Optique géométrique : réfraction et lentilles

Approfondir la propagation de la lumière et la formation des images.

Physique Seconde Chapitre 5 / 8 ⏱ 8 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Appliquer les lois de la réfraction
Construire et calculer une image
Expliquer la dispersion de la lumière blanche

Regarde un bâton à moitié plongé dans un seau d'eau : il semble brisé à la surface. Observe un poisson rouge dans un bocal : il n'est jamais tout à fait là où tu crois le voir. Ouvre l'appareil photo de ton téléphone : une minuscule lentille, plus fine qu'un ongle, fabrique en une fraction de seconde une image nette de tout un paysage. Ces trois situations n'ont l'air de rien, mais elles obéissent à des lois d'une précision redoutable — les mêmes lois qui permettent à un chirurgien d'opérer avec un endoscope, à un opérateur de faire voyager Internet dans une fibre optique sous l'océan, ou à un opticien de corriger ta vue au dixième de dioptrie près.

Jusqu'ici, en collège, tu as appris que la lumière se propage en ligne droite et que les surfaces polies la réfléchissent. Ce chapitre va plus loin : il explique pourquoi la lumière change de direction lorsqu'elle traverse la surface entre deux milieux transparents différents — c'est la réfraction — et comment une lentille convergente s'en sert pour fabriquer une image, réelle ou virtuelle, agrandie ou réduite. Tu verras aussi pourquoi la lumière peut rester prisonnière d'une fibre de verre grâce à un phénomène spectaculaire, la réflexion totale, et pourquoi la lumière blanche du Soleil, décomposée par un prisme ou par les gouttes de pluie, révèle les couleurs de l'arc-en-ciel.

C'est un chapitre où chaque figure se calcule : les angles que tu verras sur les schémas ne sont pas dessinés « à peu près », ils sont obtenus par le calcul, avec la même loi que tu vas apprendre à utiliser. Prends l'habitude de vérifier toi-même un angle avec ta calculatrice : c'est la meilleure façon de te convaincre que l'optique géométrique n'est pas un empilement de formules, mais une géométrie très concrète.

1Propagation rectiligne et modèle du rayon

1.1 Le modèle du rayon lumineux

Définition

Un rayon lumineux est un modèle : une ligne orientée qui représente le trajet suivi par la lumière issue d'une source, dans un milieu transparent et homogène. Un ensemble de rayons issus d'une même source forme un faisceau lumineux, qui peut être divergent (source ponctuelle proche), convergent (après une lentille, par exemple) ou parallèle (source très éloignée, comme le Soleil).

Le rayon lumineux n'existe pas « en vrai » — on ne peut pas isoler un rayon unique et le tenir entre ses doigts — mais c'est un outil remarquablement efficace : il permet de construire géométriquement des ombres, des images, des trajets, avec une règle et un compas. Un milieu est dit homogène quand ses propriétés optiques sont les mêmes en tout point, et transparent quand il laisse passer la lumière sans l'absorber ni la diffuser de façon notable. L'air, l'eau claire, le verre et le vide sont des milieux transparents usuels.

Propriété — propagation rectiligne

Dans un milieu transparent et homogène, la lumière se propage en ligne droite. Elle ne change de direction qu'en rencontrant un obstacle, une surface réfléchissante, ou la frontière entre deux milieux transparents différents.

1.2 Ombres et éclipses

La propagation rectiligne explique la formation des ombres. Face à une source ponctuelle (assimilable à un point), un obstacle opaque bloque tous les rayons qui le rencontrent : la zone de l'écran totalement privée de lumière est l'ombre propre (sur l'objet) ou l'ombre portée (sur l'écran). Les rayons qui rasent les bords de l'obstacle délimitent exactement la frontière de cette zone sombre : on retrouve alors une configuration de Thalès, avec des triangles semblables emboîtés.

Exemple — construire une ombre portée

Une source ponctuelle $S$ éclaire un obstacle opaque vertical ; un écran est placé derrière. Les deux rayons qui frôlent le haut et le bas de l'obstacle tracent, en ligne droite, les limites de la zone d'ombre sur l'écran : tout point situé entre ces deux rayons ne reçoit aucune lumière directe de $S$ .

Figure 1 — Les deux rayons qui rasent les bords de l'obstacle délimitent exactement l'ombre portée sur l'écran : tout ce qui est en dehors de ce cône reçoit la lumière de

S

en ligne droite.

Physique & Co — Mesurer la vitesse de la lumière avec les lunes de Jupiter

Pendant des siècles, on a cru la lumière instantanée. En 1676, l'astronome danois Ole Rømer, en observant depuis l'Observatoire de Paris les éclipses de Io, une lune de Jupiter, remarque que ces éclipses ont du retard quand la Terre s'éloigne de Jupiter, et de l'avance quand elle s'en rapproche. Il en déduit que la lumière met un temps mesurable pour traverser l'orbite terrestre, et propose une première valeur de sa vitesse — du bon ordre de grandeur, même si imprécise.

Il faudra attendre 1849 et le physicien français Hippolyte Fizeau, avec sa fameuse roue dentée tournant à grande vitesse entre Suresnes et Montmartre, pour mesurer $c$ directement sur Terre. La valeur retenue aujourd'hui dans le vide est $c = 3{,}00 \times 10^{8}\ \text{m·s}^{-1}$ (valeur exacte : $299\,792\,458\ \text{m·s}^{-1}$ ).

2Lois de Snell-Descartes

2.1 Réflexion : les lois de Descartes

Quand un rayon lumineux rencontre une surface bien polie (miroir, eau calme, métal poli), il rebondit : c'est la réflexion. On repère les angles par rapport à la normale, la droite perpendiculaire à la surface au point d'incidence $I$ .

Théorème — lois de Descartes pour la réflexion

Le rayon réfléchi est dans le même plan que le rayon incident et la normale (plan d'incidence).
L'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence : $i_1' = i_1$ , les deux étant mesurés depuis la normale.

Face à un miroir plan, un objet ponctuel $A$ donne une image $A'$ virtuelle (elle ne peut pas être recueillie sur un écran), symétrique de $A$ par rapport au plan du miroir. C'est ce que montre la figure suivante : le rayon réfléchi, prolongé « en arrière » par la pensée, semble provenir de $A'$ .

Figure 2 — L'angle d'incidence

i_1

et l'angle de réflexion

i_1'

sont égaux, de part et d'autre de la normale

N

. L'image

A'

est virtuelle : elle est le symétrique de

A

par rapport au miroir.

2.2 Réfraction : mise en évidence

Plonge un bâton dans un verre d'eau et regarde-le de côté : il paraît brisé à la surface. Rien ne s'est cassé, bien sûr : c'est la lumière issue de la partie immergée qui change de direction en passant de l'eau à l'air pour atteindre ton œil, si bien que ton cerveau reconstitue un trajet rectiligne erroné. Ce changement de direction à la traversée d'une surface entre deux milieux transparents différents s'appelle la réfraction.

Définition

La réfraction est le changement de direction d'un rayon lumineux lorsqu'il traverse la surface séparant deux milieux transparents d'indices différents. Le rayon incident, la normale au point d'incidence et le rayon réfracté sont dans le même plan.

2.3 Les lois de Snell-Descartes pour la réfraction

Définition — indice de réfraction

Dans le vide, la lumière se propage à la vitesse $c = 3{,}00 \times 10^{8}\ \text{m·s}^{-1}$ . Dans un milieu transparent, elle se propage à une vitesse $v$ inférieure à $c$ . L'indice de réfraction $n$ du milieu, sans unité, est défini par :

$n = \dfrac{c}{v} \qquad (n \geqslant 1)$

Plus $n$ est grand, plus la lumière est ralentie : le milieu est dit plus réfringent.

Milieu	Vide	Air	Glace	Eau	Plexiglas	Verre courant	Diamant
$n$	$1{,}000$	$1{,}000$	$1{,}31$	$1{,}33$	$1{,}50$	$1{,}50$	$2{,}42$

Exemple — calculer une vitesse de propagation

dans l'eau : $v_{\text{eau}} = \dfrac{c}{n_{\text{eau}}} = \dfrac{3{,}00 \times 10^{8}}{1{,}33}$
$\approx$ $2{,}26 \times 10^{8}\ \text{m·s}^{-1}$
dans le diamant : $v_{\text{diamant}} = \dfrac{3{,}00 \times 10^{8}}{2{,}42}$
$\approx$ $1{,}24 \times 10^{8}\ \text{m·s}^{-1}$ le diamant, très réfringent, ralentit fortement la lumière

Théorème — deuxième loi de Snell-Descartes

Au point d'incidence $I$ , avec $n_1$ l'indice du milieu incident et $n_2$ l'indice du milieu de réfraction, les angles $i_1$ et $i_2$ étant mesurés depuis la normale :

$n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$

Physique & Co — Une loi, deux noms, trois savants

La loi de la réfraction porte en France le nom de Snell-Descartes. Le Néerlandais Willebrord Snell la découvre expérimentalement vers 1621, sans la publier. Le Français René Descartes la publie en 1637 dans La Dioptrique, sous une forme géométrique équivalente, sans connaître les travaux de Snell. Plus tard, en 1662, Pierre de Fermat montrera que cette loi découle d'un principe plus général : la lumière suit toujours le trajet de durée minimale entre deux points — un résultat d'une élégance remarquable, qui dépasse le programme de Seconde mais qu'il est bon de connaître.

Méthode — calculer un angle de réfraction

On isole $\sin i_2$ dans la loi de Snell-Descartes, puis on prend l'arcsinus (touche $\sin^{-1}$ de la calculatrice, en mode degrés) :

$\sin i_2 = \dfrac{n_1}{n_2} \sin i_1 \quad \Longrightarrow \quad i_2 = \sin^{-1}\!\left(\dfrac{n_1}{n_2} \sin i_1\right)$

Exemple — de l'air vers l'eau,

i_1 = 40°

$n_{\text{air}} \sin i_1 = n_{\text{eau}} \sin i_2$
$\Rightarrow$ $\sin i_2 = \dfrac{n_{\text{air}}}{n_{\text{eau}}} \sin i_1 = \dfrac{1{,}00}{1{,}33} \times \sin 40°$
$\sin i_2 = \dfrac{1{,}00}{1{,}33} \times 0{,}643$
$\approx$ $0{,}483$
$\Rightarrow$ $i_2 = \sin^{-1}(0{,}483) \approx 28{,}9°$ le rayon se rapproche de la normale : $i_2 < i_1$

Figure 3 — Rayon incident dans l'air (

i_1 = 40°

) réfracté dans l'eau :

i_2 = \sin^{-1}\!\left(\frac{1{,}00}{1{,}33}\sin 40°\right) \approx 28{,}9°

. En passant vers le milieu plus réfringent, le rayon se rapproche de la normale.

Attention

Ne confonds jamais l'angle d'incidence avec l'angle entre le rayon et la surface : les angles $i_1$ et $i_2$ se mesurent depuis la normale, jamais depuis la surface de séparation. C'est l'erreur la plus fréquente en optique géométrique.

Retiens le sens du phénomène : quand la lumière passe d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent ( $n_1 < n_2$ , par exemple air → eau), le rayon réfracté se rapproche de la normale ( $i_2 < i_1$ ). Dans le sens inverse ( $n_1 > n_2$ , eau → air), il s'en éloigne ( $i_2 > i_1$ ). C'est précisément ce deuxième cas, poussé à l'extrême, qui va nous conduire au phénomène de la section suivante.

3Indice et réflexion totale

3.1 Le phénomène de réflexion totale

Reprenons la loi de Snell-Descartes, mais dans le sens eau → air, c'est-à-dire d'un milieu plus réfringent ( $n_1$ ) vers un milieu moins réfringent ( $n_2 < n_1$ ). Le rayon réfracté s'éloigne alors de la normale : $i_2 > i_1$ . Si l'on augmente peu à peu $i_1$ , l'angle $i_2$ grandit plus vite — jusqu'à atteindre $90°$ , c'est-à-dire un rayon réfracté qui rase la surface. Au-delà, il n'existe plus aucun rayon réfracté : toute la lumière est réfléchie à l'intérieur du milieu le plus réfringent. C'est la réflexion totale.

Définition — angle limite

L'angle limite (ou angle critique) $\lambda$ est l'angle d'incidence, dans le milieu le plus réfringent ( $n_1$ ), pour lequel le rayon réfracté émerge exactement à $90°$ de la normale. Pour $i_1 > \lambda$ , il n'y a plus de rayon réfracté : c'est la réflexion totale.

3.2 Démonstration de l'angle limite

Démonstration —

\sin \lambda = \dfrac{n_2}{n_1}

On considère un rayon allant d'un milieu 1, d'indice $n_1$ , vers un milieu 2, d'indice $n_2$ , avec $n_1 > n_2$ . La loi de Snell-Descartes s'écrit, pour un angle d'incidence $i_1$ quelconque :

$n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$

Par définition, l'angle limite $\lambda$ est la valeur de $i_1$ pour laquelle le rayon réfracté rase la surface, c'est-à-dire $i_2 = 90°$ . On remplace $i_1$ par $\lambda$ et $i_2$ par $90°$ :

$n_1 \sin \lambda = n_2 \sin 90°$
$\sin 90° = 1$
$\Rightarrow$ $n_1 \sin \lambda = n_2$
$\Rightarrow$ $\sin \lambda = \dfrac{n_2}{n_1}$ division par $n_1 \neq 0$

Pour $i_1 > \lambda$ , l'égalité $\sin i_2 = \dfrac{n_1}{n_2}\sin i_1$ donnerait $\sin i_2 > 1$ , ce qui est impossible : aucun angle $i_2$ ne convient, donc aucun rayon réfracté n'existe. Toute l'énergie lumineuse repart alors dans le milieu 1 par réflexion, avec un angle de réflexion égal à $i_1$ (lois de Descartes). C.Q.F.D.

Attention

La réflexion totale n'existe que dans un seul sens : de l'indice fort vers l'indice faible ( $n_1 > n_2$ ). Si $n_1 \leqslant n_2$ , alors $\frac{n_2}{n_1} \geqslant 1$ et l'équation $\sin \lambda = \frac{n_2}{n_1}$ n'a pas de solution : il n'existe pas d'angle limite, et le rayon se réfracte toujours, quel que soit l'angle d'incidence.

Exemple — angle limite verre / air

$\sin \lambda = \dfrac{n_{\text{air}}}{n_{\text{verre}}} = \dfrac{1{,}00}{1{,}50}$
$=$ $0{,}667$
$\Rightarrow$ $\lambda = \sin^{-1}(0{,}667) \approx 41{,}8°$

Dans un verre ordinaire, tout rayon qui frappe une face interne avec un angle supérieur à $41{,}8°$ y est totalement réfléchi — c'est ce que met à profit un prisme à réflexion totale dans des jumelles.

Exemple — pourquoi le diamant brille tant

$\sin \lambda = \dfrac{1{,}00}{n_{\text{diamant}}} = \dfrac{1{,}00}{2{,}42}$
$=$ $0{,}413$
$\Rightarrow$ $\lambda \approx 24{,}4°$

L'angle limite du diamant est très petit : la quasi-totalité des rayons qui pénètrent dans la pierre y subissent une ou plusieurs réflexions totales avant de ressortir par la face supérieure. C'est ce piégeage de la lumière, calculé au dixième de degré près par les tailleurs de pierres, qui donne au diamant son éclat si particulier — bien plus que sa simple transparence.

Figure 4 — Trois rayons issus du verre atteignent l'interface avec des angles croissants. Pour

i_1 = 25° < \lambda

, le rayon se réfracte normalement. Pour

i_1 = \lambda \approx 41{,}8°

, le rayon réfracté rase la surface. Pour

i_3 = 55° > \lambda

, il n'y a plus de rayon réfracté : réflexion totale.

3.3 Applications : fibre optique, mirages, diamant

La fibre optique exploite directement la réflexion totale pour guider la lumière sur de très longues distances sans quasiment aucune perte. Elle est constituée d'un cœur en verre très pur, d'indice $n_{\text{cœur}}$ , entouré d'une gaine d'indice légèrement plus faible $n_{\text{gaine}} < n_{\text{cœur}}$ . Tant que la lumière frappe l'interface cœur-gaine avec un angle supérieur à l'angle limite, elle est totalement réfléchie et rebondit ainsi de proche en proche le long de la fibre, sur des kilomètres, sans en sortir.

Exemple — angle limite d'une fibre optique

Une fibre a un cœur d'indice $n_{\text{cœur}} = 1{,}50$ et une gaine d'indice $n_{\text{gaine}} = 1{,}45$ .

$\sin \lambda = \dfrac{n_{\text{gaine}}}{n_{\text{cœur}}} = \dfrac{1{,}45}{1{,}50}$
$=$ $0{,}967$
$\Rightarrow$ $\lambda \approx 75{,}2°$ un angle limite proche de 90° : le rayon doit rester quasiment parallèle à l'axe de la fibre

Un rayon qui pénètre par l'extrémité plane de la fibre avec une incidence $i_0 = 20°$ s'y réfracte selon $\sin r_0 = \frac{\sin 20°}{1{,}50}$ , soit $r_0 \approx 13{,}2°$ par rapport à l'axe. À l'intérieur, ce rayon atteint la paroi cœur-gaine avec un angle de $90° - 13{,}2° = 76{,}8°$ par rapport à la normale à la paroi (verticale) : comme $76{,}8° > \lambda \approx 75{,}2°$ , il subit une réflexion totale — et reste ainsi piégé dans le cœur à chaque rebond.

Figure 5 — Dans le cœur de la fibre, chaque rebond sur la paroi cœur-gaine se fait avec un angle (≈ 76,8°) supérieur à l'angle limite (≈ 75,2°) : la lumière reste totalement guidée par réflexions totales successives.

Physique & Co — Le prix Nobel du verre le plus pur du monde

En 1966, l'ingénieur sino-britannique Charles Kao démontre par le calcul qu'un verre suffisamment pur permettrait de transmettre la lumière sur des dizaines de kilomètres, alors que les fibres de l'époque perdaient l'essentiel du signal en quelques mètres. Ses travaux, jugés irréalistes par beaucoup, sont confirmés en 1970 par les ingénieurs de la firme américaine Corning, qui fabriquent la première fibre optique à faibles pertes. Cette découverte a rendu possible Internet à haut débit et les réseaux de télécommunication actuels. Charles Kao reçoit le prix Nobel de physique en 2009 pour « ses réalisations pionnières concernant la transmission de la lumière dans les fibres optiques ».

La réflexion totale explique aussi les mirages : au-dessus d'une route surchauffée, l'air proche du sol, moins dense, a un indice plus faible que l'air frais au-dessus ; un rayon lumineux presque rasant venu du ciel peut alors subir une réflexion totale sur cette couche d'air chaud, donnant l'illusion d'une flaque d'eau qui reflète le ciel.

4Lentilles minces convergentes

4.1 Vocabulaire et éléments caractéristiques

Une lentille mince convergente est un bloc de verre transparent, plus épais au centre que sur les bords, qui dévie les rayons lumineux de façon à les faire converger. C'est l'élément optique central de l'œil, de l'appareil photo, de la loupe et du microscope.

Définition — éléments d'une lentille mince

L'axe optique est la droite qui passe par le centre de la lentille, perpendiculaire à celle-ci.
Le centre optique $O$ est le point de la lentille traversé par tout rayon sans déviation.
Le foyer image $F'$ est le point de l'axe optique où converge tout faisceau de rayons parallèles à l'axe avant la lentille.
Le foyer objet $F$ est le point symétrique de $F'$ par rapport à $O$ : tout rayon issu de $F$ émerge parallèle à l'axe après la lentille.
La distance focale $f' = \overline{OF'}$ (en mètres) est toujours positive pour une lentille convergente.

4.2 La vergence

Définition — vergence

La vergence $C$ d'une lentille mesure son pouvoir convergent :

$C = \dfrac{1}{f'}$

avec $f'$ exprimée en mètres ; $C$ s'exprime en dioptries, de symbole $\delta$ . Plus une lentille est bombée, plus $f'$ est petite et plus $C$ est grande : elle dévie fortement les rayons.

Exemple — vergence d'une lentille de loupe

$f' = 25\ \text{cm} = 0{,}25\ \text{m}$
$C = \dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{0{,}25}$
$=$ $4{,}0\ \delta$

Exemple — retrouver la distance focale à partir de la vergence

Une ordonnance indique une lentille correctrice de vergence $C = 8{,}0\ \delta$ .

$f' = \dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{8{,}0}$
$=$ $0{,}125\ \text{m}$
$=$ $12{,}5\ \text{cm}$

4.3 Construire une image : les trois rayons particuliers

Méthode — les trois rayons particuliers

Pour construire l'image $A'B'$ d'un objet $AB$ (avec $A$ sur l'axe optique) à travers une lentille convergente, il suffit de tracer deux des trois rayons issus de $B$ : leur point de rencontre après la lentille est $B'$ .

Rayon 1 : parallèle à l'axe avant la lentille → ressort en passant par $F'$ .
Rayon 2 : passe par le centre optique $O$ → n'est pas dévié.
Rayon 3 : passe par le foyer objet $F$ avant la lentille → ressort parallèle à l'axe.

Selon la position de l'objet par rapport à $F$ et $2F$ , l'image change radicalement de nature. Le premier cas, ci-dessous, correspond à un objet au-delà de $2F$ — la situation d'un appareil photo qui photographie un paysage lointain.

Figure 6 — Objet

AB

\overline{OA} = -9

cm au-delà de

2F

(avec

f' = 3

cm) : l'image

A'B'

se forme à

\overline{OA'} = 4{,}5

cm, entre

F'

2F'

— réelle, renversée et réduite de moitié.

5Relation de conjugaison et grandissement

5.1 La relation de conjugaison

La construction géométrique donne une image exacte, mais pour un calcul rapide et précis, on utilise une relation algébrique. On travaille avec des distances algébriques, notées avec une barre, comptées à partir du centre optique $O$ , positivement dans le sens de propagation de la lumière (de la gauche vers la droite sur un schéma classique).

Théorème — relation de conjugaison (formule de Descartes)

Pour une lentille mince convergente de distance focale $f'$ , un objet réel $A$ sur l'axe optique et son image $A'$ vérifient :

$\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'} = C$

Cette relation se démontre à partir des triangles semblables formés par les rayons particuliers (hors-programme en Seconde dans le détail) ; on l'admet ici et on la mémorise soigneusement, avec ses signes.

Attention aux signes

Pour un objet réel, toujours placé avant la lentille, $\overline{OA}$ est négatif. Le signe de $\overline{OA'}$ obtenu dans le calcul te renseigne alors directement sur la nature de l'image : $\overline{OA'} > 0$ → image réelle (après la lentille) ; $\overline{OA'} < 0$ → image virtuelle (avant la lentille, du même côté que l'objet).

5.2 Le grandissement

Définition — grandissement

Le grandissement $\gamma$ (sans unité) compare la taille algébrique de l'image à celle de l'objet :

$\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$

$|\gamma| > 1$ : image agrandie ; $|\gamma| < 1$ : image réduite ; $\gamma > 0$ : image droite ; $\gamma < 0$ : image renversée.

Démonstration —

\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}

Le rayon issu de $B$ passant par le centre optique $O$ n'est pas dévié : $B$ , $O$ et $B'$ sont alignés. Les triangles $OAB$ et $OA'B'$ sont donc semblables (angles opposés par le sommet $O$ égaux, côtés portés par les mêmes droites $(OA)$ et $(OB)$ ).

triangles $OAB$ et $OA'B'$ semblables en $O$
$\Rightarrow$ $\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{OA'}{OA}$ rapport des côtés homologues
$\Rightarrow$ $\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$ en distances algébriques, le signe rend compte du sens (droite/renversée)

Méthode — calculer une image sans figure

Connaissant $\overline{OA}$ (négatif) et $f'$ , on calcule $\overline{OA'}$ avec la relation de conjugaison, puis $\gamma$ , puis $\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB}$ .

Exemple — image virtuelle et agrandie (effet loupe)

Une lentille de distance focale $f' = 3{,}0$ cm ; un objet $AB = 1{,}0$ cm est placé à $\overline{OA} = -2{,}0$ cm (entre $O$ et $F$ ).

$\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{3{,}0} + \dfrac{1}{-2{,}0}$
$=0{,}333 - 0{,}500$
$=$ $-0{,}167\ \text{cm}^{-1}$
$\Rightarrow$ $\overline{OA'} = \dfrac{1}{-0{,}167} \approx -6{,}0\ \text{cm}$ négatif : image virtuelle, du même côté que l'objet
$\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{-6{,}0}{-2{,}0}$
$=$ $+3{,}0$ positif et supérieur à 1 : image droite et agrandie trois fois
$\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB} = 3{,}0 \times 1{,}0$
$=$ $3{,}0\ \text{cm}$

Figure 7 — Objet

AB = 1{,}0

cm à

\overline{OA} = -2{,}0

cm, entre

O

F

(

f' = 3{,}0

cm) : les trois rayons émergents divergent, mais leurs prolongements (pointillés) se recoupent tous en

B'

, à

\overline{OA'} = -6{,}0

cm : image virtuelle, droite, agrandie trois fois — c'est le principe de la loupe.

6Dispersion et spectres

Jusqu'ici, on a supposé que l'indice $n$ d'un milieu était une valeur unique. En réalité, il dépend légèrement de la couleur de la lumière : c'est la dispersion.

Définition — dispersion

Un milieu est dit dispersif lorsque son indice de réfraction $n$ dépend de la longueur d'onde (donc de la couleur) de la lumière qui le traverse. Pour la plupart des verres, l'indice est légèrement plus grand pour le violet que pour le rouge : $n_{\text{violet}} > n_{\text{rouge}}$ .

La lumière blanche (celle du Soleil ou d'une lampe classique) n'est pas une couleur pure : c'est un mélange de toutes les couleurs du spectre visible, du rouge au violet. Comme un milieu dispersif dévie chaque couleur d'un angle légèrement différent, un prisme de verre sépare les couleurs de la lumière blanche : c'est la décomposition spectrale.

Exemple — un prisme sépare le rouge et le violet

Un prisme en verre d'angle au sommet $A = 50°$ reçoit un rayon de lumière blanche horizontal, avec une incidence $i_1 = 25°$ sur la première face. On donne $n_{\text{rouge}} = 1{,}51$ et $n_{\text{violet}} = 1{,}53$ .

1re réfraction (rouge) : $\sin r_1 = \dfrac{\sin 25°}{1{,}51} \Rightarrow r_1 \approx 16{,}3°$
1re réfraction (violet) : $\sin r_1 = \dfrac{\sin 25°}{1{,}53} \Rightarrow r_1 \approx 16{,}0°$
dans le prisme : $r_2 = A - r_1$ (rouge $\approx 33{,}7°$ ; violet $\approx 34{,}0°$ )
2e réfraction : $\sin i_2 = n \sin r_2$ → $i_2 \approx 57{,}0°$ (rouge) et $i_2 \approx 58{,}8°$ (violet)
$\Rightarrow$ déviation totale $D = i_1 + i_2 - A$ : $D_{\text{rouge}} \approx 32{,}0°$ et $D_{\text{violet}} \approx 33{,}8°$ le violet est dévié presque 2° de plus que le rouge : les couleurs se séparent

Figure 8 — À la sortie du prisme, le rayon violet (

D \approx 33{,}8°

) est plus dévié que le rayon rouge (

D \approx 32{,}0°

) : la lumière blanche se décompose en un spectre continu.

Physique & Co — Newton et l'expérience du crucial experiment (1666)

Avant Isaac Newton, on pensait que le prisme colorait la lumière blanche. En 1666, dans sa chambre obscure de Cambridge, Newton fait traverser un rayon de soleil par un premier prisme, obtient un spectre coloré, puis isole un seul rayon coloré (par exemple rouge) qu'il fait passer par un second prisme : ce rayon rouge ressort... toujours rouge, simplement dévié, sans se décomposer davantage. Il montre ainsi que les couleurs ne sont pas créées par le verre : elles étaient déjà présentes, mélangées, dans la lumière blanche. Il publie ces travaux en 1672 puis dans son traité Opticks en 1704.

L'arc-en-ciel obéit au même principe, à l'intérieur de chaque goutte de pluie sphérique : la lumière du Soleil s'y réfracte en entrant, subit une réflexion totale sur la face interne, puis se réfracte à nouveau en ressortant, avec un angle qui dépend légèrement de la couleur — d'où la séparation des teintes que tu observes dans le ciel.

7Applications

7.1 La loupe

Tu l'as vu au §5 : quand un objet est placé entre le foyer objet $F$ et le centre optique $O$ d'une lentille convergente, l'image obtenue est virtuelle, droite et agrandie. C'est exactement le principe de la loupe : l'œil, placé derrière la lentille, regarde cette image virtuelle comme si elle était l'objet lui-même, mais bien plus grande.

7.2 L'œil et ses défauts

L'œil humain fonctionne comme un appareil optique convergent. La cornée (surface bombée à l'avant) réalise l'essentiel de la convergence ; le cristallin, une lentille souple, ajuste finement la mise au point (accommodation) ; l'image se forme sur la rétine, tapisserie de cellules sensibles à la lumière au fond de l'œil, reliée au cerveau par le nerf optique.

Figure 9 — Pour un œil normal (emmétrope), l'ensemble cornée + cristallin fait converger les rayons parallèles issus d'un objet lointain exactement sur la rétine.

Deux défauts (amétropies) sont particulièrement fréquents :

La myopie : l'œil est trop convergent (ou trop allongé). L'image d'un objet lointain se forme en avant de la rétine ; la vision de loin est floue. On corrige avec une lentille divergente ( $f' < 0$ , $C < 0$ ).
L'hypermétropie : l'œil n'est pas assez convergent. L'image d'un objet proche se formerait en arrière de la rétine ; la vision de près est floue. On corrige avec une lentille convergente ( $f' > 0$ , $C > 0$ ).

Exemple — corriger une myopie

Un œil myope voit net jusqu'à son punctum remotum, situé à seulement $50$ cm (au lieu de l'infini pour un œil normal). Il faut une lentille correctrice qui donne, d'un objet à l'infini, une image virtuelle exactement à cette distance de $50$ cm.

$f' = -0{,}50\ \text{m}$ l'image virtuelle doit se former du côté objet, à 50 cm
$C = \dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{-0{,}50}$
$=$ $-2{,}0\ \delta$ une lentille divergente, comme attendu pour une correction de myopie

7.3 L'appareil photo

L'appareil photo reproduit le principe de l'œil : un objectif convergent (une ou plusieurs lentilles) forme une image réelle, renversée et réduite sur un capteur — exactement la situation du Cas 1 étudié au §4.3 (objet au-delà de $2F$ ). Contrairement à l'œil, qui accommode en déformant son cristallin, un appareil photo fait la mise au point en déplaçant l'objectif pour ajuster $\overline{OA'}$ à la position du capteur.

Fiche mémo

Milieu transparent homogène : propagation rectiligne de la lumière (modèle du rayon).
Réflexion (miroir) : $i_1' = i_1$ , image virtuelle symétrique.
Indice de réfraction : $n = \dfrac{c}{v}$ , avec $c = 3{,}00 \times 10^{8}\ \text{m·s}^{-1}$ ; toujours $n \geqslant 1$ .
Snell-Descartes (réfraction) : $n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$ , angles mesurés depuis la normale.
De $n_1$ faible vers $n_2$ fort : le rayon se rapproche de la normale ; dans l'autre sens, il s'en éloigne.
Réflexion totale : possible seulement si $n_1 > n_2$ et $i_1 > \lambda$ , avec $\sin \lambda = \dfrac{n_2}{n_1}$ .
Fibre optique : cœur d'indice fort, gaine d'indice plus faible ; lumière guidée par réflexions totales successives.
Lentille convergente : $f' = \overline{OF'} > 0$ ; vergence $C = \dfrac{1}{f'}$ en dioptries ( $\delta$ ).
3 rayons particuliers : parallèle à l'axe → $F'$ ; par $O$ → non dévié ; par $F$ → ressort parallèle.
Relation de conjugaison : $\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}$ .
Grandissement : $\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$ ; signe = orientation, valeur = échelle.
Objet au-delà de $2F$ : image réelle, renversée, réduite (appareil photo). Objet entre $O$ et $F$ : image virtuelle, droite, agrandie (loupe).
Dispersion : $n$ dépend de la couleur ( $n_{\text{violet}} > n_{\text{rouge}}$ ) ; un prisme sépare la lumière blanche en spectre.
Œil : cornée + cristallin convergents, image sur la rétine ; myopie → lentille divergente ; hypermétropie → lentille convergente.

8Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Un liquide a un indice de réfraction $n = 1{,}40$ . Calcule la vitesse de la lumière dans ce liquide.

Voir le corrigé détaillé

$n = \dfrac{c}{v} \Rightarrow v = \dfrac{c}{n}$
$v = \dfrac{3{,}00 \times 10^{8}}{1{,}40}$
$\approx$ $2{,}14 \times 10^{8}\ \text{m·s}^{-1}$

Un rayon lumineux passe de l'air ( $n_1 = 1{,}00$ ) à un verre ( $n_2 = 1{,}50$ ) avec un angle d'incidence $i_1 = 35°$ . Calcule l'angle de réfraction $i_2$ .

Voir le corrigé détaillé

$n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$
$\Rightarrow$ $\sin i_2 = \dfrac{n_1}{n_2}\sin i_1 = \dfrac{1{,}00}{1{,}50} \times \sin 35°$
$\sin i_2 = 0{,}667 \times 0{,}574$
$\approx$ $0{,}383$
$\Rightarrow$ $i_2 = \sin^{-1}(0{,}383) \approx 22{,}5°$ le rayon se rapproche bien de la normale : $i_2 < i_1$

Calcule l'angle limite $\lambda$ pour la réflexion totale de l'eau ( $n_1 = 1{,}33$ ) vers l'air ( $n_2 = 1{,}00$ ).

Voir le corrigé détaillé

$\sin \lambda = \dfrac{n_2}{n_1} = \dfrac{1{,}00}{1{,}33}$
$\approx$ $0{,}752$
$\Rightarrow$ $\lambda = \sin^{-1}(0{,}752) \approx 48{,}8°$

Un plongeur qui regarde vers la surface avec un angle supérieur à $48{,}8°$ par rapport à la verticale ne voit plus le ciel : il voit le reflet du fond de l'eau (réflexion totale sur la face interne de la surface).

a) Une lentille convergente a une distance focale $f' = 20$ cm. Calcule sa vergence.
b) Une autre lentille a une vergence $C = 5{,}0\ \delta$ . Calcule sa distance focale, en cm.

Voir le corrigé détaillé

$f' = 20\ \text{cm} = 0{,}20\ \text{m}$
$C = \dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{0{,}20}$
$=$ $5{,}0\ \delta$

$f' = \dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{5{,}0}$
$=$ $0{,}20\ \text{m} = 20\ \text{cm}$

Un rayon lumineux frappe un miroir plan avec un angle d'incidence $i_1 = 38°$ . a) Donne l'angle de réflexion. b) Un objet ponctuel est situé à $1{,}20$ m du miroir ; à quelle distance se trouve son image ?

Voir le corrigé détaillé

a) D'après les lois de Descartes, $i_1' = i_1 = 38°$ .

b) L'image donnée par un miroir plan est symétrique de l'objet par rapport au plan du miroir : elle se trouve donc, elle aussi, à $1{,}20$ m du miroir, mais de l'autre côté (image virtuelle).

Niveau 2 — Approfondissement

Un rayon lumineux, dans l'air, arrive avec un angle $i_1 = 50°$ sur une couche d'eau ( $n_{\text{eau}} = 1{,}33$ ) posée sur une plaque de verre ( $n_{\text{verre}} = 1{,}50$ ), les deux faces étant parallèles. Calcule l'angle de réfraction dans l'eau, puis dans le verre.

Voir le corrigé détaillé

Air → eau :

$\sin i_2 = \dfrac{n_{\text{air}}}{n_{\text{eau}}} \sin i_1 = \dfrac{1{,}00}{1{,}33} \times \sin 50°$
$\approx$ $0{,}576$
$\Rightarrow$ $i_2 \approx 35{,}2°$

Eau → verre : comme les deux faces (air/eau et eau/verre) sont parallèles, on peut aussi bien écrire directement la relation entre l'air et le verre, la couche d'eau intermédiaire n'intervenant pas dans le résultat final :

$n_{\text{air}} \sin i_1 = n_{\text{verre}} \sin i_3$
$\Rightarrow$ $\sin i_3 = \dfrac{1{,}00}{1{,}50}\times \sin 50°$
$\approx$ $0{,}511$
$\Rightarrow$ $i_3 \approx 30{,}7°$ plus le milieu final est réfringent, plus le rayon final se rapproche de la normale

Un rayon passe de l'air à un liquide inconnu. On mesure $i_1 = 30°$ dans l'air et $i_2 = 21{,}7°$ dans le liquide. Détermine l'indice de ce liquide et identifie-le à l'aide du tableau des indices.

Voir le corrigé détaillé

$n_{\text{air}} \sin i_1 = n_{\text{liquide}} \sin i_2$
$\Rightarrow$ $n_{\text{liquide}} = \dfrac{n_{\text{air}} \sin i_1}{\sin i_2} = \dfrac{1{,}00 \times \sin 30°}{\sin 21{,}7°}$
$=\dfrac{0{,}500}{0{,}370}$
$\approx$ $1{,}35$

Cette valeur est proche de celle de la glycérine ou d'une huile végétale courante (l'eau, elle, a un indice de $1{,}33$ ) : ce liquide est légèrement plus réfringent que l'eau pure.

Un objet $AB = 2{,}0$ cm est placé perpendiculairement à l'axe optique d'une lentille convergente de distance focale $f' = 8{,}0$ cm, à $\overline{OA} = -12$ cm. Calcule la position et la taille de l'image.

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{8{,}0} + \dfrac{1}{-12}$
$= 0{,}125 - 0{,}0833$
$=$ $0{,}0417\ \text{cm}^{-1}$
$\Rightarrow$ $\overline{OA'} \approx 24\ \text{cm}$ positif : image réelle
$\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{24}{-12}$
$=$ $-2{,}0$ négatif : image renversée ; $|\gamma|>1$ : agrandie
$\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB} = -2{,}0 \times 2{,}0$
$=$ $-4{,}0\ \text{cm}$

L'image, réelle, se forme à $24$ cm de la lentille (on pourrait y placer un écran) ; elle mesure $4{,}0$ cm et est renversée.

Dans des jumelles, un prisme de verre ( $n = 1{,}50$ ) en forme de triangle rectangle isocèle redresse l'image en retournant deux fois le trajet lumineux de $90°$ . Un rayon pénètre perpendiculairement à l'une des petites faces, puis atteint la grande face (l'hypoténuse) avec un angle d'incidence de $45°$ . Ce rayon ressort-il de cette face, ou est-il totalement réfléchi ?

Voir le corrigé détaillé

Le rayon entre perpendiculairement à la petite face ( $i = 0°$ ) : il n'est pas dévié à l'entrée. Il atteint ensuite l'hypoténuse avec un angle de $45°$ par rapport à la normale. Comparons cet angle à l'angle limite du verre :

$\sin \lambda = \dfrac{n_{\text{air}}}{n_{\text{verre}}} = \dfrac{1{,}00}{1{,}50}$
$\Rightarrow$ $\lambda \approx 41{,}8°$
$45° > \lambda \approx 41{,}8°$
$\Rightarrow$ réflexion totale sur l'hypoténuse

Le rayon est donc totalement réfléchi : il ne ressort pas par l'hypoténuse, mais repart à $90°$ de sa direction initiale, vers la seconde petite face, qu'il traverse ensuite perpendiculairement. C'est exactement ce mécanisme, sans aucun miroir métallique, qui fait tourner deux fois la lumière de $90°$ à l'intérieur de jumelles.

Figure 10 — Le rayon entre sans déviation, subit une réflexion totale sur l'hypoténuse (

45° > \lambda \approx 41{,}8°

) et ressort à

90°

de sa direction initiale.

Niveau 3 — Défi

Une fibre optique a un cœur d'indice $n_{\text{cœur}} = 1{,}46$ et une gaine d'indice $n_{\text{gaine}} = 1{,}44$ .

Calcule l'angle limite $\lambda$ à l'interface cœur-gaine.
Un rayon qui se propage dans le cœur en faisant un angle $r_0$ avec l'axe de la fibre atteint la paroi avec un angle de $90° - r_0$ par rapport à la normale (verticale). Détermine l'angle maximal $r_{0,\max}$ que ce rayon peut faire avec l'axe pour rester guidé par réflexion totale.
En déduire l'angle d'incidence maximal $i_{0,\max}$ , dans l'air, à l'entrée de la fibre, pour que le rayon soit effectivement guidé (on parle d'ouverture numérique de la fibre).

Voir le corrigé détaillé

1°

$\sin \lambda = \dfrac{n_{\text{gaine}}}{n_{\text{cœur}}} = \dfrac{1{,}44}{1{,}46}$
$\approx$ $0{,}986$
$\Rightarrow$ $\lambda \approx 80{,}5°$

2° Il faut que l'angle à la paroi dépasse $\lambda$ :

$90° - r_0 > \lambda$
$\Rightarrow$ $r_0 < 90° - \lambda$
$r_{0,\max} = 90° - 80{,}5°$
$=$ $9{,}5°$

3° Il reste à convertir cet angle interne en angle d'entrée, avec la loi de Snell-Descartes à l'entrée plane de la fibre (air → cœur) :

$\sin i_{0,\max} = n_{\text{cœur}} \sin r_{0,\max} = 1{,}46 \times \sin 9{,}5°$
$= 1{,}46 \times 0{,}165$
$\approx$ $0{,}241$
$\Rightarrow$ $i_{0,\max} \approx 13{,}9°$

Tout rayon entrant avec une incidence inférieure à $13{,}9°$ reste guidé jusqu'au bout de la fibre ; au-delà, il finit par « fuir » à travers la gaine.

Un rétroprojecteur utilise une lentille convergente de distance focale $f' = 10$ cm pour projeter un transparent $AB = 3{,}0$ cm, placé à $\overline{OA} = -12$ cm.

Montre que l'objet est situé entre $F$ et $2F$ .
Calcule la position de l'image $\overline{OA'}$ et le grandissement $\gamma$ .
Calcule la taille de l'image projetée sur l'écran. Commente son intérêt pour un usage en salle de classe.

Voir le corrigé détaillé

1° $\overline{OF} = -f' = -10$ cm et $\overline{O(2F)} = -2f' = -20$ cm. Comme $-20 < -12 < -10$ , l'objet est bien situé entre $F$ et $2F$ .

2°

$\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{-12}$
$= 0{,}100 - 0{,}0833$
$=$ $0{,}0167\ \text{cm}^{-1}$
$\Rightarrow$ $\overline{OA'} \approx 60\ \text{cm}$
$\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{60}{-12}$
$=$ $-5{,}0$

3°

$\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB} = -5{,}0 \times 3{,}0$
$=$ $-15\ \text{cm}$

L'image, réelle et renversée (d'où l'écriture inversée sur le transparent !), mesure $15$ cm, contre $3{,}0$ cm pour l'objet : un objet entre $F$ et $2F$ donne toujours une image réelle agrandie — c'est justement l'intérêt d'un rétroprojecteur, qui doit rendre un petit transparent lisible par toute une classe.

Figure 11 — Objet

AB = 3{,}0

cm à

\overline{OA} = -12

cm (

f' = 10

cm) : image réelle à

\overline{OA'} = 60

cm, renversée et agrandie cinq fois (

\gamma = -5{,}0

Un poisson se trouve à une profondeur réelle $H = 1{,}20$ m sous la surface calme d'un lac ( $n_{\text{eau}} = 1{,}33$ ). Un observateur le regarde depuis le dessus, presque verticalement.

En utilisant l'approximation des petits angles ( $\sin i \approx \tan i$ ), établis la relation entre la profondeur apparente $H'$ et la profondeur réelle $H$ .
Calcule $H'$ .

Voir le corrigé détaillé

1° Un rayon issu du poisson, faisant un petit angle $i_2$ avec la verticale dans l'eau, atteint la surface à une distance horizontale $x = H\tan i_2$ du point situé à l'aplomb du poisson ; il ressort dans l'air avec un angle $i_1$ , et semble provenir d'un point à la profondeur apparente $H'$ , avec $x = H' \tan i_1$ (même distance horizontale $x$ ). Pour de petits angles, $\tan i \approx \sin i$ :

$n_{\text{eau}} \sin i_2 = n_{\text{air}} \sin i_1$
$\approx$ $n_{\text{eau}} \tan i_2 \approx n_{\text{air}} \tan i_1$ petits angles
$n_{\text{eau}} \times \dfrac{x}{H} \approx n_{\text{air}} \times \dfrac{x}{H'}$
$\Rightarrow$ $H' \approx H \times \dfrac{n_{\text{air}}}{n_{\text{eau}}} = \dfrac{H}{n_{\text{eau}}}$ $n_{\text{air}} = 1{,}00$

2°

$H' = \dfrac{1{,}20}{1{,}33}$
$\approx$ $0{,}90\ \text{m}$

Le poisson semble donc $30$ cm plus proche de la surface qu'il ne l'est réellement — c'est cette même illusion qui « casse » le bâton plongé dans l'eau.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

À la pêche, sur la Petite Côte (Dakar). Depuis sa pirogue, Moussa observe presque à la verticale un poisson situé à $H = 0{,}80$ m sous la surface de l'eau ( $n_{\text{eau}} = 1{,}33$ ). Calcule la profondeur apparente $H'$ à laquelle Moussa perçoit le poisson, et explique pourquoi il aurait intérêt à viser un peu plus bas s'il pêchait à la sagaie.

Voir le corrigé détaillé

On réutilise la relation établie à l'exercice 12 pour une observation proche de la verticale :

$H' \approx \dfrac{H}{n_{\text{eau}}} = \dfrac{0{,}80}{1{,}33}$
$\approx$ $0{,}60\ \text{m}$

Moussa perçoit le poisson à environ $0{,}60$ m de profondeur, alors qu'il est réellement à $0{,}80$ m — soit $20$ cm plus bas que ce qu'il voit. S'il vise avec une sagaie à l'endroit exact où il voit le poisson, il visera donc trop haut : il doit corriger son geste en visant plus profond que l'image apparente.

Chez l'opticien, à Abidjan. Un patient consulte un opticien du Plateau : son œil myope a un punctum remotum situé à seulement $PR = 40$ cm (au lieu de l'infini). L'opticien doit lui prescrire une lentille correctrice qui forme, d'un objet à l'infini, une image virtuelle exactement à cette distance de $40$ cm de l'œil.

Quel doit être le signe de la vergence de cette lentille ? Justifie sans calcul.
Calcule la distance focale $f'$ puis la vergence $C$ à prescrire.

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1° L'œil myope est trop convergent pour un objet lointain : il faut une lentille qui diverge légèrement les rayons avant qu'ils n'entrent dans l'œil, donc une vergence négative.

2°

$f' = -PR = -0{,}40\ \text{m}$ l'image virtuelle doit se former du côté objet, à la distance du punctum remotum
$C = \dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{-0{,}40}$
$=$ $-2{,}5\ \delta$

L'opticien prescrit donc une lentille divergente de $-2{,}5\ \delta$ (ce que les ordonnances notent souvent « $-2{,}50$ »).

Chez le bijoutier, à Bamako. Un artisan bijoutier du Grand Marché taille une pierre de verre synthétique (indice $n = 2{,}42$ , comme le diamant) destinée à un bijou. Pour que la pierre « brille » un maximum, il doit tailler les facettes internes de façon à ce que la lumière entrée par le dessus y subisse une réflexion totale avant de ressortir. Calcule l'angle limite de cette pierre et explique, en une phrase, pourquoi une pierre de faible indice (comme du simple verre à vitre, $n \approx 1{,}50$ ) brille beaucoup moins avec la même taille.

Voir le corrigé détaillé

$\sin \lambda = \dfrac{n_{\text{air}}}{n} = \dfrac{1{,}00}{2{,}42}$
$\approx$ $0{,}413$
$\Rightarrow$ $\lambda \approx 24{,}4°$

Avec un angle limite aussi petit ( $24{,}4°$ ), presque tous les rayons qui pénètrent dans la pierre frappent ses facettes internes avec une incidence supérieure à $\lambda$ : ils y subissent une réflexion totale et ressortent par le dessus, vers l'œil de l'observateur. Un verre ordinaire, d'indice plus faible ( $n \approx 1{,}50$ ), a un angle limite bien plus grand ( $\approx 41{,}8°$ , calculé à la section 3) : une part bien plus importante de la lumière le traverse alors sans réflexion totale et « fuit » par en dessous, au lieu de revenir vers l'œil — d'où un éclat beaucoup plus terne, à taille identique.

📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

Coche une réponse par question, puis clique sur « Vérifier mes réponses » : tu obtiens ta note sur 20 avec la correction détaillée de chaque question.

Dans un milieu transparent et homogène, comment se propage la lumière ?

en ligne droite selon une courbe qui dépend de la couleur uniquement de haut en bas elle ne se propage pas, elle est instantanée partout

Explication : Dans un milieu transparent et homogène, la lumière se propage en ligne droite. Elle ne change de direction qu'en rencontrant un obstacle, une surface réfléchissante, ou la frontière entre deux milieux transparents différents.

D'après les lois de Descartes pour la réflexion, l'angle de réflexion $i_1'$ et l'angle d'incidence $i_1$ , mesurés depuis la normale, vérifient :

i_1' = 90° - i_1

i_1' = 2\,i_1

i_1' = i_1

i_1'

est toujours nul

Explication : L'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence, les deux étant mesurés depuis la normale à la surface au point d'incidence.

L'image $A'$ d'un objet ponctuel $A$ donnée par un miroir plan est :

réelle, et peut être recueillie sur un écran toujours plus grande que l'objet située du même côté du miroir que l'objet virtuelle, symétrique de

A

par rapport au plan du miroir

Explication : Face à un miroir plan, l'image d'un objet ponctuel est virtuelle (elle ne peut pas être recueillie sur un écran) et symétrique de l'objet par rapport au plan du miroir.

La réfraction est :

le rebond de la lumière sur une surface polie le changement de direction d'un rayon lumineux à la traversée d'une surface entre deux milieux transparents d'indices différents l'absorption totale de la lumière par un milieu opaque la décomposition de la lumière blanche en couleurs

Explication : La réfraction est le changement de direction d'un rayon lumineux lorsqu'il traverse la surface séparant deux milieux transparents d'indices différents — c'est ce qui « brise » l'apparence d'un bâton plongé dans l'eau.

L'indice de réfraction $n$ d'un milieu transparent est défini par :

n = \dfrac{c}{v}

, où

v

est la vitesse de la lumière dans ce milieu

n = \dfrac{v}{c}

n = c \times v

n = c - v

Explication :

n = \dfrac{c}{v}

, avec

c

la vitesse de la lumière dans le vide et

v

sa vitesse dans le milieu considéré. Comme

v \leqslant c

, on a toujours

n \geqslant 1

Quelle est la vitesse de propagation de la lumière dans l'eau ( $n_{\text{eau}} = 1{,}33$ ; $c = 3{,}00 \times 10^{8}\ \text{m·s}^{-1}$ ) ?

3{,}99 \times 10^{8}\ \text{m·s}^{-1}

1{,}33 \times 10^{8}\ \text{m·s}^{-1}

2{,}26 \times 10^{8}\ \text{m·s}^{-1}

3{,}00 \times 10^{8}\ \text{m·s}^{-1}

Explication :

v_{\text{eau}} = \dfrac{c}{n_{\text{eau}}} = \dfrac{3{,}00 \times 10^{8}}{1{,}33}

\approx 2{,}26 \times 10^{8}\ \text{m·s}^{-1}

La deuxième loi de Snell-Descartes pour la réfraction s'écrit :

n_1 + i_1 = n_2 + i_2

\dfrac{n_1}{i_1} = \dfrac{n_2}{i_2}

n_1 \times n_2 = i_1 \times i_2

n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2

Explication : La loi de Snell-Descartes relie les indices et les sinus des angles (mesurés depuis la normale) de part et d'autre de la surface de séparation :

n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2

Un rayon passe de l'air ( $n_1 = 1{,}00$ ) vers le verre ( $n_2 = 1{,}50$ ) avec un angle d'incidence $i_1 = 30°$ ( $\sin 30° = 0{,}5$ ). Quel est l'angle de réfraction $i_2$ ?

30°

environ

19{,}5°

environ

45°

environ

60°

Explication :

\sin i_2 = \dfrac{n_1}{n_2}\sin i_1 = \dfrac{1{,}00}{1{,}50} \times 0{,}5 = 0{,}333

i_2 = \sin^{-1}(0{,}333) \approx 19{,}5°

Quand la lumière passe d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent ( $n_1 < n_2$ ), le rayon réfracté :

se rapproche de la normale (

i_2 < i_1

) s'éloigne de la normale (

i_2 > i_1

) reste parallèle à la normale, quel que soit

i_1

repart dans le milieu incident

Explication : En passant vers un milieu plus réfringent (indice plus grand), le rayon réfracté se rapproche de la normale : c'est le cas air → eau, comme dans l'exemple du bâton brisé.

La réflexion totale ne peut se produire que :

lorsque

n_1 < n_2

(indice faible vers indice fort) quel que soit le sens de propagation lorsque la lumière passe d'un milieu plus réfringent (

n_1

) vers un milieu moins réfringent (

n_2 < n_1

), au-delà de l'angle limite uniquement dans le vide

Explication : La réflexion totale n'existe que dans le sens indice fort → indice faible (

n_1 > n_2

) et seulement au-delà de l'angle limite

\lambda

. Si

n_1 \leqslant n_2

, il n'existe pas d'angle limite.

L'angle limite $\lambda$ vérifie la relation :

\lambda = n_1 \times n_2

\sin \lambda = n_1 \times n_2

\sin \lambda = \dfrac{n_1}{n_2}

\sin \lambda = \dfrac{n_2}{n_1}

Explication : En posant

i_2 = 90°

dans

n_1 \sin\lambda = n_2 \sin 90°

, on obtient

\sin \lambda = \dfrac{n_2}{n_1}

, avec

n_1

l'indice du milieu le plus réfringent (celui où se trouve le rayon incident).

Quel est l'angle limite pour une interface verre ( $n = 1{,}50$ ) / air ( $n = 1{,}00$ ) ?

90°

environ

41{,}8°

environ

60°

environ

30°

Explication :

\sin \lambda = \dfrac{n_{\text{air}}}{n_{\text{verre}}} = \dfrac{1{,}00}{1{,}50} = 0{,}667

\lambda = \sin^{-1}(0{,}667) \approx 41{,}8°

Dans une fibre optique, la lumière reste piégée dans le cœur (indice $n_{\text{cœur}}$ ) grâce à :

des réflexions totales successives à l'interface cœur-gaine, car

n_{\text{cœur}} > n_{\text{gaine}}

une absorption progressive de la gaine, qui renvoie la lumière une vitesse de la lumière supérieure à

c

dans le cœur un miroir argenté enroulé autour du cœur

Explication : Le cœur a un indice légèrement supérieur à celui de la gaine. Tant que la lumière frappe l'interface cœur-gaine avec un angle supérieur à l'angle limite, elle subit une réflexion totale et reste guidée dans le cœur sur de longues distances.

Pour une lentille mince convergente, le foyer image $F'$ est :

le point où tout rayon traverse la lentille sans être dévié toujours situé avant la lentille, du côté de l'objet le point de l'axe optique où converge tout faisceau de rayons parallèles à l'axe avant la lentille un point qui n'existe que pour les lentilles divergentes

Explication : Le foyer image

F'

est le point où se rejoint tout faisceau de rayons parallèles à l'axe optique après avoir traversé la lentille. Le point traversé sans déviation est le centre optique

O

Une lentille convergente a une distance focale $f' = 20$ cm. Quelle est sa vergence $C$ ?

0{,}20\ \delta

20\ \delta

2{,}0\ \delta

5{,}0\ \delta

Explication :

f' = 20\ \text{cm} = 0{,}20\ \text{m}

C = \dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{0{,}20} = 5{,}0\ \delta

Parmi les trois rayons particuliers utilisés pour construire l'image donnée par une lentille convergente, lequel n'est jamais dévié ?

le rayon parallèle à l'axe optique avant la lentille le rayon qui passe par le centre optique

O

le rayon qui passe par le foyer objet

F

avant la lentille aucun rayon n'est jamais dévié

Explication : Le centre optique

O

est, par définition, le point de la lentille traversé par tout rayon sans déviation. Les deux autres rayons particuliers, eux, sont bien déviés par la lentille.

La relation de conjugaison d'une lentille mince convergente s'écrit :

\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}

\overline{OA'} + \overline{OA} = f'

\overline{OA'} \times \overline{OA} = f'

\dfrac{1}{\overline{OA'}} + \dfrac{1}{\overline{OA}} = f'

Explication : La formule de conjugaison (formule de Descartes) relie les positions algébriques de l'objet et de l'image à la distance focale :

\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'} = C

Le grandissement $\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$ d'une lentille est négatif. Que peut-on en conclure sur l'image ?

Elle est virtuelle Elle est forcément agrandie Elle est renversée par rapport à l'objet Elle est forcément réduite

Explication : Le signe de

\gamma

indique le sens de l'image :

\gamma > 0

signifie une image droite,

\gamma < 0

une image renversée. La valeur absolue de

\gamma

, elle, indique si l'image est agrandie (

|\gamma|>1

) ou réduite (

|\gamma|<1

) — les deux informations sont indépendantes.

Un objet $AB = 2{,}0$ cm est placé à $\overline{OA} = -6{,}0$ cm devant une lentille convergente ; on trouve $\overline{OA'} = 6{,}0$ cm. Quel est le grandissement $\gamma$ et l'image obtenue ?

\gamma = +1{,}0

; image droite de 2,0 cm

\gamma = +2{,}0

; image droite de 4,0 cm

\gamma = -0{,}5

; image renversée de 1,0 cm

\gamma = -1{,}0

; image renversée, de même taille (2,0 cm)

Explication :

\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{6{,}0}{-6{,}0} = -1{,}0

\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB} = -1{,}0 \times 2{,}0 = -2{,}0\ \text{cm}

: image renversée, de même taille que l'objet.

Pourquoi un prisme sépare-t-il les couleurs de la lumière blanche (dispersion) ?

Parce que chaque couleur a une vitesse différente, mais uniquement dans le vide Parce que l'indice de réfraction

n

du verre dépend légèrement de la couleur de la lumière (plus grand pour le violet que pour le rouge), donc chaque couleur est déviée différemment Parce que le verre absorbe certaines couleurs et en réfléchit d'autres Parce que la lumière blanche n'existe pas réellement, ce n'est qu'une illusion d'optique

Explication : Un milieu dispersif a un indice

n

qui dépend de la couleur (

n_{\text{violet}} > n_{\text{rouge}}

pour la plupart des verres) : chaque couleur de la lumière blanche est donc déviée d'un angle légèrement différent, ce qui les sépare — comme l'a démontré Newton en 1666.

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En bref

Classe : Classe de Seconde
Matière : Physique
Durée estimée : 8 h
8 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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