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Physique quantique : photon et niveaux d'énergie

Introduire la quantification de l'énergie.

Physique Terminale Chapitre 11 / 11 ⏱ 9 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Exploiter la relation E = h·ν
  • Interpréter un diagramme de niveaux d'énergie
  • Expliquer un spectre de raies

Depuis la classe de Première, tu décris la lumière comme une onde électromagnétique : elle se diffracte, elle interfère, elle se polarise. Ce modèle explique à merveille sa propagation et ses couleurs. Et pourtant, au tout début du XXe siècle, une expérience toute simple — éclairer une plaque de métal et regarder si des électrons en sortent — met ce modèle en échec total. Pour comprendre ce qui se passe, il faut admettre que la lumière transporte son énergie par petits paquets indivisibles, les photons. C'est cette révolution, la physique quantique, que tu abordes dans ce dernier grand chapitre de ta Terminale.

Tu la côtoies chaque jour sans le savoir. Les panneaux solaires qui se multiplient au Sahel convertissent la lumière en électricité grâce à un effet photoélectrique. Les lampes à vapeur de sodium qui éclairent d'une lumière orangée les avenues de Dakar, ou les lampes à mercure plus blanches, n'émettent pas n'importe quelle couleur : elles obéissent à la structure interne, quantifiée, de leurs atomes. Un laser de lecteur de code-barres, un bistouri chirurgical, une liaison internet par fibre optique reposent sur le même principe. Et lorsqu'un astrophysicien affirme qu'une étoile, à des années-lumière, contient de l'hydrogène, c'est en lisant dans sa lumière la signature de ces mêmes niveaux d'énergie.

Ce qui change par rapport à tout ce que tu as étudié jusqu'ici : l'énergie n'est plus une grandeur continue, réglable à volonté. À l'échelle de l'atome, elle est quantifiée — elle ne peut prendre que certaines valeurs précises, comme les marches d'un escalier plutôt que la pente d'une rampe. Tu vas apprendre à exploiter la relation E=hνE = h\nu, à lire et interpréter un diagramme de niveaux d'énergie, et à expliquer pourquoi chaque élément chimique signe son passage par un spectre de raies qui lui est propre.

Comme toujours, rien ne tombera du ciel : chaque formule sera établie, chaque résultat numérique vérifié avec les unités du Système international. C'est un chapitre dense, très présent au baccalauréat — accroche-toi, il en vaut la peine.

1Effet photoélectrique

1.1  Découverte et description du phénomène

En 1887, l'Allemand Heinrich Hertz teste ses montages produisant des ondes électromagnétiques lorsqu'il remarque, presque par accident, qu'un éclairage ultraviolet facilite le déclenchement d'une étincelle entre deux électrodes. Ce phénomène est étudié plus systématiquement par Philipp Lenard à partir de 1899 : on l'appelle effet photoélectrique.

Définition

L'effet photoélectrique est l'émission d'électrons par un matériau — le plus souvent un métal — lorsqu'il est éclairé par une radiation électromagnétique de fréquence suffisamment élevée. Les électrons arrachés sont des photoélectrons.

Le montage d'étude comporte une cellule photoémissive : une ampoule sous vide poussé contenant deux électrodes, la cathode (le métal étudié, éclairé) et l'anode, reliées à un générateur de tension réglable UU et à un ampèremètre qui mesure le courant photoélectrique II.

Cellule photoémissive sous vide cathode anode lumière, fréquence ν hν e⁻ mA U tension réglable
Figure 1 — Montage d'étude de l'effet photoélectrique : cellule photoémissive sous vide, ampèremètre mesurant le courant II, générateur de tension réglable UU (utilisé pour déterminer le potentiel d'arrêt, section 3).

1.2  Trois résultats que le modèle ondulatoire ne peut pas expliquer

Dans le modèle ondulatoire, la lumière transporte une énergie répartie continûment sur le front d'onde ; plus l'intensité est grande, plus l'énergie apportée à chaque électron devrait être grande, quelle que soit la couleur. Or l'expérience livre trois résultats que ce modèle ne peut absolument pas expliquer.

Propriété — les trois lois de l'effet photoélectrique
  • Existence d'un seuil de fréquence ν0\nu_0 : pour un métal donné, aucun électron n'est émis si la fréquence ν\nu de la lumière incidente est inférieure à une valeur seuil ν0\nu_0, caractéristique du métal — et cela quelle que soit l'intensité lumineuse, même énorme.
  • Instantanéité : dès que ν⩾ν0\nu \geqslant \nu_0, l'émission des photoélectrons commence sans délai mesurable, même avec une lumière extrêmement faible.
  • Énergie cinétique indépendante de l'intensité : l'énergie cinétique maximale des photoélectrons ne dépend que de la fréquence ν\nu, jamais de l'intensité lumineuse. Augmenter l'intensité augmente uniquement le nombre d'électrons arrachés par seconde, donc le courant II, pas leur vitesse.
Attention

Piège classique du bac : ne confonds jamais intensité lumineuse (nombre de photons reçus par seconde) et fréquence (énergie de chaque photon). Une lumière rouge très intense — beaucoup de photons peu énergétiques — peut n'arracher aucun électron à un métal dont le seuil se situe dans le bleu, alors qu'une lumière bleue très faible — peu de photons, mais assez énergétiques chacun — en arrachera instantanément.

Physique & Co — Hertz, Lenard et une découverte presque involontaire

Heinrich Hertz, en 1887, cherche seulement à vérifier expérimentalement les ondes électromagnétiques prévues par Maxwell. Il remarque qu'un éclairage ultraviolet de ses électrodes facilite le passage de l'étincelle — mais ne poursuit pas cette piste. C'est Philipp Lenard, entre 1899 et 1902, qui isole soigneusement le phénomène et établit ses trois lois expérimentales, sans parvenir à les expliquer avec la théorie ondulatoire classique. Lenard reçoit le prix Nobel de physique en 1905 pour ces travaux — la même année où un obscur employé de bureau des brevets, à Berne, publie l'explication qui manquait.

Exemple — seuil et intensité

Une plaque de zinc, de fréquence seuil ν0=1,04×1015 Hz\nu_0 = 1{,}04 \times 10^{15}\ \text{Hz}, est éclairée successivement par une lampe UV (ν1=1,50×1015 Hz\nu_1 = 1{,}50 \times 10^{15}\ \text{Hz}) puis par une lampe verte très puissante (ν2=5,50×1014 Hz\nu_2 = 5{,}50 \times 10^{14}\ \text{Hz}).

  1. ν1=1,50×1015 Hz>ν0\nu_1 = 1{,}50 \times 10^{15}\ \text{Hz} > \nu_0seuil franchi
  2. ⇒\Rightarroweffet photoélectrique observé, quelle que soit la puissance de la lampe UV
  3. ν2=5,50×1014 Hz<ν0\nu_2 = 5{,}50 \times 10^{14}\ \text{Hz} < \nu_0seuil non atteint
  4. ⇒\Rightarrowaucun électron arraché, même en augmentant fortement la puissance de la lampe verte
Exemple — lecture d'une expérience

On double l'intensité lumineuse d'une lampe violette qui provoque déjà l'effet photoélectrique sur une cellule au césium. Que deviennent le courant II et l'énergie cinétique maximale Ec,max⁡E_{c,\max} des photoélectrons ?

Doubler l'intensité double le nombre de photons reçus par seconde, donc double le nombre d'électrons arrachés par seconde : le courant double, I′=2II' = 2I. La fréquence de la lumière, elle, n'a pas changé : Ec,max⁡E_{c,\max} reste strictement inchangée.

Comment expliquer un seuil aussi net, une réponse aussi instantanée ? La solution ne viendra pas d'un perfectionnement du modèle ondulatoire, mais de son abandon partiel — et elle vient, contre toute attente, d'un tout autre problème de physique.

2Photon et relation E=hνE = h\nu

2.1  L'hypothèse des quanta (Planck, 1900)

Les trois résultats du paragraphe précédent restent incompréhensibles tant que l'on s'obstine à voir la lumière comme une onde continue. La clé vient, en réalité, d'un problème tout différent : celui du rayonnement émis par un corps chauffé (le corps noir). Pour en rendre compte, Max Planck est contraint, en décembre 1900, de supposer que les échanges d'énergie entre matière et rayonnement ne se font pas continûment, mais par paquets, des quanta d'énergie E=hνE = h\nu, où hh est une nouvelle constante fondamentale.

Physique & Co — Un « acte de désespoir »

Max Planck qualifiera lui-même, bien plus tard, son hypothèse des quanta d'« acte de désespoir » : professeur rigoureusement classique, il ne cherchait au départ qu'une formule ajustant les données expérimentales du rayonnement du corps noir, sans croire à une signification physique réelle pour ce grain d'énergie hνh\nu. Présentée le 14 décembre 1900 devant la Société allemande de physique à Berlin, cette date est aujourd'hui considérée comme celle de la naissance de la physique quantique. Planck reçoit le prix Nobel de physique en 1918.

C'est Albert Einstein qui, en 1905, franchit le pas que Planck refusait de franchir : il propose que la lumière elle-même, et pas seulement les échanges d'énergie, est constituée de grains bien réels — les photons. Cette hypothèse audacieuse explique d'un seul coup les trois lois de l'effet photoélectrique.

2.2  Le photon d'Einstein : énergie et quantité de mouvement

Définition

Le photon est le grain, ou quantum, d'énergie lumineuse : le plus petit « paquet » d'énergie que peut transporter une radiation électromagnétique de fréquence ν\nu donnée. Un faisceau lumineux est un flux de photons.

Propriété — énergie et quantité de mouvement du photon

Pour une radiation de fréquence ν\nu et de longueur d'onde λ\lambda dans le vide (λ=c/ν\lambda = c/\nu), un photon transporte :

E=hν=hcλp=hλE = h\nu = \dfrac{hc}{\lambda} \qquad\qquad p = \dfrac{h}{\lambda}

avec h=6,63×10−34 J⋅sh = 6{,}63 \times 10^{-34}\ \text{J·s} (constante de Planck) et c=3,00×108 m⋅s−1c = 3{,}00 \times 10^{8}\ \text{m·s}^{-1}. L'énergie s'exprime en joules ; à l'échelle atomique on utilise plutôt l'électron-volt : 1 eV=1,60×10−19 J1\ \text{eV} = 1{,}60 \times 10^{-19}\ \text{J}.

Méthode — convertir directement une longueur d'onde en énergie

En combinant hh, cc et la conversion en eV : hc≈1243 eV⋅nmhc \approx 1243\ \text{eV·nm}. Si λ\lambda est exprimée en nanomètres :

E(eV)≈1243λ(nm)E(\text{eV}) \approx \dfrac{1243}{\lambda(\text{nm})}

C'est le calcul le plus fréquent de ce chapitre : entraîne-toi à le refaire de tête.

Exemple — énergie et quantité de mouvement d'un photon

Un pointeur laser vert émet à λ=532 nm\lambda = 532\ \text{nm}. Calculer l'énergie puis la quantité de mouvement d'un photon émis.

  1. E=hcλ=1243532E = \dfrac{hc}{\lambda} = \dfrac{1243}{532}astuce hc≈1243 eV⋅nmhc \approx 1243\ \text{eV·nm}
  2. ≈\approx2,34 eV2{,}34\ \text{eV}soit 3,74×10−19 J3{,}74 \times 10^{-19}\ \text{J}
  3. p=hλ=6,63×10−34532×10−9p = \dfrac{h}{\lambda} = \dfrac{6{,}63 \times 10^{-34}}{532 \times 10^{-9}}
  4. ≈\approx1,25×10−27 kg⋅m⋅s−11{,}25 \times 10^{-27}\ \text{kg·m·s}^{-1}
Exemple — comparer deux photons

Comparer l'énergie d'un photon X (λ=0,10 nm\lambda = 0{,}10\ \text{nm}) à celle d'un photon de lumière rouge (λ=700 nm\lambda = 700\ \text{nm}).

  1. EX=12430,10=12 430 eV≈12,4 keVE_X = \dfrac{1243}{0{,}10} = 12\,430\ \text{eV} \approx 12{,}4\ \text{keV}
  2. Erouge=1243700≈1,78 eVE_{\text{rouge}} = \dfrac{1243}{700} \approx 1{,}78\ \text{eV}
  3. ⇒\RightarrowEXErouge≈7 000\dfrac{E_X}{E_{\text{rouge}}} \approx 7\,000un photon X est des milliers de fois plus énergétique

2.3  Généralisation : la dualité onde-corpuscule (de Broglie, 1924)

Définition

Selon Louis de Broglie (1924), toute particule de matière de masse mm animée d'une vitesse vv est associée à une onde de matière de longueur d'onde :

λ=hmv\lambda = \dfrac{h}{mv}

C'est l'exacte généralisation, à toute particule, de la relation p=h/λp = h/\lambda du photon.

Cette hypothèse, d'abord purement théorique, est confirmée expérimentalement en 1927 par Clinton Davisson et Lester Germer : un faisceau d'électrons envoyé sur un cristal de nickel produit des figures de diffraction, exactement comme une onde lumineuse sur un réseau. Cette propriété ondulatoire des électrons est exploitée dans le microscope électronique : leur longueur d'onde, bien plus petite que celle de la lumière visible, offre un pouvoir de résolution considérablement amélioré.

Exemple — longueur d'onde d'un électron accéléré

Dans un microscope électronique, des électrons initialement immobiles sont accélérés par une tension U=150 VU = 150\ \text{V}. Calculer leur longueur d'onde de de Broglie (me=9,11×10−31 kgm_e = 9{,}11 \times 10^{-31}\ \text{kg}, e=1,60×10−19 Ce = 1{,}60 \times 10^{-19}\ \text{C}).

  1. eU=12mev2eU = \dfrac{1}{2}m_ev^{2}énergie cinétique acquise dans le champ accélérateur
  2. ⇒\Rightarrowv=2eUme=2×1,60×10−19×1509,11×10−31v = \sqrt{\dfrac{2eU}{m_e}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 1{,}60 \times 10^{-19} \times 150}{9{,}11 \times 10^{-31}}}
  3. ≈\approx7,26×106 m⋅s−17{,}26 \times 10^{6}\ \text{m·s}^{-1}
  4. λ=hmev=6,63×10−349,11×10−31×7,26×106\lambda = \dfrac{h}{m_ev} = \dfrac{6{,}63 \times 10^{-34}}{9{,}11 \times 10^{-31} \times 7{,}26 \times 10^{6}}
  5. ≈\approx1,00×10−10 m=100 pm1{,}00 \times 10^{-10}\ \text{m} = 100\ \text{pm}

Cette longueur d'onde est environ 5 0005\,000 fois plus petite que celle de la lumière visible (≈500 nm\approx 500\ \text{nm}) : voilà pourquoi un microscope électronique distingue des détails invisibles en optique classique.

La relation E=hνE = h\nu permet de classer tout le spectre électromagnétique par énergie de photon croissante :

DomaineLongueur d'onde λ\lambdaÉnergie d'un photon
Ondes radio>1 m> 1\ \text{m}<10−6 eV< 10^{-6}\ \text{eV}
Micro-ondes1 mm−1 m1\ \text{mm} - 1\ \text{m}10−6−10−3 eV10^{-6} - 10^{-3}\ \text{eV}
Infrarouge780 nm−1 mm780\ \text{nm} - 1\ \text{mm}10−3−1,6 eV10^{-3} - 1{,}6\ \text{eV}
Visible380−780 nm380 - 780\ \text{nm}1,6−3,3 eV1{,}6 - 3{,}3\ \text{eV}
Ultraviolet10−380 nm10 - 380\ \text{nm}3,3−124 eV3{,}3 - 124\ \text{eV}
Rayons X10 pm−10 nm10\ \text{pm} - 10\ \text{nm}124 eV−124 keV124\ \text{eV} - 124\ \text{keV}
Rayons γ\gamma<10 pm< 10\ \text{pm}>124 keV> 124\ \text{keV}

Photon et onde de matière en poche, tu es prêt à revenir à l'effet photoélectrique pour l'expliquer entièrement, chiffres à l'appui.

3Travail d'extraction et seuil

3.1  L'interprétation d'Einstein

Einstein postule qu'un photon cède toute son énergie hνh\nu à un unique électron — jamais une fraction. Une partie sert à l'arracher du métal ; le reste devient son énergie cinétique.

Définition

Le travail d'extraction W0W_0 d'un métal est l'énergie minimale pour arracher un électron sans lui laisser de vitesse ; il dépend uniquement du métal.

Démonstration — la relation d'Einstein

On applique la conservation de l'énergie à l'électron le plus faiblement lié — celui qui donnera les photoélectrons les plus rapides.

  1. énergie reçue =hν= h\nuun photon, un électron : postulat d'Einstein
  2. cette énergie se répartit en W0W_0 (extraction) et Ec,max⁡E_{c,\max} (énergie cinétique restante)
  3. ⇒\Rightarrowhν=W0+Ec,max⁡h\nu = W_0 + E_{c,\max}
  4. ⇒\RightarrowEc,max⁡=12mevmax⁡2=hν−W0E_{c,\max} = \dfrac{1}{2}m_ev_{\max}^{2} = h\nu - W_0

Cette égalité retrouve aussitôt les trois lois du paragraphe 1.2 : seuil (il faut hν⩾W0h\nu \geqslant W_0), instantanéité (un seul choc photon-électron), et Ec,max⁡E_{c,\max} indépendante de l'intensité, puisqu'elle ne dépend que de ν\nu. C.Q.F.D.

3.2  Fréquence seuil et potentiel d'arrêt

Propriété

Le seuil correspond à Ec,max⁡=0E_{c,\max}=0 :

ν0=W0hλ0=hcW0\nu_0 = \dfrac{W_0}{h} \qquad\qquad \lambda_0 = \dfrac{hc}{W_0}

Pour ν<ν0\nu < \nu_0, la relation d'Einstein donnerait Ec,max⁡<0E_{c,\max}<0 : impossible, donc aucune émission.

Exemple — fréquence et longueur d'onde seuil

Travail d'extraction du césium : W0=2,1 eVW_0 = 2{,}1\ \text{eV}. Calculer ν0\nu_0 et λ0\lambda_0.

  1. ν0=W0h=2,1×1,60×10−196,63×10−34\nu_0 = \dfrac{W_0}{h} = \dfrac{2{,}1 \times 1{,}60 \times 10^{-19}}{6{,}63 \times 10^{-34}}
  2. ≈\approx5,07×1014 Hz5{,}07 \times 10^{14}\ \text{Hz}
  3. λ0=12432,1\lambda_0 = \dfrac{1243}{2{,}1}
  4. ≈\approx592 nm592\ \text{nm}jaune-orangé : sensible à presque tout le visible
Définition

On ne mesure pas vmax⁡v_{\max} directement, mais le potentiel d'arrêt UsU_s : la tension de freinage annulant le courant II. Il vérifie eUs=Ec,max⁡eU_s = E_{c,\max}, soit :

eUs=hν−W0eU_s = h\nu - W_0

Attention

Piège : Ec,max⁡E_{c,\max} en électron-volts donne UsU_s en volts de même valeur numérique — définition de l'eV. Ne recopie pas cette égalité si Ec,max⁡E_{c,\max} est en joules !

Tracer Ec,max⁡E_{c,\max} en fonction de ν\nu donne une droite — la droite d'Einstein — de pente hh et d'ordonnée à l'origine −W0-W_0 : un formidable moyen de mesurer hh expérimentalement.

Ec,max (eV) ν (×10¹⁴ Hz) -2 -1 0 1 2 3 2 4 6 8 10 12 -W₀ ν₀ pente = h
Figure 2 — Droite d'Einstein Ec,max⁡=f(ν)E_{c,\max}=f(\nu) pour une cellule au césium (W0=2,1 eVW_0=2{,}1\ \text{eV}) : trait plein, zone physique ; pointillé, extrapolation donnant −W0-W_0 en ν=0\nu=0. Pente =h=h.
Exemple — lecture de la droite d'Einstein

Sur la figure 2, un point donne ν=7,5×1014 Hz\nu = 7{,}5 \times 10^{14}\ \text{Hz} et Ec,max⁡=1,01 eVE_{c,\max} = 1{,}01\ \text{eV}. Retrouver W0W_0 puis UsU_s.

  1. W0=hν−Ec,max⁡W_0 = h\nu - E_{c,\max}relation d'Einstein réarrangée
  2. ==4,14×10−15×7,5×1014−1,014{,}14 \times 10^{-15} \times 7{,}5 \times 10^{14} - 1{,}01
  3. ≈\approx3,11−1,01=2,10 eV3{,}11 - 1{,}01 = 2{,}10\ \text{eV}conforme à la valeur du césium
  4. Us=Ec,max⁡/e≈1,01 VU_s = E_{c,\max}/e \approx 1{,}01\ \text{V}même valeur numérique qu'en eV

3.3  L'expérience de Millikan

Physique & Co — Millikan voulait réfuter Einstein… et le confirme

Robert Millikan juge d'abord « téméraire » l'hypothèse du photon. Entre 1914 et 1916, il construit un dispositif d'une précision inédite pour la mettre en défaut — et obtient le résultat inverse : sa droite Ec,max⁡=f(ν)E_{c,\max}=f(\nu) est parfaitement linéaire, de pente hh conforme à celle de Planck à 0,5 %0{,}5\ \% près. Einstein reçoit le Nobel 1921 « pour ses travaux sur l'effet photoélectrique » — pas la relativité ! Millikan reçoit le sien en 1923.

3.4  Applications : cellules photoémissive et photovoltaïque

La cellule photoémissive de la figure 1 a longtemps servi de capteur avant d'être supplantée par les semi-conducteurs. La cellule photovoltaïque exploite un effet photoélectrique « interne » dans un semi-conducteur comme le silicium : un photon y arrache un électron sans qu'il quitte le matériau, créant un courant — principe des panneaux solaires du Sahel. Le silicium a une énergie de seuil Eg≈1,1 eVE_g \approx 1{,}1\ \text{eV} :

  1. λ0=1243Eg=12431,1\lambda_0 = \dfrac{1243}{E_g} = \dfrac{1243}{1{,}1}
  2. ≈\approx1 130 nm1\,130\ \text{nm}tout le visible solaire, et une partie de l'IR proche, produit donc du courant

4Niveaux d'énergie de l'atome

4.1  Quantification de l'énergie de l'atome

À l'échelle macroscopique, l'énergie d'un système lié peut prendre n'importe quelle valeur. Il n'en va pas de même pour l'atome : la spectroscopie y révèle un ensemble discret de valeurs.

Définition

L'énergie d'un atome est quantifiée : elle ne prend qu'un ensemble discret de valeurs E1<E2<E3<⋯<0E_1 < E_2 < E_3 < \dots < 0, les niveaux d'énergie, repérés par l'entier n⩾1n \geqslant 1 (nombre quantique principal). E1E_1 est l'état fondamental ; les EnE_n (n⩾2n \geqslant 2), des états excités. Par convention, l'électron infiniment éloigné et immobile a une énergie nulle : tout niveau lié est donc négatif — l'électron est lié ; plus nn est grand, moins il l'est.

4.2  L'atome d'hydrogène : la formule de Bohr

Propriété — niveaux d'énergie de l'hydrogène

Pour l'atome d'hydrogène (établie section 6) :

En=−13,6n2 eVn∈N∗E_n = -\dfrac{13{,}6}{n^{2}}\ \text{eV} \qquad n \in \mathbb{N}^{*}

nn123456∞\infty
EnE_n (eV)−13,6-13{,}6−3,4-3{,}4−1,51-1{,}51−0,85-0{,}85−0,54-0{,}54−0,38-0{,}3800
Définition

L'énergie d'ionisation EiE_i depuis EnE_n est l'énergie minimale pour amener l'électron jusqu'à E∞=0E_\infty = 0 :

Ei=E∞−En=−EnE_i = E_\infty - E_n = -E_n

Depuis le fondamental, Ei=13,6 eVE_i = 13{,}6\ \text{eV} ; depuis n=2n=2, seulement Ei=−E2=3,4 eVE_i = -E_2 = 3{,}4\ \text{eV} : un atome déjà excité s'ionise plus facilement.

4.3  Transitions : absorption et émission d'un photon

Propriété — interaction photon-atome

Un atome change de niveau en échangeant un photon d'énergie ΔE=hν=hc/λ\Delta E = h\nu = hc/\lambda : il monte en absorbant, descend en émettant.

ΔE = hν = Eₙ − Eₚ Eₙ Eₚ absorption émission
Figure 3 — Un atome change de niveau en échangeant un photon d'énergie ΔE=En−Ep\Delta E = E_n - E_p : il absorbe pour monter, il émet pour descendre.
Attention

Piège fréquent : en absorption, ΔE\Delta E = arrivée moins départ, toujours positif. En émission, prends ∣Efinal−Einitial∣|E_{\text{final}} - E_{\text{initial}}|.

Exemple — une absorption, une émission

a) Un atome d'hydrogène en n=2n=2 absorbe un photon et passe en n=5n=5.

  1. ΔE=E5−E2=−0,54−(−3,4)\Delta E = E_5 - E_2 = -0{,}54 - (-3{,}4)
  2. ==2,86 eV2{,}86\ \text{eV}
  3. λ=12432,86\lambda = \dfrac{1243}{2{,}86}
  4. ≈\approx435 nm435\ \text{nm}visible, bleu-violet

b) Un atome excité en n=3n=3 se désexcite vers l'état fondamental.

  1. ΔE=∣E1−E3∣=∣−13,6−(−1,51)∣\Delta E = |E_1 - E_3| = |-13{,}6 - (-1{,}51)|
  2. ==12,09 eV12{,}09\ \text{eV}
  3. λ=124312,09\lambda = \dfrac{1243}{12{,}09}
  4. ≈\approx102,8 nm102{,}8\ \text{nm}UV : raie de la série de Lyman

4.4  Diagramme des niveaux et des séries de transitions

Les transitions aboutissant à un même niveau bas forment une série, du nom de son découvreur : Lyman (→n=1\to n=1, UV), Balmer (→n=2\to n=2, en partie visible), Paschen (→n=3\to n=3, IR).

n → ∞ (ionisation), E = 0 n=4 −0,85 eV n=3 −1,51 eV n=2 −3,4 eV n=1 −13,6 eV (fondamental) Lyman 121,9 nm Hα 658 nm Hβ 488 nm Paschen 1880 nm
Figure 4 — Niveaux n=1n=1 à 44 de l'hydrogène et quelques transitions : Lyman (UV), Balmer HαH_\alpha/HβH_\beta (visible), Paschen (IR). Échelle verticale resserrée au-delà de n=4n=4 pour la lisibilité.

5Spectres d'émission et d'absorption

5.1  Spectres de raies : origine et définitions

Définition

Un spectre d'émission est l'ensemble des radiations émises par une source ; un spectre d'absorption, celles absorbées par une substance traversée de lumière blanche. Des radiations en nombre discret forment un spectre de raies, propre à chaque élément.

5.2  Démonstration de la formule de Balmer-Rydberg

Démonstration — de EnE_n à la formule de Balmer-Rydberg

Soit une transition Ep→EnE_p \to E_n avec n>pn>p : le photon échangé vérifie hc/λ=En−Ephc/\lambda = E_n - E_p.

  1. hcλ=−13,6n2−(−13,6p2)\dfrac{hc}{\lambda} = -\dfrac{13{,}6}{n^{2}} - \left(-\dfrac{13{,}6}{p^{2}}\right)
  2. ==13,6(1p2−1n2) eV13{,}6\left(\dfrac{1}{p^{2}} - \dfrac{1}{n^{2}}\right)\ \text{eV}
  3. ⇒\Rightarrow1λ=13,6 eVhc(1p2−1n2)\dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{13{,}6\ \text{eV}}{hc}\left(\dfrac{1}{p^{2}} - \dfrac{1}{n^{2}}\right)

Ce facteur, indépendant de nn et pp, est la constante de Rydberg RHR_H :

  1. RH=13,6×1,60×10−196,63×10−34×3,00×108R_H = \dfrac{13{,}6 \times 1{,}60 \times 10^{-19}}{6{,}63 \times 10^{-34} \times 3{,}00 \times 10^{8}}
  2. ≈\approx1,09×107 m−11{,}09 \times 10^{7}\ \text{m}^{-1}très bon accord avec la valeur mesurée RH≈1,097×107 m−1R_H \approx 1{,}097 \times 10^{7}\ \text{m}^{-1}

D'où la formule de Balmer-Rydberg :

1λ=RH(1p2−1n2)n>p, (n,p)∈N∗2\dfrac{1}{\lambda} = R_H\left(\dfrac{1}{p^{2}} - \dfrac{1}{n^{2}}\right) \qquad n>p,\ (n,p)\in \mathbb{N}^{*2}

C.Q.F.D. L'écart avec la valeur mesurée vient des arrondis sur hh, cc, ee. En pratique, on repart directement de ΔE=13,6(1/p2−1/n2)\Delta E = 13{,}6(1/p^{2}-1/n^{2}) eV puis λ(nm)≈1243/ΔE\lambda(\text{nm}) \approx 1243/\Delta E.

5.3  Les séries spectrales de l'hydrogène

SérieppTransitionλ\lambdaDomaine
Lyman12→12\to1121,9 nm121{,}9\ \text{nm}UV
Balmer HαH_\alpha23→23\to2658,1 nm658{,}1\ \text{nm}rouge
Balmer HβH_\beta24→24\to2487,5 nm487{,}5\ \text{nm}bleu-vert
Balmer HγH_\gamma25→25\to2435,3 nm435{,}3\ \text{nm}bleu
Balmer HδH_\delta26→26\to2411,3 nm411{,}3\ \text{nm}violet
Paschen34→34\to31 880 nm1\,880\ \text{nm}IR
Hδ 411 nm Hα 658 nm Hγ 435 nm Hβ 488 nm 400 450 500 550 600 650 700 λ (nm)
Figure 5 — Raies de Balmer, à l'échelle en longueur d'onde : en haut, spectre d'émission (raies brillantes sur fond noir) ; en bas, spectre d'absorption (raies sombres sur fond continu), comme dans la lumière d'une étoile.
Exemple — deux raies, deux séries

a) HαH_\alpha de Balmer (n=3→p=2n=3\to p=2) :

  1. ΔE=13,6(122−132)=13,6×536≈1,889 eV\Delta E = 13{,}6\left(\dfrac{1}{2^{2}} - \dfrac{1}{3^{2}}\right) = 13{,}6 \times \dfrac{5}{36} \approx 1{,}889\ \text{eV}
  2. λ=12431,889\lambda = \dfrac{1243}{1{,}889}
  3. ≈\approx658 nm658\ \text{nm}rouge, proche de la valeur tabulée 656,3 nm656{,}3\ \text{nm}

b) première raie de Lyman (n=2→p=1n=2\to p=1) :

  1. ΔE=13,6(1−14)=10,2 eV\Delta E = 13{,}6\left(1 - \dfrac{1}{4}\right) = 10{,}2\ \text{eV}
  2. λ=124310,2\lambda = \dfrac{1243}{10{,}2}
  3. ≈\approx121,9 nm121{,}9\ \text{nm}UV lointain, absorbé par l'atmosphère

5.4  Applications : analyse spectrale des étoiles et lampes spectrales

Le même principe permet l'analyse spectrale des étoiles : le cœur chaud d'une étoile émet un spectre continu, qui traverse ensuite les couches plus froides de son atmosphère. Ces atomes y absorbent exactement les longueurs d'onde qu'ils seraient capables d'émettre, creusant des raies sombres dans le spectre continu. En comparant leur position à celles de l'hydrogène connues en laboratoire, les astrophysiciens déterminent la composition d'astres situés à des années-lumière.

Plus près de nous, les lampes des avenues de Dakar illustrent la même physique. Les lampes à vapeur de sodium émettent une lumière quasi monochromatique sur le doublet jaune-orangé du sodium (589 nm589\ \text{nm}, E≈2,11 eVE \approx 2{,}11\ \text{eV}). Les lampes à vapeur de mercure émettent plusieurs raies dans le visible (violet 405405, bleu 436436, vert 546 nm546\ \text{nm}…), d'où une lumière blanc-bleuté différente.

Reste à comprendre d'où sort la formule En=−13,6/n2E_n = -13{,}6/n^2 : c'est l'objet du modèle de Bohr, section suivante.

6Modèle de Bohr

6.1  Une catastrophe classique

En 1911, Rutherford propose un atome « planétaire » : un noyau minuscule, des électrons en orbite. Problème : en électromagnétisme classique, toute charge accélérée rayonne de l'énergie. Un électron en orbite circulaire devrait donc perdre continûment de l'énergie, spiraler vers le noyau et s'y écraser en 10−11 s10^{-11}\ \text{s}. Aucun atome ne devrait exister plus d'un clin d'œil.

Physique & Co — Bohr sauve l'atome (1913)

Travaillant dans le laboratoire de Rutherford à Manchester, le Danois Niels Bohr publie en 1913 un modèle qui tranche avec la physique classique : certaines orbites, dites stationnaires, échappent à la règle du rayonnement. Rien ne le justifie sinon l'accord avec les raies spectrales observées. Onze ans plus tard, en 1924, le Français Louis de Broglie proposera, dans sa thèse, une image qui rend ce postulat intuitif (§6.4). Bohr reçoit le Nobel en 1922, de Broglie en 1929.

6.2  Les postulats de Bohr

Définition — postulats de Bohr

1. L'électron décrit une orbite circulaire stationnaire autour du noyau, sans rayonner. 2. Seules sont permises les orbites où le moment cinétique est quantifié :

L=mevnrn=nh2πn∈N∗L = m_ev_nr_n = n\dfrac{h}{2\pi} \qquad n \in \mathbb{N}^{*}

6.3  Démonstration : calcul de rnr_n et EnE_n

Démonstration

L'attraction coulombienne noyau-électron joue le rôle de force centripète :

  1. ke2rn2=mevn2rn\dfrac{ke^{2}}{r_n^{2}} = \dfrac{m_ev_n^{2}}{r_n}Coulomb = centripète
  2. ⇒\Rightarrowvn2=ke2mernv_n^{2} = \dfrac{ke^{2}}{m_er_n}

Le postulat de quantification donne vn=nh2πmernv_n = \dfrac{nh}{2\pi m_er_n}. En reportant :

  1. (nh2πmern)2=ke2mern\left(\dfrac{nh}{2\pi m_er_n}\right)^{2} = \dfrac{ke^{2}}{m_er_n}
  2. ⇒\Rightarrowrn=n2h24π2kmee2=n2a0r_n = \dfrac{n^{2}h^{2}}{4\pi^{2}km_ee^{2}} = n^{2}a_0a0a_0 : rayon de Bohr

L'énergie mécanique vaut En=12mevn2−ke2rnE_n = \tfrac{1}{2}m_ev_n^{2} - \dfrac{ke^{2}}{r_n} ; or 12mevn2=ke22rn\tfrac{1}{2}m_ev_n^{2} = \dfrac{ke^{2}}{2r_n} d'après la première relation :

  1. En=ke22rn−ke2rn=−ke22rnE_n = \dfrac{ke^{2}}{2r_n} - \dfrac{ke^{2}}{r_n} = -\dfrac{ke^{2}}{2r_n}
  2. ⇒\RightarrowEn=−ke22a0×1n2E_n = -\dfrac{ke^{2}}{2a_0}\times\dfrac{1}{n^{2}}

Numériquement, avec k=9,0×109 N⋅m2⋅C−2k=9{,}0\times10^{9}\ \text{N·m}^2\text{·C}^{-2}, e=1,60×10−19 Ce=1{,}60\times10^{-19}\ \text{C}, me=9,11×10−31 kgm_e=9{,}11\times10^{-31}\ \text{kg}, h=6,63×10−34 J⋅sh=6{,}63\times10^{-34}\ \text{J·s} :

  1. a0≈5,30×10−11 m=53,0 pma_0 \approx 5{,}30 \times 10^{-11}\ \text{m} = 53{,}0\ \text{pm}valeur mesurée : 52,9 pm52{,}9\ \text{pm}
  2. E1=−ke22a0≈−13,6 eVE_1 = -\dfrac{ke^{2}}{2a_0} \approx -13{,}6\ \text{eV}

On retrouve exactement En=−13,6/n2 eVE_n = -13{,}6/n^{2}\ \text{eV}, annoncée section 4. C.Q.F.D.

noyau r₁ r₂ r₃ n=1 r₁=a₀≈53 pm v₁≈2,18×10⁶ m·s⁻¹ n=2 r₂=4a₀≈212 pm v₂≈1,09×10⁶ m·s⁻¹ n=3 r₃=9a₀≈477 pm v₃≈0,73×10⁶ m·s⁻¹
Figure 6 — Modèle de Bohr : trois premières orbites de l'hydrogène (schéma, hors échelle) — rayons rn=n2a0r_n=n^2a_0, vitesses vn=v1/nv_n=v_1/n.
Exemple — rayon et vitesse en n=2n=2

Calculer r2r_2 et v2v_2 pour l'hydrogène.

  1. r2=22a0=4×53,0r_2 = 2^{2}a_0 = 4 \times 53{,}0
  2. ≈\approx212 pm212\ \text{pm}
  3. v2=v12=2,18×1062v_2 = \dfrac{v_1}{2} = \dfrac{2{,}18 \times 10^{6}}{2}
  4. ≈\approx1,09×106 m⋅s−11{,}09 \times 10^{6}\ \text{m·s}^{-1}vn∝1/nv_n \propto 1/n, car mevnrn=nh/2πm_ev_nr_n=nh/2\pi et rn∝n2r_n\propto n^2
Exemple — l'électron va-t-il « vite » ?

Comparer v1≈2,18×106 m⋅s−1v_1 \approx 2{,}18 \times 10^{6}\ \text{m·s}^{-1} à la vitesse de la lumière.

  1. v1c=2,18×1063,00×108\dfrac{v_1}{c} = \dfrac{2{,}18 \times 10^{6}}{3{,}00 \times 10^{8}}
  2. ≈\approx7,3×10−37{,}3 \times 10^{-3}moins de 1 %1\ \% de cc : les effets relativistes restent négligeables

6.4  Justification a posteriori : l'onde de de Broglie

Le postulat de quantification paraît arbitraire — jusqu'à ce que de Broglie propose d'associer à l'électron une onde de longueur λn=h/(mevn)\lambda_n = h/(m_ev_n). Une orbite n'est stable que si cette onde s'y referme sur elle-même sans se détruire par interférence : sa circonférence doit contenir un nombre entier de longueurs d'onde.

  1. 2πrn=nλn=nhmevn2\pi r_n = n\lambda_n = n\dfrac{h}{m_ev_n}onde stationnaire sur l'orbite
  2. ⇒\Rightarrowmevnrn=nh2πm_ev_nr_n = n\dfrac{h}{2\pi}exactement le postulat de Bohr !

L'électron n'est donc pas une simple bille en orbite : c'est une onde qui doit « boucler » sur elle-même — une image qui rend la quantification presque évidente.

6.5  Limites du modèle

Attention

Le modèle de Bohr ne fonctionne rigoureusement que pour l'hydrogène et les ions hydrogénoïdes (un seul électron : He+\text{He}^+, Li2+\text{Li}^{2+}…). Il échoue pour les atomes à plusieurs électrons, en interaction. La mécanique quantique complète, développée par Schrödinger en 1926, prendra le relais.

7Laser

7.1  Émission spontanée et émission stimulée

Définition

Un atome excité se désexcite spontanément après une durée de vie moyenne, en émettant un photon de direction et de phase aléatoires : c'est l'émission spontanée. Mais si un photon d'énergie hν=En−Eph\nu = E_n-E_p le frappe avant cette désexcitation naturelle, il déclenche l'émission d'un second photon rigoureusement identique au premier — même énergie, même direction, même phase : c'est l'émission stimulée.

Physique & Co — d'une prédiction théorique au premier laser

Einstein prédit l'émission stimulée dès 1917, par un raisonnement de thermodynamique statistique, sans aucun dispositif en tête. Il faut attendre Theodore Maiman, en 1960, pour construire le premier LASER (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) : un cristal de rubis émettant à 694,3 nm694{,}3\ \text{nm}. Charles Townes, Nikolaï Bassov et Alexandre Prokhorov, inventeurs du maser (l'équivalent micro-ondes, 1954), reçoivent le Nobel 1964 pour en avoir posé les bases théoriques.

7.2  Inversion de population et cavité résonante

Pour qu'un photon ait plus de chances de déclencher une émission stimulée que d'être simplement absorbé, il faut que le milieu compte plus d'atomes excités qu'au repos — une inversion de population, obtenue en « pompant » le milieu. Ce milieu est placé dans une cavité résonante : deux miroirs, l'un total, l'autre partiellement réfléchissant, entre lesquels les photons font l'aller-retour en déclenchant une cascade d'émissions stimulées identiques.

Propriété — lumière laser

Contrairement à une lampe classique, la lumière laser est monochromatique (une seule longueur d'onde), cohérente (photons en phase) et directive (faisceau très peu divergent).

7.3  Applications

Télécommunications par fibre optique, chirurgie de précision (LASIK, bistouri laser), découpe et soudure industrielles, lecteurs de codes-barres et de disques optiques, télémétrie : la cohérence et la directivité du faisceau en font un outil universel dès qu'il faut concentrer de l'énergie lumineuse avec précision.

Exemple — photon d'un laser hélium-néon

Un laser He-Ne émet à λ=632,8 nm\lambda = 632{,}8\ \text{nm}. Énergie d'un photon ?

  1. E=1243632,8E = \dfrac{1243}{632{,}8}
  2. ≈\approx1,96 eV≈3,14×10−19 J1{,}96\ \text{eV} \approx 3{,}14 \times 10^{-19}\ \text{J}
Exemple — combien de photons par seconde ?

Un pointeur laser de puissance P=1,0 mWP = 1{,}0\ \text{mW} émet à λ=650 nm\lambda = 650\ \text{nm}. Combien de photons émet-il chaque seconde ?

  1. Ephoton=1243650≈1,91 eV≈3,06×10−19 JE_{\text{photon}} = \dfrac{1243}{650} \approx 1{,}91\ \text{eV} \approx 3{,}06 \times 10^{-19}\ \text{J}
  2. N=PEphoton=1,0×10−33,06×10−19N = \dfrac{P}{E_{\text{photon}}} = \dfrac{1{,}0 \times 10^{-3}}{3{,}06 \times 10^{-19}}
  3. ≈\approx3,3×1015 photons/s3{,}3 \times 10^{15}\ \text{photons/s}un nombre proprement astronomique

Fiche mémo

  • Photon : E=hν=hc/λE = h\nu = hc/\lambda, p=h/λp = h/\lambda ; astuce hc≈1243 eV⋅nmhc \approx 1243\ \text{eV·nm}.
  • de Broglie (toute particule) : λ=h/(mv)\lambda = h/(mv).
  • Effet photoélectrique (Einstein) : Ec,max⁡=hν−W0E_{c,\max} = h\nu - W_0, seuil ν0=W0/h\nu_0 = W_0/h.
  • Potentiel d'arrêt : eUs=Ec,max⁡eU_s = E_{c,\max} (même valeur numérique en eV et en V).
  • Niveaux de l'hydrogène : En=−13,6/n2 eVE_n = -13{,}6/n^{2}\ \text{eV} ; ionisation Ei=−EnE_i = -E_n.
  • Transition : ΔE=hν=∣En−Ep∣\Delta E = h\nu = |E_n - E_p| — absorption : bas →\to haut ; émission : haut →\to bas.
  • Balmer-Rydberg : 1/λ=RH(1/p2−1/n2)1/\lambda = R_H(1/p^{2} - 1/n^{2}), RH≈1,09×107 m−1R_H \approx 1{,}09 \times 10^{7}\ \text{m}^{-1}.
  • Séries : Lyman (p=1p=1, UV), Balmer (p=2p=2, visible), Paschen (p=3p=3, IR).
  • Bohr : mevr=nh/2π⇒rn=n2a0m_evr = nh/2\pi \Rightarrow r_n = n^{2}a_0 (a0≈53 pma_0 \approx 53\ \text{pm}), En=E1/n2E_n = E_1/n^{2}.
  • Laser : émission stimulée, inversion de population, cavité résonante ⇒\Rightarrow lumière monochromatique, cohérente, directive.
  • Constantes : h=6,63×10−34 J⋅sh = 6{,}63 \times 10^{-34}\ \text{J·s} ; c=3,00×108 m⋅s−1c = 3{,}00 \times 10^{8}\ \text{m·s}^{-1} ; 1 eV=1,60×10−19 J1\ \text{eV} = 1{,}60 \times 10^{-19}\ \text{J}.

8Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Une diode laser émet une lumière violette de longueur d'onde λ=450 nm\lambda = 450\ \text{nm}. Calculer l'énergie d'un photon émis, en eV puis en joules.

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  1. E=hcλ=1243450E = \dfrac{hc}{\lambda} = \dfrac{1243}{450}astuce hc≈1243 eV⋅nmhc \approx 1243\ \text{eV·nm}
  2. ≈\approx2,76 eV2{,}76\ \text{eV}
  3. E=2,76×1,60×10−19E = 2{,}76 \times 1{,}60 \times 10^{-19}
  4. ≈\approx4,42×10−19 J4{,}42 \times 10^{-19}\ \text{J}
2

Le travail d'extraction du zinc vaut W0=4,3 eVW_0 = 4{,}3\ \text{eV}. Calculer la fréquence seuil ν0\nu_0 puis la longueur d'onde seuil λ0\lambda_0.

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  1. ν0=W0h=4,3×1,60×10−196,63×10−34\nu_0 = \dfrac{W_0}{h} = \dfrac{4{,}3 \times 1{,}60 \times 10^{-19}}{6{,}63 \times 10^{-34}}
  2. ≈\approx1,04×1015 Hz1{,}04 \times 10^{15}\ \text{Hz}
  3. λ0=1243W0=12434,3\lambda_0 = \dfrac{1243}{W_0} = \dfrac{1243}{4{,}3}
  4. ≈\approx289 nm289\ \text{nm}ultraviolet : le visible seul ne suffit pas à extraire un électron du zinc
3

Le tableau du cours (§4.2) s'arrête à n=6n=6. Calculer E7E_7 et E8E_8, et vérifier qu'ils se rapprochent bien de la limite d'ionisation.

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  1. E7=−13,672=−13,649E_7 = -\dfrac{13{,}6}{7^{2}} = -\dfrac{13{,}6}{49}
  2. ≈\approx−0,28 eV-0{,}28\ \text{eV}
  3. E8=−13,682=−13,664E_8 = -\dfrac{13{,}6}{8^{2}} = -\dfrac{13{,}6}{64}
  4. ≈\approx−0,21 eV-0{,}21\ \text{eV}

∣E7∣<∣E6∣|E_7| < |E_6| et ∣E8∣<∣E7∣|E_8| < |E_7| : les niveaux se resserrent et tendent bien vers E∞=0E_\infty = 0, la limite d'ionisation.

4

Un atome d'hydrogène, initialement dans l'état n=3n=3, passe au niveau n=5n=5. a) S'agit-il d'une émission ou d'une absorption de photon ? b) Calculer ΔE\Delta E puis λ\lambda. c) Dans quel domaine se situe ce rayonnement ?

Voir le corrigé détaillé

a) nn augmente (3→5)(3\to5) : l'atome gagne de l'énergie, c'est une absorption.

  1. ΔE=13,6(132−152)\Delta E = 13{,}6\left(\dfrac{1}{3^{2}} - \dfrac{1}{5^{2}}\right)
  2. ≈\approx0,97 eV0{,}97\ \text{eV}
  3. λ=12430,97\lambda = \dfrac{1243}{0{,}97}
  4. ≈\approx1 285 nm1\,285\ \text{nm}

c) Cette longueur d'onde est dans l'infrarouge ; en émission (5→3)(5\to3), cette raie appartiendrait à la série de Paschen (→n=3\to n=3).

5

Des électrons, initialement immobiles, sont accélérés sous une tension U=200 VU = 200\ \text{V}. Calculer leur longueur d'onde de de Broglie.

Voir le corrigé détaillé
  1. v=2eUme=2×1,60×10−19×2009,11×10−31v = \sqrt{\dfrac{2eU}{m_e}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 1{,}60 \times 10^{-19} \times 200}{9{,}11 \times 10^{-31}}}
  2. ≈\approx8,38×106 m⋅s−18{,}38 \times 10^{6}\ \text{m·s}^{-1}
  3. λ=hmev=6,63×10−349,11×10−31×8,38×106\lambda = \dfrac{h}{m_ev} = \dfrac{6{,}63 \times 10^{-34}}{9{,}11 \times 10^{-31} \times 8{,}38 \times 10^{6}}
  4. ≈\approx86,8 pm86{,}8\ \text{pm}
Niveau 2 — Approfondissement
6

Une cellule photoélectrique au sodium (W0=2,3 eVW_0 = 2{,}3\ \text{eV}) reçoit une lumière de longueur d'onde λ=400 nm\lambda = 400\ \text{nm}. Calculer l'énergie cinétique maximale Ec,max⁡E_{c,\max} des électrons émis, leur vitesse maximale vmax⁡v_{\max}, et le potentiel d'arrêt UsU_s.

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  1. Ephoton=1243400≈3,11 eVE_{\text{photon}} = \dfrac{1243}{400} \approx 3{,}11\ \text{eV}
  2. Ec,max⁡=Ephoton−W0=3,11−2,3E_{c,\max} = E_{\text{photon}} - W_0 = 3{,}11 - 2{,}3
  3. ≈\approx0,81 eV≈1,30×10−19 J0{,}81\ \text{eV} \approx 1{,}30 \times 10^{-19}\ \text{J}
  4. vmax⁡=2Ec,max⁡me=2×1,30×10−199,11×10−31v_{\max} = \sqrt{\dfrac{2E_{c,\max}}{m_e}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 1{,}30 \times 10^{-19}}{9{,}11 \times 10^{-31}}}
  5. ≈\approx5,33×105 m⋅s−15{,}33 \times 10^{5}\ \text{m·s}^{-1}
  6. Us=Ec,max⁡U_s = E_{c,\max}même valeur numérique en eV et en V
  7. ≈\approx0,81 V0{,}81\ \text{V}
7

Calculer la longueur d'onde puis la quantité de mouvement du photon émis lors de la transition n=7→n=2n=7 \to n=2. À quelle série et quel domaine spectral appartient cette raie ?

Voir le corrigé détaillé
  1. ΔE=13,6(122−172)\Delta E = 13{,}6\left(\dfrac{1}{2^{2}} - \dfrac{1}{7^{2}}\right)
  2. ≈\approx3,12 eV3{,}12\ \text{eV}
  3. λ=12433,12\lambda = \dfrac{1243}{3{,}12}
  4. ≈\approx398 nm398\ \text{nm}
  5. p=hλ=6,63×10−34398×10−9p = \dfrac{h}{\lambda} = \dfrac{6{,}63 \times 10^{-34}}{398 \times 10^{-9}}
  6. ≈\approx1,67×10−27 kg⋅m⋅s−11{,}67 \times 10^{-27}\ \text{kg·m·s}^{-1}

Cette raie appartient à la série de Balmer (→n=2\to n=2) ; à 398 nm398\ \text{nm}, elle se situe à la limite du visible et du proche ultraviolet.

8

Une raie infrarouge de la série de Paschen (p=3p=3) est mesurée à λ≈1 097 nm\lambda \approx 1\,097\ \text{nm}. Déterminer le niveau nn d'où provient l'électron.

Voir le corrigé détaillé
  1. ΔE=12431 097\Delta E = \dfrac{1243}{1\,097}
  2. ≈\approx1,133 eV1{,}133\ \text{eV}
  3. ΔE=13,6(132−1n2)⇒1n2=19−1,13313,6\Delta E = 13{,}6\left(\dfrac{1}{3^{2}} - \dfrac{1}{n^{2}}\right) \Rightarrow \dfrac{1}{n^{2}} = \dfrac{1}{9} - \dfrac{1{,}133}{13{,}6}
  4. ≈\approx0,02780{,}0278
  5. ⇒\Rightarrown2≈36n^{2} \approx 36nn entier
  6. ⇒\Rightarrown=6n = 6
9

Dans l'exemple du §2.3, des électrons accélérés sous U=150 VU = 150\ \text{V} ont une longueur d'onde de de Broglie λ≈100 pm\lambda \approx 100\ \text{pm}. a) Quelle serait l'énergie d'un photon de cette même longueur d'onde ? b) Comparer à l'énergie cinétique des électrons, et conclure sur ce qui protège l'échantillon observé au microscope électronique.

Voir le corrigé détaillé

a)

  1. Ephoton=12430,100E_{\text{photon}} = \dfrac{1243}{0{,}100}λ=100 pm=0,100 nm\lambda = 100\ \text{pm} = 0{,}100\ \text{nm}
  2. ≈\approx12 430 eV≈12,4 keV12\,430\ \text{eV} \approx 12{,}4\ \text{keV}un rayon X

b) Les électrons ont été accélérés sous 150 V150\ \text{V}, donc Ec=eU=150 eVE_c = eU = 150\ \text{eV} exactement.

  1. EphotonEc=12 430150\dfrac{E_{\text{photon}}}{E_c} = \dfrac{12\,430}{150}
  2. ≈\approx8383

À longueur d'onde égale, le photon est environ 83 fois plus énergétique que l'électron : voilà pourquoi le microscope électronique atteint une très haute résolution sans bombarder l'échantillon de rayons X destructeurs.

Niveau 3 — Type bac
10

On étudie l'effet photoélectrique sur la cathode d'une cellule au métal inconnu. Pour différentes fréquences ν\nu de la lumière incidente, on mesure le potentiel d'arrêt UsU_s :

ν\nu (Hz)1,20×10151{,}20\times10^{15}1,40×10151{,}40\times10^{15}1,60×10151{,}60\times10^{15}
UsU_s (V)0,670{,}671,501{,}502,332{,}33
  1. Rappeler la relation entre UsU_s, ν\nu, hh, ee et W0W_0.
  2. Montrer qu'elle permet de déterminer hh à partir de deux mesures, et calculer sa valeur.
  3. En déduire le travail d'extraction W0W_0 du métal, puis l'identifier parmi : césium 2,1 eV2{,}1\ \text{eV}, sodium 2,3 eV2{,}3\ \text{eV}, zinc 4,3 eV4{,}3\ \text{eV}.
Voir le corrigé détaillé

1. La relation d'Einstein eUs=hν−W0eU_s = h\nu - W_0 se réécrit :

Us=he ν−W0eU_s = \dfrac{h}{e}\,\nu - \dfrac{W_0}{e}

C'est une droite en ν\nu, de pente h/eh/e et d'ordonnée à l'origine −W0/e-W_0/e.

2. Entre les points extrêmes :

  1. he=Us3−Us1ν3−ν1=2,33−0,671,60×1015−1,20×1015\dfrac{h}{e} = \dfrac{U_{s3}-U_{s1}}{\nu_3-\nu_1} = \dfrac{2{,}33-0{,}67}{1{,}60\times10^{15}-1{,}20\times10^{15}}
  2. ≈\approx4,15×10−15 V⋅s4{,}15 \times 10^{-15}\ \text{V·s}
  3. h=4,15×10−15×1,60×10−19h = 4{,}15 \times 10^{-15} \times 1{,}60 \times 10^{-19}
  4. ≈\approx6,64×10−34 J⋅s6{,}64 \times 10^{-34}\ \text{J·s}conforme (écart <1 %<1\ \%) à la valeur du cours

3.

  1. W0e=he ν1−Us1=4,15×10−15×1,20×1015−0,67\dfrac{W_0}{e} = \dfrac{h}{e}\,\nu_1 - U_{s1} = 4{,}15\times10^{-15} \times 1{,}20\times10^{15} - 0{,}67
  2. ≈\approx4,31 eV4{,}31\ \text{eV}

Cette valeur correspond au zinc (4,3 eV4{,}3\ \text{eV}).

11

Un atome d'hydrogène est dans l'état excité n=4n=4.

  1. Calculer l'énergie qu'il faudrait lui fournir pour l'ioniser depuis cet état.
  2. Il se désexcite directement vers l'état fondamental en émettant un unique photon. Calculer l'énergie puis la longueur d'onde de ce photon ; préciser le domaine spectral et la série concernée.
  3. Cette désexcitation peut aussi se dérouler en deux temps, n=4→n=2n=4\to n=2 puis n=2→n=1n=2\to n=1. Calculer les longueurs d'onde des deux photons alors émis, et vérifier la cohérence énergétique avec la question 2.
Voir le corrigé détaillé

1. E4=−13,6/42=−0,85 eVE_4 = -13{,}6/4^{2} = -0{,}85\ \text{eV}, donc Ei=−E4≈0,85 eVE_i = -E_4 \approx 0{,}85\ \text{eV}.

2.

  1. ΔE=∣E1−E4∣=13,6−0,85\Delta E = |E_1-E_4| = 13{,}6 - 0{,}85
  2. ==12,75 eV12{,}75\ \text{eV}
  3. λ=124312,75\lambda = \dfrac{1243}{12{,}75}
  4. ≈\approx97,5 nm97{,}5\ \text{nm}UV lointain, série de Lyman (→n=1\to n=1)

3. n=4→2n=4\to2 : ΔE=3,4−0,85=2,55 eV\Delta E = 3{,}4-0{,}85=2{,}55\ \text{eV}, λ≈487,5 nm\lambda \approx 487{,}5\ \text{nm} (raie HβH_\beta). n=2→1n=2\to1 : ΔE=13,6−3,4=10,2 eV\Delta E = 13{,}6-3{,}4=10{,}2\ \text{eV}, λ≈121,9 nm\lambda \approx 121{,}9\ \text{nm} (Lyman α\alpha).

  1. 2,55+10,22{,}55+10{,}2
  2. ==12,75 eV12{,}75\ \text{eV}exactement ΔE(4→1)\Delta E(4\to1) de la question 2

L'énergie totale émise ne dépend que des niveaux de départ et d'arrivée, pas du chemin suivi : c'est cohérent, puisque EnE_n est une fonction d'état.

12

Restitution organisée de connaissances. On rappelle les deux postulats de Bohr (§6.2).

  1. En assimilant la trajectoire de l'électron à un cercle de rayon rnr_n parcouru à la vitesse vnv_n, écrire la relation traduisant que la force de Coulomb joue le rôle de force centripète.
  2. À l'aide du second postulat, exprimer vnv_n en fonction de nn, hh, mem_e et rnr_n.
  3. En combinant les deux relations, montrer que rn=n2a0r_n = n^{2}a_0, où a0a_0 est une constante que l'on exprimera en fonction de hh, kk, mem_e et ee.
  4. Exprimer l'énergie mécanique EnE_n de l'électron, et montrer qu'elle se met sous la forme En=E1/n2E_n = E_1/n^{2}.
Voir le corrigé détaillé

1.

ke2rn2=mevn2rn⇒vn2=ke2mern\dfrac{ke^{2}}{r_n^{2}} = \dfrac{m_ev_n^{2}}{r_n} \quad\Rightarrow\quad v_n^{2} = \dfrac{ke^{2}}{m_er_n}

2. Le postulat de quantification mevnrn=nh/2πm_ev_nr_n = nh/2\pi donne :

vn=nh2πmernv_n = \dfrac{nh}{2\pi m_er_n}

3. En reportant vnv_n dans la relation de la question 1 :

  1. (nh2πmern)2=ke2mern\left(\dfrac{nh}{2\pi m_er_n}\right)^{2} = \dfrac{ke^{2}}{m_er_n}
  2. ⇒\Rightarrowrn=n2h24π2kmee2=n2a0r_n = \dfrac{n^{2}h^{2}}{4\pi^{2}km_ee^{2}} = n^{2}a_0avec a0=h24π2kmee2a_0 = \dfrac{h^{2}}{4\pi^{2}km_ee^{2}}, le rayon de Bohr (≈53 pm\approx 53\ \text{pm}, cf. §6.3)

4. L'énergie mécanique vaut En=12mevn2−ke2/rnE_n = \tfrac{1}{2}m_ev_n^{2} - ke^{2}/r_n, avec 12mevn2=ke2/(2rn)\tfrac{1}{2}m_ev_n^{2} = ke^{2}/(2r_n) d'après la question 1 :

  1. En=ke22rn−ke2rn=−ke22rnE_n = \dfrac{ke^{2}}{2r_n} - \dfrac{ke^{2}}{r_n} = -\dfrac{ke^{2}}{2r_n}
  2. ==−ke22a0×1n2-\dfrac{ke^{2}}{2a_0}\times\dfrac{1}{n^{2}}
  3. ==E1n2\dfrac{E_1}{n^{2}}avec E1=−ke2/(2a0)≈−13,6 eVE_1 = -ke^{2}/(2a_0) \approx -13{,}6\ \text{eV}, cf. §6.3
Niveau 4 — Problèmes de vie courante
13

Les lampes de Ndjamena. Sur une avenue de Ndjamena, une lampe à vapeur de sodium de puissance lumineuse P=35 WP = 35\ \text{W} émet une lumière quasi monochromatique à λ=589 nm\lambda = 589\ \text{nm} (cf. §5.4). Combien de photons émet-elle chaque seconde ?

Voir le corrigé détaillé
  1. Ephoton=1243589≈2,11 eV≈3,38×10−19 JE_{\text{photon}} = \dfrac{1243}{589} \approx 2{,}11\ \text{eV} \approx 3{,}38 \times 10^{-19}\ \text{J}
  2. N=PEphoton=353,38×10−19N = \dfrac{P}{E_{\text{photon}}} = \dfrac{35}{3{,}38 \times 10^{-19}}
  3. ≈\approx1,04×1020 photons/s1{,}04 \times 10^{20}\ \text{photons/s}
14

Le panneau solaire d'Abéché. Au Tchad, Moussa installe un panneau photovoltaïque en silicium (Eg≈1,1 eVE_g \approx 1{,}1\ \text{eV}, cf. §3.4) de surface A=1,6 m2A = 1{,}6\ \text{m}^2, sous un ensoleillement de 1 000 W⋅m−21\,000\ \text{W·m}^{-2}.

  1. La lumière visible (400400 à 750 nm750\ \text{nm}) peut-elle produire du courant dans ce panneau ? Justifier.
  2. On assimile les photons solaires reçus à des photons de longueur d'onde moyenne 550 nm550\ \text{nm}. Calculer le nombre de photons reçus chaque seconde par le panneau.
  3. Si le rendement électrique du panneau est de 18 %18\ \%, calculer la puissance électrique produite.
Voir le corrigé détaillé

1. Entre 400400 et 750 nm750\ \text{nm}, l'énergie d'un photon varie de 1243/750≈1,66 eV1243/750 \approx 1{,}66\ \text{eV} à 1243/400≈3,11 eV1243/400 \approx 3{,}11\ \text{eV} : ces deux bornes dépassent Eg=1,1 eVE_g = 1{,}1\ \text{eV}, donc oui, toute la lumière visible produit du courant.

2.

  1. Ephoton=1243550≈2,26 eV≈3,62×10−19 JE_{\text{photon}} = \dfrac{1243}{550} \approx 2{,}26\ \text{eV} \approx 3{,}62 \times 10^{-19}\ \text{J}
  2. Pinc=1 000×1,6=1 600 WP_{\text{inc}} = 1\,000 \times 1{,}6 = 1\,600\ \text{W}
  3. N=PincEphoton=1 6003,62×10−19N = \dfrac{P_{\text{inc}}}{E_{\text{photon}}} = \dfrac{1\,600}{3{,}62 \times 10^{-19}}
  4. ≈\approx4,4×1021 photons/s4{,}4 \times 10^{21}\ \text{photons/s}

3.

  1. Peˊlec=0,18×1 600P_{\text{élec}} = 0{,}18 \times 1\,600
  2. ==288 W288\ \text{W}
15

Le laser de découpe de Douala. Fatou dirige un petit atelier de découpe laser à Douala. Son laser à CO2\text{CO}_2 émet dans l'infrarouge à λ=10,6 μm\lambda = 10{,}6\ \mu\text{m}, avec une puissance P=50 WP = 50\ \text{W}. a) Calculer l'énergie d'un photon émis, en eV. b) Calculer le nombre de photons émis chaque seconde.

Voir le corrigé détaillé

a)

  1. E=124310 600E = \dfrac{1243}{10\,600}λ=10,6 μm=10 600 nm\lambda = 10{,}6\ \mu\text{m} = 10\,600\ \text{nm}
  2. ≈\approx0,117 eV0{,}117\ \text{eV}bien plus faible qu'un photon visible

b)

  1. E≈0,117×1,60×10−19≈1,88×10−20 JE \approx 0{,}117 \times 1{,}60 \times 10^{-19} \approx 1{,}88 \times 10^{-20}\ \text{J}
  2. N=PE=501,88×10−20N = \dfrac{P}{E} = \dfrac{50}{1{,}88 \times 10^{-20}}
  3. ≈\approx2,7×1021 photons/s2{,}7 \times 10^{21}\ \text{photons/s}malgré leur faible énergie individuelle, un flux gigantesque suffit à découper le métal

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L'effet photoélectrique est :

Explication : C'est la définition du phénomène observé par Hertz en 1887 et étudié systématiquement par Lenard à partir de 1899 : des photoélectrons sont arrachés au métal éclairé.

Parmi les trois lois expérimentales de l'effet photoélectrique, laquelle est correcte ?

Explication : L'existence d'un seuil ν0\nu_0, caractéristique du métal et indépendant de l'intensité, est l'une des trois lois inexplicables par le modèle ondulatoire classique.

Une lumière rouge très intense est envoyée sur un métal dont le seuil photoélectrique se situe dans le bleu. Elle :

Explication : Piège classique : intensité (nombre de photons) et fréquence (énergie de chaque photon) sont deux grandeurs distinctes. Sous le seuil, aucune intensité, même énorme, n'arrache d'électron.

Le photon est :

Explication : C'est l'hypothèse d'Einstein (1905) : la lumière est constituée de grains d'énergie bien réels, les photons — non chargés, à ne jamais confondre avec l'électron.

L'énergie d'un photon de fréquence ν\nu est donnée par :

Explication : C'est la relation fondamentale de Planck-Einstein, avec h=6,63×10−34 J⋅sh=6{,}63\times10^{-34}\ \text{J·s} la constante de Planck.

La quantité de mouvement d'un photon de longueur d'onde λ\lambda vaut :

Explication : Le photon, bien que sans masse, transporte une quantité de mouvement p=h/λp=h/\lambda, qui s'ajoute à son énergie E=hc/λE=hc/\lambda.

Selon l'hypothèse de Louis de Broglie (1924), une particule de matière de masse mm animée d'une vitesse vv est associée à une onde de longueur d'onde :

Explication : C'est la généralisation, à toute particule, de la relation p=h/λp=h/\lambda du photon. Confirmée expérimentalement en 1927 par la diffraction d'un faisceau d'électrons sur un cristal.

Un laser rouge émet à λ=633 nm\lambda = 633\ \text{nm}. L'énergie d'un photon émis vaut environ (astuce hc≈1243 eV⋅nmhc \approx 1243\ \text{eV·nm}) :

Explication : E=hcλ=1243633E = \dfrac{hc}{\lambda} = \dfrac{1243}{633}
≈1,96 eV\approx 1{,}96\ \text{eV}.

Selon la relation d'Einstein, l'énergie cinétique maximale des photoélectrons vaut :

Explication : Un photon cède toute son énergie hνh\nu à un électron : une partie W0W_0 sert à l'extraire, le reste devient son énergie cinétique Ec,max⁡E_{c,\max}.

La fréquence seuil ν0\nu_0 d'un métal, de travail d'extraction W0W_0, est donnée par :

Explication : Le seuil correspond à Ec,max⁡=0E_{c,\max}=0 dans la relation d'Einstein, soit hν0=W0h\nu_0=W_0, d'où ν0=W0/h\nu_0=W_0/h.

Le travail d'extraction du potassium vaut W0=2,3 eVW_0=2{,}3\ \text{eV}. La longueur d'onde seuil λ0\lambda_0 vaut environ (astuce hc≈1243 eV⋅nmhc \approx 1243\ \text{eV·nm}) :

Explication : λ0=hcW0=12432,3\lambda_0 = \dfrac{hc}{W_0} = \dfrac{1243}{2{,}3}
≈540 nm\approx 540\ \text{nm}.

Le potentiel d'arrêt UsU_s vérifie eUs=Ec,max⁡eU_s = E_{c,\max}. Si Ec,max⁡=1,8 eVE_{c,\max}=1{,}8\ \text{eV}, alors UsU_s vaut :

Explication : Piège classique : une énergie cinétique exprimée en électron-volts donne un potentiel d'arrêt en volts de la même valeur numérique — c'est la définition même de l'eV.

Les niveaux d'énergie d'un atome :

Explication : L'énergie de l'atome est quantifiée : E1<E2<E3<⋯<0E_1<E_2<E_3<\dots<0. L'électron infiniment éloigné et immobile a une énergie nulle par convention ; tout état lié est donc négatif.

Pour l'atome d'hydrogène, l'énergie du niveau nn est donnée par :

Explication : C'est la formule de Bohr, établie à partir de la quantification du moment cinétique de l'électron : E1=−13,6 eVE_1=-13{,}6\ \text{eV} (fondamental), E2=−3,4 eVE_2=-3{,}4\ \text{eV}, etc.

L'énergie d'ionisation depuis le niveau fondamental de l'hydrogène (E1=−13,6 eVE_1=-13{,}6\ \text{eV}) vaut :

Explication : Ei=E∞−E1=0−(−13,6)=13,6 eVE_i = E_\infty - E_1 = 0-(-13{,}6) = 13{,}6\ \text{eV} : c'est l'énergie minimale pour amener l'électron jusqu'à E∞=0E_\infty=0.

Un atome, initialement dans l'état fondamental, absorbe un photon et passe dans un état excité. Cette transition correspond à :

Explication : L'atome absorbe un photon pour monter en énergie (vers un niveau plus élevé) ; il émet un photon pour descendre. Ici, absorption : l'atome gagne l'énergie hνh\nu.

Un atome d'hydrogène passe du niveau n=1n=1 (E1=−13,6 eVE_1=-13{,}6\ \text{eV}) au niveau n=3n=3 (E3=−1,51 eVE_3=-1{,}51\ \text{eV}) par absorption d'un photon. L'énergie de ce photon vaut environ :

Explication : ΔE=E3−E1=−1,51−(−13,6)\Delta E = E_3 - E_1 = -1{,}51-(-13{,}6)
=12,09 eV≈12,1 eV= 12{,}09\ \text{eV} \approx 12{,}1\ \text{eV}.

Les transitions de l'atome d'hydrogène aboutissant toutes au niveau n=1n=1 forment la série de :

Explication : La série de Lyman (→n=1\to n=1) est dans l'UV ; celle de Balmer (→n=2\to n=2) est en partie visible ; celle de Paschen (→n=3\to n=3) est dans l'IR.

Dans le modèle de Bohr, l'électron décrit une orbite circulaire dite « stationnaire ». Cela signifie que :

Explication : Le premier postulat de Bohr affirme que les orbites stationnaires échappent à la règle classique du rayonnement ; le second quantifie le moment cinétique : L=mevnrn=n h/2πL=m_ev_nr_n=n\,h/2\pi.

Les lampes à vapeur de sodium qui éclairent les avenues de Dakar émettent une lumière quasi monochromatique, à λ≈589 nm\lambda \approx 589\ \text{nm}. Cela s'explique par :

Explication : Chaque élément possède des niveaux d'énergie qui lui sont propres ; une transition entre deux niveaux donnés libère toujours la même énergie ΔE=hc/λ\Delta E=hc/\lambda, d'où une raie quasi monochromatique caractéristique du sodium.
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