La géométrie dans l’espace, c’est celle du monde réel : un château d’eau, un ballon, un cornet de glace, une maquette d’architecte. Cette année, tu ajoutes trois outils puissants à ta boîte : la sphère et son volume, les sections planes — que voit-on quand on coupe un solide ? — et l’effet d’un agrandissement sur les longueurs, les aires et les volumes. Cette dernière propriété réserve une surprise : doubler la taille d’un objet ne double pas sa contenance, cela la multiplie par huit.

1Les solides usuels et leurs volumes

Commençons par rassembler ce que tu sais déjà. Dans tout ce qui suit, $B$ désigne l’aire de la base et $h$ la hauteur du solide.

Figure 1 — Les cinq solides du programme, avec leur formule de volume.

Solide	Volume $V$	Aire particulière
Pavé droit de dimensions $L$ , $\ell$ , $h$	$V = L \times \ell \times h$	aire totale $= 2(L\ell + Lh + \ell h)$
Cube d’arête $a$	$V = a^{3}$	aire totale $= 6a^{2}$
Prisme droit	$V = B \times h$	—
Cylindre de révolution	$V = \pi R^{2} h$	aire latérale $= 2\pi R h$
Pyramide	$V = \dfrac{1}{3} \times B \times h$	—
Cône de révolution	$V = \dfrac{1}{3} \pi R^{2} h$	—
Boule de rayon $R$	$V = \dfrac{4}{3} \pi R^{3}$	aire de la sphère $= 4\pi R^{2}$

Important : Les trois solides « pointus » (pyramide, cône) ont un

\dfrac{1}{3}

dans leur formule : ils contiennent exactement le tiers du prisme ou du cylindre de même base et de même hauteur.

Méthode — les unités de capacité

Une seule égalité à retenir, tout le reste en découle :

$1\ \text{dm}^{3} = 1\ \text{L}$

$1\ \text{m}^{3} = 1\,000\ \text{dm}^{3} = 1\,000\ \text{L}$ ;
$1\ \text{cm}^{3} = 1\ \text{mL}$ ;
pour passer d’une unité de volume à la suivante, on multiplie ou on divise par $1\,000$ (et non par $10$ !).

Exemple — volume d’un cylindre

Un fût cylindrique a un rayon de $30$ cm et une hauteur de $80$ cm. Quelle est sa capacité en litres ?

$V = \pi R^{2} h$ formule du cylindre
$=$ $\pi \times 30^{2} \times 80$
$=$ $\pi \times 900 \times 80$
$=$ $72\,000\pi$ cm $^{3}$
$\approx$ $226\,195$ cm $^{3}$
$226\,195\ \text{cm}^{3} = 226\,195\ \text{mL}$ $1$ cm $^{3} = 1$ mL
$\approx$ $226$ L

2La sphère et la boule

Définition

Soit $O$ un point de l’espace et $R$ un nombre positif.

La sphère de centre $O$ et de rayon $R$ est l’ensemble des points $M$ de l’espace tels que $OM = R$ : c’est une surface, comme la peau d’un ballon.
La boule de centre $O$ et de rayon $R$ est l’ensemble des points $M$ tels que $OM \leqslant R$ : c’est un solide plein, comme une bille.

Définition — grand cercle

Un grand cercle d’une sphère est un cercle tracé sur la sphère qui a le même centre et le même rayon qu’elle. C’est le plus grand cercle que l’on puisse tracer sur la sphère.

Figure 2 — Sphère de centre

O

et de rayon

R

: tout point

M

de la sphère vérifie

OM = R

Attention

Ne confonds pas sphère (la surface, on parle de son aire) et boule (le solide plein, on parle de son volume). Un ballon de football est une sphère ; une boule de pétanque est une boule.

Théorème — aire et volume

Pour une sphère et une boule de rayon $R$ :

$\mathcal{A} = 4\pi R^{2} \qquad \text{et} \qquad V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3}$

Important : Dans

\mathcal{A} = 4\pi R^{2}

, le rayon est au carré : c’est une aire, en cm

^{2}

ou m

^{2}

. Dans

V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3}

, il est au cube : c’est un volume, en cm

^{3}

ou m

^{3}

. Vérifier l’exposant est le meilleur moyen de ne pas se tromper de formule.

Exemple — une boule de rayon 6 cm

Calcule l’aire de la sphère puis le volume de la boule, en valeur exacte et arrondis au dixième.

$\mathcal{A} = 4\pi R^{2}$
$=$ $4 \times \pi \times 6^{2}$
$=$ $144\pi$ cm $^{2}$
$\approx$ $452{,}4$ cm $^{2}$

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3}$
$=$ $\dfrac{4}{3} \times \pi \times 6^{3}$
$=$ $\dfrac{4}{3} \times \pi \times 216$
$=$ $288\pi$ cm $^{3}$
$\approx$ $904{,}8$ cm $^{3}$

Math & Co — Archimède, la sphère et le cylindre

Archimède de Syracuse (vers $-287$ à $-212$ ) considérait comme sa plus belle découverte le résultat suivant : si l’on enferme une boule dans le cylindre le plus juste possible — même rayon $R$ , hauteur $2R$ —, alors le volume de la boule vaut exactement les deux tiers de celui du cylindre, et son aire vaut aussi les deux tiers de l’aire totale du cylindre. Deux fois le même rapport $\dfrac{2}{3}$ : voilà ce qui l’émerveillait.

Il en était si fier qu’il demanda que l’on grave sur sa tombe une sphère inscrite dans un cylindre. Cent trente-sept ans après sa mort, l’orateur romain Cicéron, alors questeur en Sicile, raconte avoir retrouvé cette tombe oubliée et envahie de ronces près de Syracuse, précisément grâce à ce dessin gravé dans la pierre.

Tu démontreras ce résultat d’Archimède dans les exercices de niveau 3 : avec les formules d’aujourd’hui, cela tient en cinq lignes. Sans algèbre ni calcul intégral, cela lui avait demandé un traité entier.

3Les sections planes

Couper un solide par un plan, c’est comme trancher un fruit : la section est la figure plane que l’on voit apparaître sur la coupe. Sa nature dépend du solide et de l’orientation du plan.

3.1 Section d’un pavé droit

Propriété

La section d’un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle superposable à cette face.

La section par un plan parallèle à une arête est également un rectangle.

Figure 3 — Le plan est parallèle à la face du dessus : la section a exactement les mêmes dimensions que cette face.

3.2 Section d’un cylindre

Propriété

Section par un plan parallèle à la base : c’est un disque de même rayon que la base.
Section par un plan parallèle à l’axe : c’est un rectangle.

Figure 4 — Les deux sections classiques du cylindre : un disque, ou un rectangle.

3.3 Section d’un cône et d’une pyramide

Propriété — plan parallèle à la base

La section d’un cône (ou d’une pyramide) par un plan parallèle à la base est une réduction de la base.

Si le sommet est $S$ , si $O$ est le centre de la base et $O'$ celui de la section, le rapport de réduction est :

$k = \dfrac{SO'}{SO}$

Le petit cône (ou la petite pyramide) de sommet $S$ est alors une réduction de rapport $k$ du solide de départ.

Figure 5 — Section d’un cône par un plan parallèle à la base : on obtient un disque de rayon

R' = k \times R

Figure 6 — Même principe pour la pyramide : la section est un polygone semblable à la base.

Exemple — un cône coupé

Un cône a pour hauteur $SO = 12$ cm et pour rayon de base $R = 5$ cm. Un plan parallèle à la base le coupe à $SO' = 8$ cm du sommet. Calcule $R'$ .

$k = \dfrac{SO'}{SO}$
$=$ $\dfrac{8}{12}$
$=$ $\dfrac{2}{3}$
$R' = k \times R$
$=$ $\dfrac{2}{3} \times 5$
$=$ $\dfrac{10}{3}$ cm
$\approx$ $3{,}3$ cm

3.4 Section d’une sphère par un plan

Théorème

La section d’une sphère de centre $O$ et de rayon $R$ par un plan situé à la distance $d$ du centre est :

un cercle de rayon $r = \sqrt{R^{2} - d^{2}}$ si $d < R$ ;
un point (le plan est tangent à la sphère) si $d = R$ ;
vide si $d > R$ .

Le centre de ce cercle est le projeté orthogonal $H$ de $O$ sur le plan. Lorsque $d = 0$ , le plan passe par le centre : on obtient un grand cercle, de rayon $R$ .

Figure 7 — Le triangle

OHM

est rectangle en

H

: c’est lui qui donne le rayon

r

de la section.

Démonstration — le rayon de la section

Notons $H$ le projeté orthogonal du centre $O$ sur le plan de coupe, et $M$ un point quelconque du cercle obtenu.

Par définition du projeté orthogonal, la droite $(OH)$ est perpendiculaire au plan : elle est donc perpendiculaire à toute droite du plan passant par $H$ , en particulier à $(HM)$ .

le triangle $OHM$ est rectangle en $H$ $(OH)$ est perpendiculaire au plan
$OM^{2} = OH^{2} + HM^{2}$ théorème de Pythagore
$OM = R$ $M$ appartient à la sphère
$OH = d$ distance du centre au plan
$\Rightarrow$ $R^{2} = d^{2} + HM^{2}$
$\Rightarrow$ $HM^{2} = R^{2} - d^{2}$
$\Rightarrow$ $HM = \sqrt{R^{2} - d^{2}}$ une longueur est positive

Cette valeur ne dépend pas du point $M$ choisi : tous les points de la section sont donc à la même distance $\sqrt{R^{2}-d^{2}}$ de $H$ . La section est bien un cercle de centre $H$ et de rayon $r = \sqrt{R^{2}-d^{2}}$ . C.Q.F.D.

Exemple — une sphère coupée

Une sphère a pour rayon $R = 13$ cm. Un plan situé à $d = 5$ cm du centre la coupe. Quel est le rayon du cercle obtenu ?

$r^{2} = R^{2} - d^{2}$
$=$ $13^{2} - 5^{2}$
$=$ $169 - 25$
$=$ $144$
$\Rightarrow$ $r = 12$ cm

4Agrandissement et réduction

Définition

Un solide $S'$ est un agrandissement (ou une réduction) de rapport $k$ du solide $S$ lorsque toutes les longueurs de $S$ sont multipliées par le même nombre $k > 0$ pour obtenir celles de $S'$ .

si $k > 1$ , c’est un agrandissement ;
si $k < 1$ , c’est une réduction ;
si $k = 1$ , les deux solides sont superposables.

Théorème — les trois coefficients

Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k$ :

les longueurs sont multipliées par $k$ ;
les aires sont multipliées par $k^{2}$ ;
les volumes sont multipliés par $k^{3}$ .

En revanche, les angles sont conservés.

Démonstration — pourquoi

k

k^{2}

k^{3}

Prenons le cas simple d’un cube d’arête $a$ , agrandi de rapport $k$ : son arête devient $ka$ .

aire d’une face du cube de départ $= a \times a$
$=$ $a^{2}$
aire d’une face du cube agrandi $= (ka) \times (ka)$
$=$ $k^{2} \times a^{2}$ deux facteurs $k$

volume du cube de départ $= a \times a \times a$
$=$ $a^{3}$
volume du cube agrandi $= (ka) \times (ka) \times (ka)$
$=$ $k^{3} \times a^{3}$ trois facteurs $k$

Le raisonnement se généralise : une aire est toujours le produit de deux longueurs, un volume le produit de trois longueurs. Chaque longueur apportant un facteur $k$ , on obtient $k^{2}$ pour les aires et $k^{3}$ pour les volumes.

On peut le vérifier sur la boule : si $R$ devient $kR$ , alors

$\mathcal{A}' = 4\pi (kR)^{2}$
$=$ $k^{2} \times 4\pi R^{2}$
$V' = \dfrac{4}{3}\pi (kR)^{3}$
$=$ $k^{3} \times \dfrac{4}{3}\pi R^{3}$

C.Q.F.D.

Figure 8 — Doubler l’arête (

k = 2

) : l’aire est multipliée par

2^{2} = 4

et le volume par

2^{3} = 8

Méthode — reconnaître le rapport

k

Repérer deux longueurs qui se correspondent dans les deux solides ;
calculer $k = \dfrac{\text{longueur du nouveau}}{\text{longueur de l’ancien}}$ ;
multiplier les aires par $k^{2}$ et les volumes par $k^{3}$ .

Attention au sens : à l’échelle $\dfrac{1}{50}$ d’une maquette, on a $k = \dfrac{1}{50}$ pour passer du réel à la maquette.

Attention

L’erreur classique consiste à multiplier un volume par $k$ au lieu de $k^{3}$ . Un géant deux fois plus grand qu’un homme ne pèserait pas deux fois plus, mais huit fois plus, alors que la section de ses os ne serait que quatre fois plus grande : c’est pour cette raison physique que les géants des contes ne peuvent pas exister.

Exemple — une maquette au 1/20

Un réservoir réel a un volume de $16$ m $^{3}$ et une surface à peindre de $40$ m $^{2}$ . On en réalise une maquette à l’échelle $\dfrac{1}{20}$ .

$k = \dfrac{1}{20}$
aire de la maquette $= 40 \times k^{2}$
$=$ $40 \times \dfrac{1}{400}$
$=$ $0{,}1$ m $^{2}$
volume de la maquette $= 16 \times k^{3}$
$=$ $16 \times \dfrac{1}{8\,000}$
$=$ $0{,}002$ m $^{3}$
$=$ $2$ L

5Se repérer sur la sphère terrestre

La Terre est assimilée à une sphère de rayon $R \approx 6\,371$ km. Pour repérer un point à sa surface, on utilise deux angles, exactement comme deux coordonnées dans un repère.

Définition — le vocabulaire

L’axe de la Terre passe par les deux pôles, Nord et Sud.
Un méridien est un demi-grand cercle joignant les deux pôles. Le méridien de Greenwich sert d’origine.
Un parallèle est le cercle obtenu en coupant la sphère par un plan perpendiculaire à l’axe. Le plus grand d’entre eux est l’équateur : c’est un grand cercle.
La latitude d’un point est l’angle, compris entre $0^{\circ}$ et $90^{\circ}$ , mesuré depuis l’équateur ; on précise N (Nord) ou S (Sud).
La longitude est l’angle, compris entre $0^{\circ}$ et $180^{\circ}$ , mesuré depuis le méridien de Greenwich ; on précise E (Est) ou O (Ouest).

Figure 9 — Latitude et longitude : deux angles suffisent pour repérer n’importe quel point de la Terre.

Propriété — rayon d’un parallèle

Le parallèle de latitude $\varphi$ est un cercle de rayon :

$r = R \times \cos(\varphi)$

C’est un cas particulier de la section d’une sphère par un plan : ici $d = R\sin(\varphi)$ .

Figure 10 — Vue en coupe : dans le triangle

OHM

rectangle en

H

, le côté adjacent à

\varphi

donne

r = R\cos(\varphi)

Exemple — de Dakar à Ndjamena

Dakar (Sénégal) est située à environ $14{,}7^{\circ}$ N et $17{,}4^{\circ}$ O ; Ndjamena (Tchad) à environ $12{,}1^{\circ}$ N et $15{,}1^{\circ}$ E. Les deux villes sont donc presque sur le même parallèle, que l’on assimilera au parallèle $13^{\circ}$ N.

1. Écart de longitude. Dakar est à l’Ouest de Greenwich, Ndjamena à l’Est : les deux angles s’additionnent.

écart $= 17{,}4^{\circ} + 15{,}1^{\circ}$
$=$ $32{,}5^{\circ}$

2. Rayon du parallèle $13^{\circ}$ N.

$r = R \times \cos(13^{\circ})$
$=$ $6\,371 \times \cos(13^{\circ})$
$\approx$ $6\,208$ km

3. Longueur du parallèle, puis de l’arc.

longueur $= 2\pi r$
$\approx$ $2\pi \times 6\,208$
$\approx$ $39\,005$ km
arc $= 39\,005 \times \dfrac{32{,}5}{360}$ proportionnalité angle / longueur
$\approx$ $3\,521$ km

En suivant le parallèle, il y a donc environ 3 520 km entre Dakar et Ndjamena.

Important : Sur l’équateur,

1^{\circ}

de longitude correspond à

\dfrac{40\,030}{360} \approx 111

km. Sur un parallèle plus au nord, cette distance diminue : à la latitude

60^{\circ}

, elle n’est plus que de

55{,}5

km, car

\cos(60^{\circ}) = 0{,}5

Fiche mémo

Boule : $V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3}$ ; sphère : $\mathcal{A} = 4\pi R^{2}$ .
Cône / pyramide : $V = \dfrac{1}{3} \times B \times h$ ; cylindre / prisme : $V = B \times h$ .
$1\ \text{dm}^{3} = 1\ \text{L}$ et $1\ \text{m}^{3} = 1\,000\ \text{L}$ .
Pavé coupé parallèlement à une face : rectangle superposable à cette face.
Cylindre : disque (plan parallèle à la base), rectangle (plan parallèle à l’axe).
Cône / pyramide coupés parallèlement à la base : réduction de rapport $k = \dfrac{SO'}{SO}$ .
Sphère coupée par un plan à la distance $d$ : cercle de rayon $r = \sqrt{R^{2}-d^{2}}$ (Pythagore).
Agrandissement de rapport $k$ : longueurs $\times k$ , aires $\times k^{2}$ , volumes $\times k^{3}$ .
Terre : latitude (depuis l’équateur), longitude (depuis Greenwich) ; parallèle de latitude $\varphi$ : $r = R\cos(\varphi)$ .

Niveau 1 — Application directe

On considère la boule ci-dessous.

Figure 11 — Boule de centre

O

et de rayon

9

cm.

Calcule l’aire de la sphère et le volume de la boule, en valeur exacte puis arrondis à l’unité.

Voir le corrigé détaillé

$\mathcal{A} = 4\pi R^{2}$
$=$ $4 \times \pi \times 9^{2}$
$=$ $324\pi$ cm $^{2}$
$\approx$ $1\,018$ cm $^{2}$

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3}$
$=$ $\dfrac{4}{3} \times \pi \times 9^{3}$
$=$ $\dfrac{4}{3} \times \pi \times 729$
$=$ $972\pi$ cm $^{3}$
$\approx$ $3\,054$ cm $^{3}$

Calcule le volume de chacun de ces solides (valeur exacte, puis arrondie au dixième si besoin) :

un cylindre de rayon $4$ cm et de hauteur $10$ cm ;
un cône de rayon $6$ cm et de hauteur $9$ cm ;
une pyramide de base carrée de côté $5$ cm et de hauteur $12$ cm.

Voir le corrigé détaillé

1. Cylindre :

$V = \pi R^{2} h$
$=$ $\pi \times 4^{2} \times 10$
$=$ $160\pi$ cm $^{3}$
$\approx$ $502{,}7$ cm $^{3}$

2. Cône :

$V = \dfrac{1}{3}\pi R^{2} h$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times \pi \times 36 \times 9$
$=$ $108\pi$ cm $^{3}$
$\approx$ $339{,}3$ cm $^{3}$

3. Pyramide :

$B = 5^{2}$
$=$ $25$ cm $^{2}$
$V = \dfrac{1}{3} \times B \times h$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times 25 \times 12$
$=$ $100$ cm $^{3}$

Une sphère de centre $O$ est coupée par un plan situé à $5$ cm de $O$ . Le rayon de la sphère est $13$ cm.

Figure 12 — La section est un cercle de centre

H

et de rayon

r

Calcule le rayon $r$ de la section.

Voir le corrigé détaillé

Le triangle $OHM$ est rectangle en $H$ , car $(OH)$ est perpendiculaire au plan de coupe.

$OM^{2} = OH^{2} + HM^{2}$ Pythagore dans $OHM$
$\Rightarrow$ $13^{2} = 5^{2} + r^{2}$
$\Rightarrow$ $169 = 25 + r^{2}$
$\Rightarrow$ $r^{2} = 144$
$\Rightarrow$ $r = 12$

Le rayon de la section vaut 12 cm.

Pour chacune des deux coupes ci-dessous, précise la nature de la section et donne ses dimensions.

Figure 13 — À gauche un pavé de

8

\times

5

\times

6

cm, à droite un cylindre de rayon

4

cm.

Voir le corrigé détaillé

Pavé. Le plan est parallèle à la face du dessus.

section $=$ rectangle superposable à la face du dessus
$\Rightarrow$ dimensions : $8$ cm $\times$ $5$ cm

Cylindre. Le plan est parallèle à la base.

section $=$ disque de même rayon que la base
$\Rightarrow$ rayon $= 4$ cm

Dans les deux cas, la section ne dépend pas de la hauteur à laquelle on coupe.

Un solide a une arête de $4$ cm, une aire totale de $96$ cm $^{2}$ et un volume de $64$ cm $^{3}$ . On en réalise un agrandissement de rapport $k = 3$ . Donne l’arête, l’aire totale et le volume du solide agrandi.

Voir le corrigé détaillé

arête $= 4 \times 3$ longueurs $\times k$
$=$ $12$ cm
aire $= 96 \times 3^{2}$ aires $\times k^{2}$
$=$ $96 \times 9$
$=$ $864$ cm $^{2}$
volume $= 64 \times 3^{3}$ volumes $\times k^{3}$
$=$ $64 \times 27$
$=$ $1\,728$ cm $^{3}$

Effectue les conversions suivantes : $2{,}5$ m $^{3}$ en litres ; $750$ cL en dm $^{3}$ ; $0{,}03$ m $^{3}$ en cm $^{3}$ .

Voir le corrigé détaillé

$1$ m $^{3} = 1\,000$ L
$\Rightarrow$ $2{,}5$ m $^{3} = 2\,500$ L

$750$ cL $= 7{,}5$ L
$=$ $7{,}5$ dm $^{3}$ $1$ L $= 1$ dm $^{3}$

$1$ m $^{3} = 1\,000\,000$ cm $^{3}$
$\Rightarrow$ $0{,}03$ m $^{3} = 30\,000$ cm $^{3}$

Niveau 2 — Approfondissement

Un cône de révolution a pour hauteur $SO = 12$ cm et pour rayon de base $R = 5$ cm. Un plan parallèle à la base le coupe à $SO' = 8$ cm du sommet.

Figure 14 — Le petit cône de sommet

S

est une réduction du grand.

Calcule le rapport de réduction $k$ .
Calcule le rayon $R'$ de la section.
Calcule le volume du grand cône, puis celui du petit.
En déduire le volume du tronc de cône compris entre la section et la base.

Voir le corrigé détaillé

1. Rapport de réduction :

$k = \dfrac{SO'}{SO}$
$=$ $\dfrac{8}{12}$
$=$ $\dfrac{2}{3}$

2. Rayon de la section :

$R' = k \times R$
$=$ $\dfrac{2}{3} \times 5$
$=$ $\dfrac{10}{3}$ cm

3. Volumes :

$V = \dfrac{1}{3}\pi R^{2} h$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times \pi \times 25 \times 12$
$=$ $100\pi$ cm $^{3}$
$V' = k^{3} \times V$ volumes $\times k^{3}$
$=$ $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3} \times 100\pi$
$=$ $\dfrac{8}{27} \times 100\pi$
$=$ $\dfrac{800\pi}{27}$ cm $^{3}$
$\approx$ $93{,}1$ cm $^{3}$

4. Le tronc est la différence des deux cônes.

$V_{\text{tronc}} = 100\pi - \dfrac{800\pi}{27}$
$=$ $\dfrac{2\,700\pi - 800\pi}{27}$
$=$ $\dfrac{1\,900\pi}{27}$ cm $^{3}$
$\approx$ $221{,}1$ cm $^{3}$

Le volume d’une boule vaut $36\pi$ cm $^{3}$ . Détermine son rayon, puis l’aire de la sphère correspondante.

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{4}{3}\pi R^{3} = 36\pi$
$\Rightarrow$ $\dfrac{4}{3} R^{3} = 36$ on divise les deux membres par $\pi$
$\Rightarrow$ $R^{3} = 36 \times \dfrac{3}{4}$
$\Rightarrow$ $R^{3} = 27$
$\Rightarrow$ $R = 3$ car $3^{3} = 27$

Le rayon vaut $3$ cm. On en déduit l’aire :

$\mathcal{A} = 4\pi R^{2}$
$=$ $4 \times \pi \times 9$
$=$ $36\pi$ cm $^{2}$
$\approx$ $113{,}1$ cm $^{2}$

Une sphère de rayon $25$ cm est coupée par un plan. Le cercle obtenu a pour rayon $20$ cm. À quelle distance du centre se trouve le plan ?

Voir le corrigé détaillé

On note $d$ la distance cherchée et on applique la relation de Pythagore dans le triangle $OHM$ .

$R^{2} = d^{2} + r^{2}$
$\Rightarrow$ $25^{2} = d^{2} + 20^{2}$
$\Rightarrow$ $625 = d^{2} + 400$
$\Rightarrow$ $d^{2} = 225$
$\Rightarrow$ $d = 15$

Le plan se trouve à 15 cm du centre de la sphère.

Une pyramide $SABCD$ a un volume de $270$ cm $^{3}$ . On la coupe par un plan parallèle à la base, à un tiers de la hauteur en partant du sommet. Calcule le volume de la petite pyramide, puis celui du tronc restant.

Voir le corrigé détaillé

$k = \dfrac{1}{3}$ rapport des hauteurs depuis le sommet
$V_{\text{petite}} = k^{3} \times 270$
$=$ $\dfrac{1}{27} \times 270$
$=$ $10$ cm $^{3}$
$V_{\text{tronc}} = 270 - 10$
$=$ $260$ cm $^{3}$

Couper au tiers de la hauteur ne retire donc qu’un vingt-septième du volume.

On considère deux boules, l’une de rayon $3$ cm, l’autre de rayon $6$ cm. Sans calculer les valeurs, détermine par quel nombre il faut multiplier l’aire de la première pour obtenir celle de la seconde, et de même pour les volumes. Vérifie ensuite par le calcul.

Voir le corrigé détaillé

La seconde boule est un agrandissement de la première.

$k = \dfrac{6}{3}$
$=$ $2$
rapport des aires $= k^{2}$
$=$ $4$
rapport des volumes $= k^{3}$
$=$ $8$

Vérification par le calcul :

$\mathcal{A}_{1} = 4\pi \times 3^{2} = 36\pi$
$\mathcal{A}_{2} = 4\pi \times 6^{2} = 144\pi$
$\Rightarrow$ $\dfrac{144\pi}{36\pi} = 4$
$V_{1} = \dfrac{4}{3}\pi \times 27 = 36\pi$
$V_{2} = \dfrac{4}{3}\pi \times 216 = 288\pi$
$\Rightarrow$ $\dfrac{288\pi}{36\pi} = 8$

On donne les coordonnées géographiques approchées de deux capitales.

Figure 15 — Dakar et Ndjamena, presque sur le même parallèle.

Calcule l’écart de longitude entre les deux villes.
Calcule le rayon du parallèle $13^{\circ}$ N, en prenant $R = 6\,371$ km (arrondi au km).
En assimilant le trajet à un arc de ce parallèle, calcule la distance entre les deux villes, arrondie à $10$ km près.

Voir le corrigé détaillé

1. Dakar est à l’Ouest, Ndjamena à l’Est : les longitudes s’additionnent.

écart $= 17{,}4^{\circ} + 15{,}1^{\circ}$
$=$ $32{,}5^{\circ}$

2. Rayon du parallèle :

$r = R \times \cos(13^{\circ})$
$=$ $6\,371 \times \cos(13^{\circ})$
$\approx$ $6\,208$ km

3. Longueur du parallèle, puis fraction correspondant à $32{,}5^{\circ}$ :

longueur $= 2\pi \times 6\,208$
$\approx$ $39\,005$ km
distance $= 39\,005 \times \dfrac{32{,}5}{360}$
$\approx$ $3\,521$ km

La distance est d’environ 3 520 km.

Niveau 3 — Défi

La section d’une sphère. Une sphère a pour centre $O$ et pour rayon $R$ . Un plan est situé à la distance $d$ de $O$ .

Démontre que si $d < R$ , la section est un cercle de rayon $r = \sqrt{R^{2}-d^{2}}$ .
Que se passe-t-il si $d = R$ ? Si $d > R$ ?
Pour quelle valeur de $d$ le cercle obtenu est-il le plus grand possible ? Quel est alors son rayon ?

Voir le corrigé détaillé

1. Soit $H$ le projeté orthogonal de $O$ sur le plan et $M$ un point de la section.

$(OH)$ est perpendiculaire au plandéfinition du projeté orthogonal
$\Rightarrow$ $(OH)$ est perpendiculaire à $(HM)$ $(HM)$ est une droite du plan
$\Rightarrow$ le triangle $OHM$ est rectangle en $H$
$OM^{2} = OH^{2} + HM^{2}$ Pythagore
$\Rightarrow$ $R^{2} = d^{2} + HM^{2}$
$\Rightarrow$ $HM^{2} = R^{2} - d^{2}$
$\Rightarrow$ $HM = \sqrt{R^{2}-d^{2}}$

Cette longueur est la même pour tout point $M$ de la section : c’est donc le cercle de centre $H$ et de rayon $\sqrt{R^{2}-d^{2}}$ .

2. Discussion des deux cas limites :

si $d = R$ , alors $r = \sqrt{R^{2}-R^{2}} = 0$
$\Rightarrow$ la section est réduite au point $H$ : le plan est tangent à la sphère
si $d > R$ , alors $R^{2} - d^{2} < 0$
$\Rightarrow$ aucune racine carrée possible : la section est vide

3. Le rayon $r = \sqrt{R^{2}-d^{2}}$ est d’autant plus grand que $d^{2}$ est petit.

$r$ est maximal quand $d = 0$
$\Rightarrow$ $r = \sqrt{R^{2}}$
$=$ $R$

Le plan passe alors par le centre : on obtient un grand cercle, de rayon $R$ .

Le théorème d’Archimède. Une boule de rayon $R$ est inscrite dans un cylindre : le cylindre a le même rayon $R$ et une hauteur égale à $2R$ .

Figure 16 — La boule est inscrite dans le cylindre : elle touche les deux disques et la surface latérale.

Exprime le volume du cylindre en fonction de $R$ .
Démontre que le volume de la boule est égal aux deux tiers de celui du cylindre.
Démontre que l’aire de la sphère est égale aux deux tiers de l’aire totale du cylindre.

Voir le corrigé détaillé

1. Le cylindre a pour rayon $R$ et pour hauteur $2R$ .

$V_{\text{cyl}} = \pi R^{2} \times h$
$=$ $\pi R^{2} \times 2R$
$=$ $2\pi R^{3}$

2. On calcule le quotient des deux volumes.

$V_{\text{boule}} = \dfrac{4}{3}\pi R^{3}$
$\dfrac{V_{\text{boule}}}{V_{\text{cyl}}} = \dfrac{\dfrac{4}{3}\pi R^{3}}{2\pi R^{3}}$
$=$ $\dfrac{4}{3} \times \dfrac{1}{2}$ on simplifie par $\pi R^{3}$
$=$ $\dfrac{2}{3}$

Le volume de la boule vaut bien les deux tiers de celui du cylindre.

3. L’aire totale du cylindre est la somme de l’aire latérale et des deux disques.

aire latérale $= 2\pi R \times 2R$
$=$ $4\pi R^{2}$
aire des deux disques $= 2 \times \pi R^{2}$
$=$ $2\pi R^{2}$
$\mathcal{A}_{\text{cyl}} = 4\pi R^{2} + 2\pi R^{2}$
$=$ $6\pi R^{2}$

$\dfrac{\mathcal{A}_{\text{sph}}}{\mathcal{A}_{\text{cyl}}} = \dfrac{4\pi R^{2}}{6\pi R^{2}}$
$=$ $\dfrac{4}{6}$
$=$ $\dfrac{2}{3}$

On retrouve le même rapport $\dfrac{2}{3}$ pour les aires et pour les volumes : c’est exactement le résultat gravé sur la tombe d’Archimède. C.Q.F.D.

Le tronc de cône. Un cône de sommet $S$ , de hauteur $h$ et de rayon $R$ , a pour volume $V$ . On le coupe par un plan parallèle à la base, à la hauteur $kh$ mesurée depuis le sommet ( $0 < k < 1$ ).

Démontre que le volume du tronc de cône obtenu vaut $V_{\text{tronc}} = (1 - k^{3})\,V$ .
Application : un cône de hauteur $10$ cm et de rayon $6$ cm est coupé à mi-hauteur. Calcule le volume du tronc.
Pour quelle valeur de $k$ le tronc a-t-il exactement la moitié du volume du cône ? On donnera une valeur approchée au centième.

Voir le corrigé détaillé

1. Le petit cône de sommet $S$ est une réduction de rapport $k$ du grand cône.

$V_{\text{petit}} = k^{3} \times V$ les volumes sont multipliés par $k^{3}$
$V_{\text{tronc}} = V - V_{\text{petit}}$ le tronc est ce qui reste
$=$ $V - k^{3} V$
$=$ $(1 - k^{3})\,V$ factorisation par $V$

2. Ici $k = \dfrac{1}{2}$ .

$V = \dfrac{1}{3}\pi R^{2} h$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times \pi \times 36 \times 10$
$=$ $120\pi$ cm $^{3}$
$V_{\text{tronc}} = \left(1 - \dfrac{1}{8}\right) \times 120\pi$
$=$ $\dfrac{7}{8} \times 120\pi$
$=$ $105\pi$ cm $^{3}$
$\approx$ $329{,}9$ cm $^{3}$

3. On cherche $k$ tel que $(1-k^{3})V = \dfrac{1}{2}V$ .

$1 - k^{3} = \dfrac{1}{2}$ on divise les deux membres par $V$
$\Rightarrow$ $k^{3} = \dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow$ $k = \sqrt[3]{0{,}5}$
$\approx$ $0{,}79$

Il faut couper à environ $79\ \%$ de la hauteur en partant du sommet — et non à la moitié, comme on pourrait le croire.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Le château d’eau de Ndjamena. Moussa est technicien à la société des eaux. Il doit estimer la capacité d’un château d’eau dont la cuve est une boule de rayon intérieur $3{,}5$ m.

Figure 17 — La cuve sphérique du château d’eau.

Calcule le volume de la cuve, arrondi au dixième de m $^{3}$ .
Exprime cette capacité en litres.
Un foyer consomme en moyenne $250$ L par jour. Combien de foyers la cuve pleine peut-elle alimenter pendant une journée ?
La cuve doit être repeinte à l’extérieur. Calcule l’aire de la sphère, arrondie au m $^{2}$ .

Voir le corrigé détaillé

1. Volume de la boule :

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3}$
$=$ $\dfrac{4}{3} \times \pi \times 3{,}5^{3}$
$=$ $\dfrac{4}{3} \times \pi \times 42{,}875$
$\approx$ $179{,}6$ m $^{3}$

2. Conversion en litres :

$1$ m $^{3} = 1\,000$ L
$\Rightarrow$ $179{,}6$ m $^{3} \approx 179\,600$ L

3. Nombre de foyers :

nombre $= \dfrac{179\,600}{250}$
$\approx$ $718{,}4$

La cuve peut alimenter 718 foyers pendant une journée (on arrondit à l’entier inférieur : il n’est pas possible d’alimenter un foyer à moitié).

4. Aire de la sphère :

$\mathcal{A} = 4\pi R^{2}$
$=$ $4 \times \pi \times 3{,}5^{2}$
$=$ $49\pi$ m $^{2}$
$\approx$ $154$ m $^{2}$

La coupole de Dakar. Aminata est peintre en bâtiment. Elle doit repeindre l’extérieur d’une coupole ayant la forme d’une demi-sphère de rayon $6$ m.

Calcule l’aire de la surface à peindre, arrondie au dixième de m $^{2}$ .
La peinture doit être appliquée en deux couches. Quelle surface totale sera peinte ?
Un pot couvre $12$ m $^{2}$ . Combien de pots Aminata doit-elle acheter ?
Le pot coûte $18\,500$ F CFA. Quel sera le coût de la peinture ?

Voir le corrigé détaillé

1. L’aire d’une demi-sphère est la moitié de celle de la sphère entière.

$\mathcal{A} = \dfrac{4\pi R^{2}}{2}$
$=$ $2\pi R^{2}$
$=$ $2 \times \pi \times 36$
$=$ $72\pi$ m $^{2}$
$\approx$ $226{,}2$ m $^{2}$

2. Deux couches :

surface totale $= 2 \times 226{,}2$
$=$ $452{,}4$ m $^{2}$

3. Nombre de pots :

nombre $= \dfrac{452{,}4}{12}$
$\approx$ $37{,}7$

Aminata doit acheter 38 pots (on arrondit à l’entier supérieur : un pot entamé compte pour un pot).

4. Coût :

coût $= 38 \times 18\,500$
$=$ $703\,000$

La peinture coûtera 703 000 F CFA.

La maquette d’Élodie (Bruxelles). Élodie, étudiante en architecture, réalise la maquette d’une maison à l’échelle $\dfrac{1}{50}$ . La maison réelle mesure $12$ m de hauteur, sa façade vitrée a une aire de $90$ m $^{2}$ et son volume intérieur est de $450$ m $^{3}$ .

Quelle est la hauteur de la maquette, en centimètres ?
Quelle est l’aire de la façade vitrée de la maquette, en cm $^{2}$ ?
Quel est le volume intérieur de la maquette, en litres ?
Élodie affirme : « ma maquette est 50 fois plus petite, donc elle contient 50 fois moins d’air ». A-t-elle raison ?

Voir le corrigé détaillé

Le rapport de réduction est $k = \dfrac{1}{50}$ .

1. Les longueurs sont multipliées par $k$ :

hauteur $= 12 \times \dfrac{1}{50}$
$=$ $0{,}24$ m
$=$ $24$ cm

2. Les aires sont multipliées par $k^{2}$ :

$k^{2} = \dfrac{1}{2\,500}$
aire $= 90 \times \dfrac{1}{2\,500}$
$=$ $0{,}036$ m $^{2}$
$=$ $360$ cm $^{2}$ $1$ m $^{2} = 10\,000$ cm $^{2}$

3. Les volumes sont multipliés par $k^{3}$ :

$k^{3} = \dfrac{1}{125\,000}$
volume $= 450 \times \dfrac{1}{125\,000}$
$=$ $0{,}0036$ m $^{3}$
$=$ $3{,}6$ dm $^{3}$
$=$ $3{,}6$ L

4. Élodie se trompe. Ce sont les longueurs qui sont $50$ fois plus petites, pas les volumes.

rapport des volumes $= k^{3}$
$=$ $\dfrac{1}{125\,000}$

La maquette contient donc 125 000 fois moins d’air que la maison, et non $50$ fois moins.

Le réservoir de Kouadio (Abidjan). Kouadio installe un réservoir agricole en forme de tronc de cône. Ce tronc provient d’un cône de révolution de hauteur $6$ m et de rayon de base $2$ m, dont on a retiré le cône du haut, de hauteur $3$ m.

Figure 18 — Le réservoir tronconique :

3

m de haut, rayons

1

m et

2

Calcule le rapport de réduction $k$ du petit cône, puis son rayon.
Calcule le volume du grand cône, en valeur exacte.
Déduis-en le volume du réservoir, arrondi au centième de m $^{3}$ , puis en litres.
Une pompe débite $1\,200$ L par minute. En combien de temps le réservoir vide est-il rempli ? Donne le résultat en minutes et secondes.

Voir le corrigé détaillé

1. Le petit cône a une hauteur de $3$ m contre $6$ m pour le grand.

$k = \dfrac{3}{6}$
$=$ $\dfrac{1}{2}$
rayon du petit cône $= k \times 2$
$=$ $1$ m

2. Volume du grand cône :

$V = \dfrac{1}{3}\pi R^{2} h$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times \pi \times 2^{2} \times 6$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times \pi \times 24$
$=$ $8\pi$ m $^{3}$

3. Le réservoir est le grand cône privé du petit.

$V_{\text{petit}} = k^{3} \times 8\pi$
$=$ $\dfrac{1}{8} \times 8\pi$
$=$ $\pi$ m $^{3}$
$V_{\text{réservoir}} = 8\pi - \pi$
$=$ $7\pi$ m $^{3}$
$\approx$ $21{,}99$ m $^{3}$
$\approx$ $21\,990$ L

4. Durée de remplissage :

durée $= \dfrac{21\,990}{1\,200}$
$\approx$ $18{,}3$ min
$0{,}3 \times 60 \approx 18$ s

Le remplissage prend environ 18 minutes et 20 secondes.

Géométrie dans l'espace : sphère, sections et agrandissements

Ce que tu sauras faire à la fin

1Les solides usuels et leurs volumes

2La sphère et la boule

3Les sections planes

3.1 Section d’un pavé droit

3.2 Section d’un cylindre

3.3 Section d’un cône et d’une pyramide

3.4 Section d’une sphère par un plan

4Agrandissement et réduction

5Se repérer sur la sphère terrestre

Fiche mémo

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Identités remarquables et factorisation

Théorème de Thalès