  1. Ec=12×250×252E_c = \dfrac{1}{2} \times 250 \times 25^{2}
  2. ==78 125 J78\,125\ \mathrm{J}

Le camion, après conversion 54÷3,6=15 m/s54 \div 3{,}6 = 15\ \mathrm{m/s} :

  1. Ec=12×12 000×152E_c = \dfrac{1}{2} \times 12\,000 \times 15^{2}
  2. ==1 350 000 J1\,350\,000\ \mathrm{J}
  1. 1 350 00078 125=17,3\dfrac{1\,350\,000}{78\,125} = 17{,}3
  2. ⇒\Rightarrowle camion possède environ 17 fois plus d’énergie cinétique.

Bien qu’il roule moins vite, sa masse considérable l’emporte : à force de freinage égale, il lui faudrait 1717 fois plus de distance pour s’arrêter.

11

Sur route sèche, la distance de freinage d’une voiture est de 12,5 m12{,}5\ \mathrm{m} à 50 km/h50\ \mathrm{km/h}. a. Quelle sera-t-elle à 100 km/h100\ \mathrm{km/h} ? b. Et à 150 km/h150\ \mathrm{km/h} ? Justifie sans refaire tout le calcul.

Voir le corrigé détaillé

La distance de freinage est proportionnelle au carré de la vitesse.

a. La vitesse est multipliée par 22 :

  1. d=12,5×22d = 12{,}5 \times 2^{2}
  2. ==50 m50\ \mathrm{m}

b. La vitesse est multipliée par 33 :

  1. d=12,5×32d = 12{,}5 \times 3^{2}
  2. ==112,5 m112{,}5\ \mathrm{m}

Soit plus d’un terrain de football, rien que pour freiner.

12

Un chariot de 30 kg30\ \mathrm{kg} descend une pente et perd 1,2 m1{,}2\ \mathrm{m} de hauteur. En bas, sa vitesse est de 4,0 m/s4{,}0\ \mathrm{m/s}. a. Calcule l’énergie potentielle perdue. b. Calcule l’énergie cinétique acquise. c. Quelle énergie a été dissipée par les frottements ?

Voir le corrigé détaillé

a. Énergie potentielle perdue :

  1. Epp=m×g×hE_{pp} = m \times g \times h
  2. Epp=30×9,8×1,2E_{pp} = 30 \times 9{,}8 \times 1{,}2
  3. ==352,8 J352{,}8\ \mathrm{J}

b. Énergie cinétique acquise :

  1. Ec=12×30×4,02E_c = \dfrac{1}{2} \times 30 \times 4{,}0^{2}
  2. ==240 J240\ \mathrm{J}

c. Énergie dissipée :

  1. Edissipeˊe=352,8−240E_{\text{dissipée}} = 352{,}8 - 240
  2. ==112,8 J112{,}8\ \mathrm{J}

Soit environ 32 %32\ \% de l’énergie de départ, transformée en chaleur dans les roues et l’air.

13

À l’aide de la figure de la distance de freinage, réponds : a. quelle est la distance de freinage à 80 km/h80\ \mathrm{km/h} ? b. À quelle vitesse la distance de freinage atteint-elle 72 m72\ \mathrm{m} ? c. Pourquoi la courbe n’est-elle pas une droite ?

Voir le corrigé détaillé

a. La relation lue sur le graphique est d=v2200d = \dfrac{v^{2}}{200} avec vv en km/h\mathrm{km/h}.

  1. d=802200d = \dfrac{80^{2}}{200}
  2. d=6 400200d = \dfrac{6\,400}{200}
  3. ==32 m32\ \mathrm{m}

b. On cherche la vitesse correspondante :

  1. v2=200×72v^{2} = 200 \times 72
  2. ==14 40014\,400
  3. v=14 400v = \sqrt{14\,400}
  4. ==120 km/h120\ \mathrm{km/h}

c. Parce que la distance de freinage est proportionnelle au carré de la vitesse, et non à la vitesse elle-même : la représentation graphique d’une telle relation est une parabole, pas une droite.

Niveau 3 — Défi
14

Un objet de masse mm est lâché sans vitesse initiale d’une hauteur hh. Les frottements sont négligés.

  1. Démontre que sa vitesse d’arrivée au sol vaut v=2×g×hv = \sqrt{2 \times g \times h}.
  2. Que remarques-tu concernant la masse ?
  3. Applique : quelle est la vitesse, en km/h\mathrm{km/h}, d’un objet tombé du deuxième étage, à 6,0 m6{,}0\ \mathrm{m} ?
Voir le corrigé détaillé

1. L’objet part immobile, donc son énergie mécanique initiale est uniquement potentielle. Au sol, elle est uniquement cinétique. Comme il n’y a pas de frottements, elle se conserve.

  1. Em(deˊpart)=m×g×hE_m(\text{départ}) = m \times g \times hcar Ec=0E_c = 0 au départ
  2. Em(sol)=12mv2E_m(\text{sol}) = \dfrac{1}{2}mv^{2}car Epp=0E_{pp} = 0 au sol
  3. 12mv2=m×g×h\dfrac{1}{2}mv^{2} = m \times g \times hconservation de l’énergie mécanique
  4. 12v2=g×h\dfrac{1}{2}v^{2} = g \times hon simplifie par mm, non nulle
  5. v2=2×g×hv^{2} = 2 \times g \times h
  6. ⇒\Rightarrowv=2×g×hv = \sqrt{2 \times g \times h}car vv est positive

2. La masse mm a été simplifiée : elle n’apparaît plus dans le résultat. Deux objets de masses très différentes, lâchés de la même hauteur, arrivent donc à la même vitesse — à condition de pouvoir négliger les frottements de l’air. C’est exactement ce que montre l’expérience du marteau et de la plume réalisée sur la Lune.

3. Application numérique :

  1. v=2×9,8×6,0v = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 6{,}0}
  2. v=117,6v = \sqrt{117{,}6}
  3. ==10,8 m/s10{,}8\ \mathrm{m/s}
  1. v=10,8×3,6v = 10{,}8 \times 3{,}6conversion en km/h\mathrm{km/h}
  2. ==39 km/h39\ \mathrm{km/h}
15

Un wagon de montagnes russes de 500 kg500\ \mathrm{kg} est lâché sans vitesse du sommet, à 30 m30\ \mathrm{m} de hauteur. Les frottements sont négligés dans tout l’exercice.

  1. Calcule son énergie mécanique, le sol étant la référence.
  2. Quelle est sa vitesse tout en bas ?
  3. Il aborde ensuite une bosse et la franchit à 12 m/s12\ \mathrm{m/s}. Quelle est la hauteur de cette bosse ?
  4. Pourrait-il franchir une bosse de 35 m35\ \mathrm{m} ? Justifie.
Voir le corrigé détaillé

1. Au sommet, le wagon est immobile :

  1. Em=m×g×hE_m = m \times g \times h
  2. Em=500×9,8×30E_m = 500 \times 9{,}8 \times 30
  3. ==147 000 J147\,000\ \mathrm{J}

2. En bas, Epp=0E_{pp} = 0 donc Ec=147 000 JE_c = 147\,000\ \mathrm{J} :

  1. v2=2×147 000500v^{2} = \dfrac{2 \times 147\,000}{500}
  2. ==588588
  3. v=588v = \sqrt{588}
  4. ==24,2 m/s24{,}2\ \mathrm{m/s}soit environ 87 km/h87\ \mathrm{km/h}

3. Sur la bosse, l’énergie cinétique vaut :

  1. Ec=12×500×122E_c = \dfrac{1}{2} \times 500 \times 12^{2}
  2. ==36 000 J36\,000\ \mathrm{J}
  1. Epp=Em−EcE_{pp} = E_m - E_cconservation de l’énergie mécanique
  2. Epp=147 000−36 000E_{pp} = 147\,000 - 36\,000
  3. ==111 000 J111\,000\ \mathrm{J}
  1. h=Eppm×gh = \dfrac{E_{pp}}{m \times g}
  2. h=111 000500×9,8h = \dfrac{111\,000}{500 \times 9{,}8}
  3. ==22,7 m22{,}7\ \mathrm{m}

4. Une bosse de 35 m35\ \mathrm{m} exigerait une énergie potentielle de :

  1. Epp=500×9,8×35E_{pp} = 500 \times 9{,}8 \times 35
  2. ==171 500 J171\,500\ \mathrm{J}
  1. 171 500>147 000171\,500 > 147\,000
  2. ⇒\Rightarrowc’est impossible.

Le wagon ne peut jamais dépasser la hauteur de son point de départ : il s’arrêterait avant le sommet, puis redescendrait. C’est pourquoi, sur un circuit réel, chaque bosse est plus basse que la précédente.

16

Une voiture de 1 200 kg1\,200\ \mathrm{kg} roule à 90 km/h90\ \mathrm{km/h}. Elle freine et s’arrête sur 45 m45\ \mathrm{m}.

  1. Calcule son énergie cinétique initiale.
  2. Déduis-en la force de freinage moyenne.
  3. Avec la même force de freinage, quelle serait la distance d’arrêt à 45 km/h45\ \mathrm{km/h} ?
  4. Où est passée l’énergie cinétique ?
Voir le corrigé détaillé

1. Conversion puis calcul :

  1. v=903,6v = \dfrac{90}{3{,}6}
  2. ==25 m/s25\ \mathrm{m/s}
  1. Ec=12×1 200×252E_c = \dfrac{1}{2} \times 1\,200 \times 25^{2}
  2. ==375 000 J375\,000\ \mathrm{J}

2. Les freins doivent dissiper toute cette énergie sur 45 m45\ \mathrm{m} :

  1. F×d=EcF \times d = E_c
  2. F=EcdF = \dfrac{E_c}{d}
  3. F=375 00045F = \dfrac{375\,000}{45}
  4. ==8 333 N8\,333\ \mathrm{N}

3. À 45 km/h45\ \mathrm{km/h}, soit 12,5 m/s12{,}5\ \mathrm{m/s} :

  1. Ec=12×1 200×12,52E_c = \dfrac{1}{2} \times 1\,200 \times 12{,}5^{2}
  2. ==93 750 J93\,750\ \mathrm{J}
  1. d=93 7508 333d = \dfrac{93\,750}{8\,333}
  2. ==11,25 m11{,}25\ \mathrm{m}

La vitesse a été divisée par 22, la distance par 44 : on retrouve bien la loi du carré.

4. L’énergie cinétique a été dissipée sous forme de chaleur dans les disques et les plaquettes de frein, ainsi que dans les pneus et l’air. C’est pourquoi des freins sollicités longuement deviennent brûlants — et perdent alors de leur efficacité.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
17

Le taxi d’Aya, à Abidjan. Aya conduit un taxi de 1 100 kg1\,100\ \mathrm{kg} (passagers compris) sur le boulevard Valéry-Giscard-d’Estaing. Elle roule à 72 km/h72\ \mathrm{km/h}. La force de freinage de son véhicule vaut 6 600 N6\,600\ \mathrm{N}.

  1. Calcule l’énergie cinétique du taxi.
  2. Calcule sa distance de freinage.
  3. Un enfant traverse à 20 m20\ \mathrm{m} devant elle. Peut-elle s’arrêter à temps, en supposant qu’elle freine instantanément ?
  4. Reprends les questions 1 à 3 si Aya roulait à 36 km/h36\ \mathrm{km/h}. Conclus.
Voir le corrigé détaillé

1. Conversion, puis énergie cinétique :

  1. v=723,6v = \dfrac{72}{3{,}6}
  2. ==20 m/s20\ \mathrm{m/s}
  1. Ec=12×1 100×202E_c = \dfrac{1}{2} \times 1\,100 \times 20^{2}
  2. ==220 000 J220\,000\ \mathrm{J}

2. Distance de freinage :

  1. d=EcFd = \dfrac{E_c}{F}
  2. d=220 0006 600d = \dfrac{220\,000}{6\,600}
  3. ==33,3 m33{,}3\ \mathrm{m}

3. Comparaison :

  1. 33,3>2033{,}3 > 20
  2. ⇒\RightarrowAya ne peut pas s’arrêter à temps : elle percuterait l’enfant.

4. À 36 km/h36\ \mathrm{km/h}, soit 10 m/s10\ \mathrm{m/s} :

  1. Ec=12×1 100×102E_c = \dfrac{1}{2} \times 1\,100 \times 10^{2}
  2. ==55 000 J55\,000\ \mathrm{J}
  1. d=55 0006 600d = \dfrac{55\,000}{6\,600}
  2. ==8,3 m8{,}3\ \mathrm{m}
  1. 8,3<208{,}3 < 20
  2. ⇒\RightarrowAya s’arrête largement à temps.

En divisant sa vitesse par 22, Aya a divisé son énergie cinétique par 44 et sa distance de freinage par 44. C’est toute la justification physique des limitations de vitesse en ville.

18

La zone scolaire de la Médina, à Dakar. Devant l’école, la vitesse est limitée à 30 km/h30\ \mathrm{km/h} au lieu de 50 km/h50\ \mathrm{km/h}. Ousmane conduit une voiture de 1 000 kg1\,000\ \mathrm{kg}. On admet que la distance de freinage vaut d=v2200d = \dfrac{v^{2}}{200} (avec vv en km/h\mathrm{km/h} et dd en mètres) et que le temps de réaction du conducteur est de 1,0 s1{,}0\ \mathrm{s}.

  1. Calcule l’énergie cinétique de la voiture à 50 km/h50\ \mathrm{km/h}, puis à 30 km/h30\ \mathrm{km/h}. Par combien est-elle divisée ?
  2. Calcule la distance de réaction dans les deux cas.
  3. Calcule la distance d’arrêt totale dans les deux cas.
  4. Que gagne-t-on en roulant à 3030 plutôt qu’à 50 km/h50\ \mathrm{km/h} ?
Voir le corrigé détaillé

1. À 50 km/h50\ \mathrm{km/h}, soit 13,9 m/s13{,}9\ \mathrm{m/s} :

  1. Ec=12×1 000×13,92E_c = \dfrac{1}{2} \times 1\,000 \times 13{,}9^{2}
  2. ==96 605 J96\,605\ \mathrm{J}

À 30 km/h30\ \mathrm{km/h}, soit 8,33 m/s8{,}33\ \mathrm{m/s} :

  1. Ec=12×1 000×8,332E_c = \dfrac{1}{2} \times 1\,000 \times 8{,}33^{2}
  2. ==34 694 J34\,694\ \mathrm{J}
  1. 96 60534 694=2,8\dfrac{96\,605}{34\,694} = 2{,}8
  2. ⇒\Rightarrowl’énergie est divisée par environ 2,8.

2. Distance parcourue pendant la seconde de réaction :

  1. dreˊaction=13,9×1,0d_{\text{réaction}} = 13{,}9 \times 1{,}0à 50 km/h50\ \mathrm{km/h}
  2. ==13,9 m13{,}9\ \mathrm{m}
  1. dreˊaction=8,33×1,0d_{\text{réaction}} = 8{,}33 \times 1{,}0à 30 km/h30\ \mathrm{km/h}
  2. ==8,3 m8{,}3\ \mathrm{m}

3. Distances de freinage, puis distances d’arrêt :

  1. dfreinage=502200d_{\text{freinage}} = \dfrac{50^{2}}{200}
  2. ==12,5 m12{,}5\ \mathrm{m}
  1. darreˆt=13,9+12,5d_{\text{arrêt}} = 13{,}9 + 12{,}5
  2. ==26,4 m26{,}4\ \mathrm{m}à 50 km/h50\ \mathrm{km/h}
  1. dfreinage=302200d_{\text{freinage}} = \dfrac{30^{2}}{200}
  2. ==4,5 m4{,}5\ \mathrm{m}
  1. darreˆt=8,3+4,5d_{\text{arrêt}} = 8{,}3 + 4{,}5
  2. ==12,8 m12{,}8\ \mathrm{m}à 30 km/h30\ \mathrm{km/h}

4. Gain sur la distance d’arrêt :

  1. 26,4−12,8=13,626{,}4 - 12{,}8 = 13{,}6
  2. ⇒\Rightarrowplus de 13 mètres gagnés, soit la largeur de trois voies.

À 30 km/h30\ \mathrm{km/h}, Ousmane s’arrête en moins de la moitié de la distance, et l’énergie du choc éventuel est presque trois fois plus faible. C’est la différence entre une frayeur et un accident grave.

19

Le toboggan du jardin public de Yaoundé. Clarisse, de masse 32 kg32\ \mathrm{kg}, se laisse glisser du haut d’un toboggan de 2,4 m2{,}4\ \mathrm{m} de hauteur, en partant sans vitesse.

  1. Calcule son énergie potentielle de pesanteur en haut, le sol servant de référence.
  2. Quelle serait sa vitesse en bas s’il n’y avait aucun frottement ?
  3. En réalité, elle arrive en bas à 5,0 m/s5{,}0\ \mathrm{m/s}. Calcule son énergie cinétique réelle, puis l’énergie dissipée.
  4. Quel pourcentage de l’énergie de départ a été dissipé ? Où est-elle passée ?
Voir le corrigé détaillé

1. Énergie potentielle en haut :

  1. Epp=m×g×hE_{pp} = m \times g \times h
  2. Epp=32×9,8×2,4E_{pp} = 32 \times 9{,}8 \times 2{,}4
  3. ==752,6 J752{,}6\ \mathrm{J}

2. Sans frottements, toute cette énergie deviendrait cinétique :

  1. v=2×g×hv = \sqrt{2 \times g \times h}
  2. v=2×9,8×2,4v = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 2{,}4}
  3. v=47,04v = \sqrt{47{,}04}
  4. ==6,86 m/s6{,}86\ \mathrm{m/s}

3. Énergie cinétique réelle :

  1. Ec=12×32×5,02E_c = \dfrac{1}{2} \times 32 \times 5{,}0^{2}
  2. ==400 J400\ \mathrm{J}
  1. Edissipeˊe=752,6−400E_{\text{dissipée}} = 752{,}6 - 400
  2. ==352,6 J352{,}6\ \mathrm{J}

4. Pourcentage dissipé :

  1. 352,6752,6=0,47\dfrac{352{,}6}{752{,}6} = 0{,}47
  2. ==47 %47\ \%

Près de la moitié de l’énergie a été dissipée sous forme de chaleur par le frottement du short de Clarisse sur la tôle du toboggan et par la résistance de l’air. C’est exactement pour cela que la glissade réchauffe le toboggan… et parfois un peu trop les jambes.

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Énergie cinétique et sécurité routière

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