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Gravitation universelle et poids

Étudier l'interaction gravitationnelle et ses conséquences.

Physique Seconde Chapitre 4 / 8 ⏱ 7 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Calculer une force gravitationnelle
  • Comparer le poids d'un corps sur deux astres
  • Relier champ de pesanteur et masse de l'astre

Pourquoi la Lune ne tombe-t-elle jamais sur la Terre ? Pourquoi une pomme, elle, tombe-t-elle bien ? Et pourquoi ton poids, mesuré avec un pèse-personne, ne serait-il plus du tout le même si tu t'installais sur la Lune ? Ces trois questions ont, au fond, une seule et même réponse : toute masse attire toute autre masse, avec une force que Newton a su écrire en une seule formule — valable aussi bien pour une pomme qui tombe que pour les planètes qui tournent autour du Soleil.

Ce chapitre pose les bases de la mécanique céleste : tu vas apprendre à calculer la force d'attraction entre deux masses, à comprendre pourquoi tous les objets qui t'entourent sont attirés « vers le bas » sur Terre, et à distinguer deux grandeurs que le langage courant confond sans arrêt : ta masse, qui ne change jamais, et ton poids, qui change avec le lieu où tu te trouves.

Tu retrouveras cette loi de la gravitation universelle chaque fois qu'il sera question de satellites, de fusées ou de trajectoires de planètes — et tu découvriras, en toute fin de chapitre, qu'elle a une cousine étonnamment ressemblante à l'échelle de l'atome : la force électrique entre deux charges.

1Loi de la gravitation universelle

En 1687, dans son ouvrage Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Isaac Newton énonce une idée neuve et audacieuse : la force qui fait tomber une pomme et celle qui maintient la Lune sur son orbite sont la même force. Il l'appelle la gravitation universelle, car elle agit entre absolument tous les objets de l'Univers qui possèdent une masse — des grains de sable jusqu'aux galaxies.

1.1  Énoncé et expression de la loi

Définition

Deux corps ponctuels, de masses m1m_1 et m2m_2 (en kg), séparés par une distance dd (en m, mesurée entre leurs centres), exercent l'un sur l'autre une force attractive appelée force de gravitation universelle, dont l'intensité vaut :

F=G m1×m2d2F = G\,\dfrac{m_1 \times m_2}{d^{2}}

où GG est la constante de gravitation universelle, la même pour tous les couples de masses de l'Univers :

G=6,67×10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^{2}\text{·kg}^{-2}

Cette formule mérite d'être lue attentivement. La force FF est proportionnelle aux deux masses : doubler m1m_1 double FF. Elle est en revanche inversement proportionnelle au carré de la distance : si tu doubles dd, la force est divisée par 44 ; si tu la triples, elle est divisée par 99. On dit que la gravitation est une interaction en 1/d21/d^{2} : c'est pour cela qu'elle décroît vite avec l'éloignement, mais qu'elle ne s'annule jamais tout à fait.

Attention

La distance dd est celle qui sépare les centres des deux corps, jamais leurs surfaces. Pour deux astres, comme la Terre et la Lune, les rayons de la Terre et de la Lune sont totalement négligeables devant dd — mais il ne faut surtout pas les ajouter par erreur à la distance donnée dans un énoncé.

1.2  Direction, sens et caractère mutuel de la force

Propriété
  • La force qu'exerce 22 sur 11 et la force qu'exerce 11 sur 22 ont la même direction : la droite qui joint les centres des deux corps.
  • Elles sont attractives : chaque corps est tiré vers l'autre, jamais repoussé.
  • D'après le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), elles ont la même intensité — même si les deux masses sont très différentes l'une de l'autre.
Deux masses s'attirent mutuellement, avec la même intensité m₁ m₂ F F d (distance entre les centres) m₁ ≠ m₂, mais les deux forces ont la même intensité F
Figure 1 — Deux masses m1m_1 et m2m_2, distantes de dd, s'attirent avec des forces de même intensité F=G m1m2d2F = G\,\dfrac{m_1 m_2}{d^{2}}, dirigées selon la droite qui joint leurs centres (troisième loi de Newton).
Exemple — force d'attraction Terre-Lune

Données : MT=5,97×1024 kgM_T = 5{,}97 \times 10^{24}\ \text{kg} ; ML=7,35×1022 kgM_L = 7{,}35 \times 10^{22}\ \text{kg} ; distance centre à centre d=3,844×108 md = 3{,}844 \times 10^{8}\ \text{m}.

  1. F=G MT×MLd2F = G\,\dfrac{M_T \times M_L}{d^{2}}
  2. ==6,67×10−11×5,97×1024×7,35×1022(3,844×108)26{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{5{,}97 \times 10^{24} \times 7{,}35 \times 10^{22}}{\left(3{,}844 \times 10^{8}\right)^{2}}
  3. ==6,67×10−11×4,39×10471,478×10176{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{4{,}39 \times 10^{47}}{1{,}478 \times 10^{17}}produit des masses au numérateur, carré de dd au dénominateur
  4. ≈\approx1,98×1020 N1{,}98 \times 10^{20}\ \text{N}

La Terre et la Lune s'attirent avec une force d'environ 198198 trillions de milliards de newtons — un nombre proprement inimaginable, et pourtant minuscule comparé à ce que produiraient des masses aussi énormes rapprochées à quelques mètres l'une de l'autre.

Exemple — force d'attraction Terre-Soleil

Données : MS=1,99×1030 kgM_S = 1{,}99 \times 10^{30}\ \text{kg} ; MT=5,97×1024 kgM_T = 5{,}97 \times 10^{24}\ \text{kg} ; d=1,496×1011 md = 1{,}496 \times 10^{11}\ \text{m} (distance Terre-Soleil).

  1. F=G MS×MTd2F = G\,\dfrac{M_S \times M_T}{d^{2}}
  2. ==6,67×10−11×1,99×1030×5,97×1024(1,496×1011)26{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{1{,}99 \times 10^{30} \times 5{,}97 \times 10^{24}}{\left(1{,}496 \times 10^{11}\right)^{2}}
  3. ≈\approx3,54×1022 N3{,}54 \times 10^{22}\ \text{N}

C'est cette force colossale qui incurve en permanence la trajectoire de la Terre et l'empêche de filer en ligne droite dans l'espace : elle « tombe » sans cesse vers le Soleil, sans jamais l'atteindre. Tu retrouveras cette idée à la section 5.

Physique & Co — La pomme de Newton

La légende veut qu'en 1666, réfugié dans la propriété familiale de Woolsthorpe pour fuir une épidémie de peste qui a fermé l'université de Cambridge, le jeune Isaac Newton (1642-1727) ait vu tomber une pomme et se soit demandé si la force qui l'attirait vers le sol pouvait être la même que celle qui retient la Lune sur son orbite. L'anecdote, rapportée bien plus tard par Voltaire, est sans doute enjolivée — mais l'idée, elle, est bien réelle : il faudra pourtant attendre 1687 et la publication des Principia pour que Newton formule complètement sa loi de la gravitation universelle.

2Champ de pesanteur

Sur Terre, tu n'as jamais besoin de recalculer la force d'attraction entre toi et la planète entière : une grandeur plus pratique, le champ de pesanteur, résume tout l'effet de cette attraction en un seul nombre, valable pour n'importe quel objet placé au même endroit.

2.1  Définition

Définition

En un point de l'espace situé au voisinage d'un astre, on appelle champ de pesanteur, noté gg, le rapport entre le poids PP d'un corps placé en ce point et sa masse mm :

g=Pmg = \dfrac{P}{m}

gg s'exprime en N⋅kg−1\text{N·kg}^{-1}, unité équivalente au m⋅s−2\text{m·s}^{-2} (unité d'une accélération). En un lieu donné, gg est le même pour tous les corps, quelle que soit leur masse.

Le champ de pesanteur est radial : il pointe toujours vers le centre de la Terre centre g g en chaque point, le vecteur g (donc le poids) pointe vers le centre : c'est la « verticale du lieu »
Figure 2 — En tout point autour de la Terre, le champ de pesanteur g⃗\vec g — donc le poids P⃗=mg⃗\vec P = m\vec g de tout objet — pointe vers le centre de la Terre : la « verticale » n'a donc pas une direction absolue unique dans l'espace, mais dépend du lieu où l'on se trouve.

2.2  Expression de gg à partir de la loi de gravitation

Le champ de pesanteur n'est pas une grandeur indépendante : il découle directement de la loi de la gravitation universelle. Voici comment on le démontre.

Démonstration — g=GMR2g = \dfrac{GM}{R^{2}}

On considère un objet de masse mm, posé à la surface d'un astre sphérique et homogène de masse MM et de rayon RR. Le poids de cet objet peut s'écrire de deux façons équivalentes.

  1. par définition du champ de pesanteur : P=m×gP = m \times g
  2. le poids est la force de gravitation exercée par l'astre : P=G M×mR2P = G\,\dfrac{M \times m}{R^{2}}l'objet est en surface, donc à une distance RR du centre
  3. ⇒\Rightarrowm×g=G M×mR2m \times g = G\,\dfrac{M \times m}{R^{2}}deux expressions de la même force
  4. ⇒\Rightarrowg=G MR2g = G\,\dfrac{M}{R^{2}}on simplifie par mm, non nul

Le résultat est remarquable : gg ne dépend pas de la masse mm de l'objet posé, uniquement des caractéristiques de l'astre (MM et RR). C'est pourquoi, dans le vide, une plume et un marteau tombent avec exactement la même accélération. C.Q.F.D.

Exemple — retrouver g≈9,8 m⋅s−2g \approx 9{,}8\ \text{m·s}^{-2} à la surface de la Terre

Données : MT=5,97×1024 kgM_T = 5{,}97 \times 10^{24}\ \text{kg} ; RT=6,37×106 mR_T = 6{,}37 \times 10^{6}\ \text{m}.

  1. g=G MTRT2g = G\,\dfrac{M_T}{R_T^{2}}
  2. ==6,67×10−11×5,97×1024(6,37×106)26{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{5{,}97 \times 10^{24}}{\left(6{,}37 \times 10^{6}\right)^{2}}
  3. ==6,67×10−11×5,97×10244,058×10136{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{5{,}97 \times 10^{24}}{4{,}058 \times 10^{13}}
  4. ≈\approx9,81 m⋅s−29{,}81\ \text{m·s}^{-2}

On retrouve la valeur usuelle g≈9,8 m⋅s−2g \approx 9{,}8\ \text{m·s}^{-2} — mais on sait désormais d'où elle vient.

Exemple — « peser » la Terre à partir de gg

La formule g=G MR2g = G\,\dfrac{M}{R^{2}} se lit aussi à l'envers : connaissant gg, RR et GG, on en déduit la masse de l'astre, sans jamais poser la Terre sur une balance !

  1. g=G MR2⇒M=g×R2Gg = G\,\dfrac{M}{R^{2}} \Rightarrow M = \dfrac{g \times R^{2}}{G}
  2. ==9,8×(6,37×106)26,67×10−11\dfrac{9{,}8 \times \left(6{,}37 \times 10^{6}\right)^{2}}{6{,}67 \times 10^{-11}}
  3. ==9,8×4,058×10136,67×10−11\dfrac{9{,}8 \times 4{,}058 \times 10^{13}}{6{,}67 \times 10^{-11}}
  4. ≈\approx5,96×1024 kg5{,}96 \times 10^{24}\ \text{kg}
Physique & Co — Cavendish « pèse » la Terre

En 1798, le physicien britannique Henry Cavendish (1731-1810) réalise à Londres une expérience d'une précision extraordinaire pour l'époque : à l'aide d'une balance de torsion, il mesure directement l'attraction entre deux petites sphères de plomb et deux plus grosses. Il en déduit la première valeur connue de la constante GG, et donc — grâce à la formule M=gR2GM = \dfrac{gR^{2}}{G} — la masse de la Terre entière. Il publia ses travaux sous le titre modeste Experiments to determine the density of the Earth (« Expériences pour déterminer la densité de la Terre »).

Attention

Ce chapitre suppose la Terre parfaitement sphérique et homogène. En réalité, elle est légèrement aplatie aux pôles, si bien que gg varie un peu avec la latitude : environ 9,78 m⋅s−29{,}78\ \text{m·s}^{-2} à l'équateur contre 9,83 m⋅s−29{,}83\ \text{m·s}^{-2} aux pôles. On retient dans ce cours la valeur moyenne g≈9,8 m⋅s−2g \approx 9{,}8\ \text{m·s}^{-2} à la surface terrestre.

3Poids et masse

Tu viens de voir que le champ de pesanteur gg caractérise un lieu, indépendamment de l'objet posé. Associé à la masse mm d'un objet précis, il donne naissance à une force bien connue : son poids.

3.1  Le poids, une force

Définition

Le poids d'un corps de masse mm, placé en un point où le champ de pesanteur vaut g⃗\vec g, est la force :

P⃗=m g⃗\vec P = m\,\vec g

  • direction : la verticale du lieu (celle d'un fil à plomb) ;
  • sens : vers le bas, c'est-à-dire vers le centre de l'astre (voir Figure 2) ;
  • point d'application : le centre de gravité du corps ;
  • intensité : P=m×gP = m \times g, avec mm en kg, gg en N⋅kg−1\text{N·kg}^{-1} et PP en newtons (N).
Méthode — calculer un poids

1. Repérer la masse mm de l'objet, en kilogrammes (convertir si besoin : 11 g =10−3= 10^{-3} kg, 11 t =103= 10^{3} kg). 2. Repérer le champ de pesanteur gg du lieu considéré (Terre, Lune, Mars…), en N⋅kg−1\text{N·kg}^{-1}. 3. Calculer P=m×gP = m \times g ; le résultat s'exprime en newtons.

Exemple — le poids d'une élève sur Terre

Fatou a une masse m=65 kgm = 65\ \text{kg}. On prend g=9,8 N⋅kg−1g = 9{,}8\ \text{N·kg}^{-1} sur Terre.

  1. P=m×gP = m \times g
  2. ==65×9,865 \times 9{,}8
  3. ==637 N637\ \text{N}

Le poids de Fatou, sur Terre, vaut 637637 N. Sa masse, elle, reste 6565 kg — partout dans l'Univers.

3.2  Masse et poids : ne pas confondre

Le langage courant dit « je pèse 65 kg » — la physique, elle, distingue rigoureusement deux grandeurs de nature totalement différente.

Propriété
Masse mmPoids P⃗\vec P
Naturegrandeur scalaire (un nombre)grandeur vectorielle (une force)
Unité SIkilogramme (kg)newton (N)
Appareil de mesurebalance à plateaux (compare deux masses)dynamomètre (mesure une force)
Variabilitéinvariable : la quantité de matière ne change pasvariable : dépend de gg, donc du lieu
Attention

Dire « je pèse 65 kg » est un abus de langage très répandu. En toute rigueur, 6565 kg est ta masse ; ton poids, lui, s'exprime en newtons (637637 N environ sur Terre). Cette confusion n'a aucune conséquence dans la vie courante tant qu'on reste sur Terre — mais elle devient fausse dès qu'on change d'astre : ta masse ne bouge pas, ton poids si.

Exemple — le poids de Fatou sur la Lune

Fatou emporte sa masse m=65 kgm = 65\ \text{kg} sur la Lune, où gL≈1,62 N⋅kg−1g_L \approx 1{,}62\ \text{N·kg}^{-1}.

  1. PL=m×gLP_L = m \times g_L
  2. ==65×1,6265 \times 1{,}62
  3. ≈\approx105 N105\ \text{N}

Même masse (6565 kg), mais un poids presque six fois plus faible qu'sur Terre (105105 N contre 637637 N) : c'est ce qui explique les bonds spectaculaires des astronautes d'Apollo à la surface lunaire.

Balance à plateaux et dynamomètre : deux instruments, deux grandeurs Sur Terre (g = 9,8 N/kg) Sur la Lune (g = 1,62 N/kg) 1 kg 1 kg balance à plateaux équilibre : 1 kg = 1 kg 1 kg 1 kg balance à plateaux équilibre : 1 kg = 1 kg 10 5 0 Force (N) 10 5 0 P ≈ 9,8 N P ≈ 1,62 N dynamomètre (1 kg accroché) dynamomètre (1 kg accroché)
Figure 3 — Pour un même objet de 11 kg : la balance à plateaux compare deux masses et affiche le même résultat sur la Terre et sur la Lune ; le dynamomètre mesure une force (le poids) et indique un allongement très différent, car il dépend de gg.

4Variation de g avec l'altitude et l'astre

La formule g=G MR2g = G\,\dfrac{M}{R^{2}}, établie à la section précédente, permet de comprendre pourquoi gg n'est ni universel, ni constant : il dépend à la fois de l'astre sur lequel on se trouve, et de l'altitude à laquelle on s'élève au-dessus de sa surface.

4.1  Variation avec l'altitude

Propriété

À une altitude hh au-dessus de la surface d'un astre de masse MM et de rayon RR, un objet se trouve à une distance R+hR + h du centre de l'astre. Le champ de pesanteur y vaut donc :

g(h)=G M(R+h)2g(h) = G\,\dfrac{M}{\left(R + h\right)^{2}}

Quand hh augmente, R+hR + h augmente, donc g(h)g(h) diminue : la pesanteur s'affaiblit avec l'altitude.

Exemple — pesanteur à l'altitude de la Station spatiale internationale

La Station spatiale internationale (ISS) orbite à h=400 kmh = 400\ \text{km} au-dessus de la Terre.

  1. g(h)=G MT(RT+h)2g(h) = G\,\dfrac{M_T}{\left(R_T + h\right)^{2}}
  2. ==6,67×10−11×5,97×1024(6,37×106+0,40×106)26{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{5{,}97 \times 10^{24}}{\left(6{,}37 \times 10^{6} + 0{,}40 \times 10^{6}\right)^{2}}
  3. ==6,67×10−11×5,97×1024(6,77×106)26{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{5{,}97 \times 10^{24}}{\left(6{,}77 \times 10^{6}\right)^{2}}
  4. ≈\approx8,69 m⋅s−28{,}69\ \text{m·s}^{-2}

À 400400 km d'altitude, la pesanteur ne vaut encore que 8,69 m⋅s−28{,}69\ \text{m·s}^{-2}, soit 89 %89\ \% de sa valeur au sol : elle est affaiblie, mais loin d'avoir disparu. Tu reverras ce résultat important à la section 5.

Altitude hh00 km (sol)400400 km1 0001\,000 km2 0002\,000 km6 0006\,000 km
g(h)g(h) en m⋅s−2\text{m·s}^{-2}9,819{,}818,698{,}697,337{,}335,685{,}682,602{,}60
0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 altitude h (km) 0 2 4 6 8 10 g (m·s⁻²) sol : 9,81 ISS (~400 km) : 8,69
Figure 4 — Le champ de pesanteur terrestre g(h)=G MT(RT+h)2g(h) = G\,\dfrac{M_T}{(R_T+h)^{2}} décroît avec l'altitude, mais lentement : même à 6 0006\,000 km, il ne s'annule pas.

4.2  Variation avec l'astre

À altitude nulle (h=0h = 0), la formule redevient g=G MR2g = G\,\dfrac{M}{R^{2}} : gg dépend alors uniquement de la masse MM et du rayon RR de l'astre considéré. Deux astres de masses comparables peuvent avoir des pesanteurs très différentes si leurs rayons diffèrent, et inversement.

AstreMasse MM (kg)Rayon RR (km)g=GM/R2g = G M/R^{2}
Terre5,97×10245{,}97 \times 10^{24}6 3716\,3719,8 m⋅s−29{,}8\ \text{m·s}^{-2}
Lune7,35×10227{,}35 \times 10^{22}1 7371\,7371,62 m⋅s−21{,}62\ \text{m·s}^{-2}
Mars6,42×10236{,}42 \times 10^{23}3 3903\,3903,73 m⋅s−23{,}73\ \text{m·s}^{-2}
Exemple — pesanteur à la surface de la Lune
  1. gL=G MLRL2g_L = G\,\dfrac{M_L}{R_L^{2}}
  2. ==6,67×10−11×7,35×1022(1,737×106)26{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{7{,}35 \times 10^{22}}{\left(1{,}737 \times 10^{6}\right)^{2}}
  3. ==6,67×10−11×7,35×10223,017×10126{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{7{,}35 \times 10^{22}}{3{,}017 \times 10^{12}}
  4. ≈\approx1,62 m⋅s−21{,}62\ \text{m·s}^{-2}

Bien que la Lune soit 8181 fois moins massive que la Terre, elle n'est aussi que 3,73{,}7 fois plus petite : le rapport M/R2M/R^{2} donne un gg d'environ un sixième de celui de la Terre — pas un centième, comme la seule masse pourrait le laisser croire.

Exemple — pesanteur à la surface de Mars
  1. gMars=G MMarsRMars2g_{Mars} = G\,\dfrac{M_{Mars}}{R_{Mars}^{2}}
  2. ==6,67×10−11×6,42×1023(3,39×106)26{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{6{,}42 \times 10^{23}}{\left(3{,}39 \times 10^{6}\right)^{2}}
  3. ==6,67×10−11×6,42×10231,149×10136{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{6{,}42 \times 10^{23}}{1{,}149 \times 10^{13}}
  4. ≈\approx3,73 m⋅s−23{,}73\ \text{m·s}^{-2}

Sur Mars, un objet pèse environ 38 %38\ \% de son poids terrestre — ce que devront anticiper les futurs équipages martiens pour concevoir leurs combinaisons et leurs véhicules.

5Satellites et mouvement des planètes (approche)

Tu viens de voir qu'à 400400 km d'altitude, la pesanteur terrestre vaut encore 8,69 m⋅s−28{,}69\ \text{m·s}^{-2}, presque autant qu'au sol. Alors pourquoi les astronautes de l'ISS flottent-ils, et pourquoi la Station ne s'écrase-t-elle jamais sur nos têtes ?

5.1  Qu'est-ce qu'un satellite ?

Définition

Un satellite est un corps qui décrit une trajectoire fermée (souvent proche d'un cercle) autour d'un astre, sous l'effet de l'attraction gravitationnelle de celui-ci. On distingue :

  • les satellites naturels, comme la Lune autour de la Terre ;
  • les satellites artificiels, fabriqués et lancés par une fusée : satellites d'orbite basse (quelques centaines de km, comme l'ISS à 400400 km) et satellites géostationnaires (≈36 000\approx 36\,000 km d'altitude), dont la période de révolution vaut exactement 2424 h — ils semblent donc immobiles dans le ciel, ce qui les rend indispensables aux télécommunications et à la télévision.

5.2  Pourquoi un satellite ne tombe-t-il pas ?

Propriété

Un satellite en orbite circulaire est perpétuellement attiré vers l'astre par son poids : c'est cette force, dirigée à chaque instant vers le centre de l'astre, qui incurve continuellement sa trajectoire et la transforme en cercle. Sans cette attraction, le satellite filerait tout droit, à vitesse constante, en ligne droite.

L'idée clé, déjà imaginée par Newton, est celle d'une chute perpétuelle : un satellite est constamment en train de « tomber » vers l'astre, mais sa vitesse horizontale est si grande que le sol se dérobe sous lui à la même vitesse que sa chute — il tombe donc sans jamais se rapprocher du sol. C'est exactement le principe qui permit, en 1957, la mise en orbite de Spoutnik 1, premier satellite artificiel de l'histoire.

Un satellite est en chute perpétuelle autour de la Terre Terre v (vitesse) P (poids) orbite (trajectoire quasi circulaire) à chaque instant, le poids incurve la trajectoire : le satellite « rate » sans cesse le sol
Figure 5 — Sur son orbite, le satellite possède une vitesse v⃗\vec v tangente à la trajectoire ; son poids P⃗\vec P, dirigé vers le centre de la Terre, incurve continuellement cette trajectoire en cercle.
Attention

« Apesanteur » ne signifie pas « absence de pesanteur » ! À 400400 km d'altitude, gg vaut encore 8,69 m⋅s−28{,}69\ \text{m·s}^{-2} (Figure 4) : les astronautes de l'ISS ont bien un poids. S'ils flottent, c'est parce qu'eux et la Station sont en chute libre ensemble, à la même vitesse : plus rien ne les presse contre le plancher. On parle plus justement d'impesanteur.

Ce même principe — une masse attirée en permanence par une autre, sur une trajectoire courbe — explique aussi le mouvement des planètes autour du Soleil : la Terre, comme tous les satellites, est perpétuellement « en chute » vers le Soleil (rappelle-toi la force calculée en section 1 : 3,54×10223{,}54 \times 10^{22} N), sans jamais l'atteindre. C'est l'unification, par Newton, du mouvement des astres et de la chute des corps qui fait de la gravitation universelle l'une des lois les plus puissantes de toute la physique.

6Interaction électrostatique par analogie

Pour finir ce chapitre, il est temps de tenir la promesse de l'introduction : il existe, à l'échelle des charges électriques, une force qui ressemble étonnamment à la gravitation universelle — au point d'avoir exactement la même forme mathématique.

6.1  La loi de Coulomb

Définition

Deux charges électriques ponctuelles q1q_1 et q2q_2 (en coulombs, C), séparées par une distance dd (en m), exercent l'une sur l'autre une force électrique d'intensité :

F=k ∣q1×q2∣d2F = k\,\dfrac{\left|q_1 \times q_2\right|}{d^{2}}

où kk est la constante de Coulomb :

k=9×109 N⋅m2⋅C−2k = 9 \times 10^{9}\ \text{N·m}^{2}\text{·C}^{-2}

Cette force est attractive si q1q_1 et q2q_2 sont de signes opposés, et répulsive s'ils sont de même signe.

6.2  Comparaison gravitation / électrostatique

Propriété
GravitationÉlectrostatique
FormuleF=Gm1m2d2F = G\dfrac{m_1 m_2}{d^{2}}F=k∣q1q2∣d2F = k\dfrac{|q_1 q_2|}{d^{2}}
Grandeur sourcemasse mm (toujours positive)charge qq (positive ou négative)
Sens de la forcetoujours attractiveattractive ou répulsive
Directiondroite joignant les centresdroite joignant les charges
Réciprocitémême intensité sur les deux massesmême intensité sur les deux charges

Les deux lois partagent la même structure en 1/d21/d^{2} : c'est pourquoi on les regroupe sous le nom de lois en carré inverse. Mais leurs intensités respectives n'ont, elles, absolument rien de comparable — comme le montre l'exemple suivant.

Exemple — gravitation contre électricité dans l'atome d'hydrogène

Un atome d'hydrogène est formé d'un proton (mp=1,67×10−27 kgm_p = 1{,}67 \times 10^{-27}\ \text{kg}, charge +e+e) et d'un électron (me=9,11×10−31 kgm_e = 9{,}11 \times 10^{-31}\ \text{kg}, charge −e-e), avec e=1,6×10−19 Ce = 1{,}6 \times 10^{-19}\ \text{C}, séparés d'environ d=5,3×10−11 md = 5{,}3 \times 10^{-11}\ \text{m}.

  1. Felec=k e2d2=9×109×(1,6×10−19)2(5,3×10−11)2F_{elec} = k\,\dfrac{e^{2}}{d^{2}} = 9 \times 10^{9} \times \dfrac{\left(1{,}6 \times 10^{-19}\right)^{2}}{\left(5{,}3 \times 10^{-11}\right)^{2}}
  2. ≈\approx8,2×10−8 N8{,}2 \times 10^{-8}\ \text{N}
  3. Fgrav=G mp×med2=6,67×10−11×1,67×10−27×9,11×10−31(5,3×10−11)2F_{grav} = G\,\dfrac{m_p \times m_e}{d^{2}} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{1{,}67 \times 10^{-27} \times 9{,}11 \times 10^{-31}}{\left(5{,}3 \times 10^{-11}\right)^{2}}
  4. ≈\approx3,6×10−47 N3{,}6 \times 10^{-47}\ \text{N}
  5. ⇒\RightarrowFelecFgrav≈2×1039\dfrac{F_{elec}}{F_{grav}} \approx 2 \times 10^{39}

Dans l'atome, la force électrique est environ 2×10392 \times 10^{39} fois plus intense que la force gravitationnelle : à cette échelle, la gravitation est totalement négligeable. Si la gravitation domine pourtant à l'échelle des planètes et des étoiles, c'est uniquement parce que la matière y est électriquement neutre (autant de charges ++ que de charges −-), alors que les masses, elles, s'additionnent toujours.

Physique & Co — Coulomb et la balance de torsion

C'est en 1785 que le physicien français Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806) établit expérimentalement, à l'aide d'une balance de torsion de son invention, que la force entre deux charges électriques varie comme l'inverse du carré de leur distance — exactement treize ans avant que Cavendish n'utilise un appareil similaire pour mesurer GG. Les deux expériences, menées à quelques années d'écart, ont confirmé la profonde parenté mathématique entre gravitation et électrostatique.

Fiche mémo

  • Gravitation : F=G m1m2d2F = G\,\dfrac{m_1 m_2}{d^{2}}, toujours attractive, le long de la droite des centres, même intensité sur les deux masses (3ᵉ loi de Newton).
  • G=6,67×10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^{2}\text{·kg}^{-2} (constante universelle).
  • Champ de pesanteur : g=Pmg = \dfrac{P}{m}, en N⋅kg−1\text{N·kg}^{-1} ou m⋅s−2\text{m·s}^{-2} ; même valeur pour tous les objets en un lieu donné.
  • Démonstration clé : g=G MR2g = G\,\dfrac{M}{R^{2}} à la surface d'un astre (masse MM, rayon RR).
  • En altitude hh : g(h)=G M(R+h)2g(h) = G\,\dfrac{M}{(R+h)^{2}} — décroît quand hh augmente, sans jamais s'annuler.
  • Poids : P⃗=mg⃗\vec P = m\vec g, vecteur, verticale du lieu, vers le centre de l'astre ; unité newton (N).
  • Masse (kg, scalaire, invariable) ≠\neq poids (N, vecteur, variable avec gg) : ne jamais les confondre.
  • Sur Terre g≈9,8 m⋅s−2g \approx 9{,}8\ \text{m·s}^{-2} ; sur la Lune g≈1,62 m⋅s−2g \approx 1{,}62\ \text{m·s}^{-2} (environ 1/61/6) ; sur Mars g≈3,73 m⋅s−2g \approx 3{,}73\ \text{m·s}^{-2}.
  • Un satellite reste en orbite car son poids incurve continuellement sa trajectoire : « chute perpétuelle ».
  • Impesanteur ≠\neq absence de pesanteur : en orbite basse, gg reste proche de sa valeur au sol.
  • Coulomb : F=k ∣q1q2∣d2F = k\,\dfrac{|q_1 q_2|}{d^{2}}, k=9×109 N⋅m2⋅C−2k = 9 \times 10^{9}\ \text{N·m}^{2}\text{·C}^{-2}, attractive ou répulsive selon les signes des charges.
  • À l'échelle atomique, la force électrique domine très largement la gravitation (facteur ≈1039\approx 10^{39}) ; à l'échelle astronomique, c'est l'inverse, car la matière y est globalement neutre.

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Calcule l'intensité de la force gravitationnelle entre deux boules de pétanque, assimilées à des masses ponctuelles de 700700 g chacune, posées à 3030 cm l'une de l'autre.

Voir le corrigé détaillé

On convertit : m1=m2=0,7 kgm_1 = m_2 = 0{,}7\ \text{kg} ; d=0,30 md = 0{,}30\ \text{m}.

  1. F=G m1×m2d2F = G\,\dfrac{m_1 \times m_2}{d^{2}}
  2. ==6,67×10−11×0,7×0,70,3026{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{0{,}7 \times 0{,}7}{0{,}30^{2}}
  3. ==6,67×10−11×0,490,096{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{0{,}49}{0{,}09}
  4. ≈\approx3,63×10−10 N3{,}63 \times 10^{-10}\ \text{N}

Une force totalement imperceptible : c'est pourquoi on ne « sent » jamais la gravitation entre objets du quotidien.

2

Calcule le poids d'un sac de ciment de masse 5050 kg, sur Terre (g=9,8 N⋅kg−1g = 9{,}8\ \text{N·kg}^{-1}).

Voir le corrigé détaillé
  1. P=m×gP = m \times g
  2. ==50×9,850 \times 9{,}8
  3. ==490 N490\ \text{N}
3

Vénus a pour masse MV=4,87×1024 kgM_V = 4{,}87 \times 10^{24}\ \text{kg} et pour rayon RV=6,05×106 mR_V = 6{,}05 \times 10^{6}\ \text{m}. Calcule le champ de pesanteur à sa surface.

Voir le corrigé détaillé
  1. gV=G MVRV2g_V = G\,\dfrac{M_V}{R_V^{2}}
  2. ==6,67×10−11×4,87×1024(6,05×106)26{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{4{,}87 \times 10^{24}}{\left(6{,}05 \times 10^{6}\right)^{2}}
  3. ==6,67×10−11×4,87×10243,660×10136{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{4{,}87 \times 10^{24}}{3{,}660 \times 10^{13}}
  4. ≈\approx8,88 m⋅s−28{,}88\ \text{m·s}^{-2}

Vénus a une pesanteur très proche de celle de la Terre — logique, car sa masse et son rayon sont eux aussi très proches des valeurs terrestres.

4

Un objet de masse 5050 kg est transporté sur la Lune puis sur Mars. Calcule son poids sur chacun de ces deux astres (gLune=1,62 N⋅kg−1g_{Lune} = 1{,}62\ \text{N·kg}^{-1} ; gMars=3,73 N⋅kg−1g_{Mars} = 3{,}73\ \text{N·kg}^{-1}).

Voir le corrigé détaillé
  1. PLune=50×1,62=81 NP_{Lune} = 50 \times 1{,}62 = 81\ \text{N}
  2. PMars=50×3,73=186,5 NP_{Mars} = 50 \times 3{,}73 = 186{,}5\ \text{N}

La masse de l'objet, elle, reste 5050 kg sur les deux astres.

5

a) « Ce colis pèse 12 kg », lit-on sur une étiquette. Quelle est en réalité la masse du colis ? Quel est son poids sur Terre ? b) Une élève affirme que son poids ne changerait pas si elle allait sur la Lune. A-t-elle raison ? Justifie.

Voir le corrigé détaillé

a) Malgré le verbe « peser », 1212 kg est bien une masse (kg est une unité de masse). Le poids correspondant sur Terre :

  1. P=12×9,8=117,6 NP = 12 \times 9{,}8 = 117{,}6\ \text{N}

b) Elle a tort : sa masse resterait la même, mais son poids, lui, dépend de gg qui change d'un astre à l'autre. Sur la Lune, son poids serait environ 66 fois plus faible.

Niveau 2 — Approfondissement
6

Deux satellites artificiels, assimilés à des masses ponctuelles m1=800m_1 = 800 kg et m2=1 200m_2 = 1\,200 kg, distants de d=50d = 50 m, s'attirent avec une force F=2,56×10−8F = 2{,}56 \times 10^{-8} N. Calcule la valeur de GG que l'on peut en déduire, et compare-la à la valeur connue.

Voir le corrigé détaillé

On isole GG dans la loi de gravitation.

  1. F=G m1m2d2⇒G=F×d2m1×m2F = G\,\dfrac{m_1 m_2}{d^{2}} \Rightarrow G = \dfrac{F \times d^{2}}{m_1 \times m_2}
  2. ==2,56×10−8×502800×1 200\dfrac{2{,}56 \times 10^{-8} \times 50^{2}}{800 \times 1\,200}
  3. ==2,56×10−8×2 5009,6×105\dfrac{2{,}56 \times 10^{-8} \times 2\,500}{9{,}6 \times 10^{5}}
  4. ≈\approx6,67×10−11 N⋅m2⋅kg−26{,}67 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^{2}\text{·kg}^{-2}

On retrouve exactement la constante de gravitation universelle du cours.

7

Un ballon-sonde s'élève à h=12h = 12 km d'altitude (RT=6 370R_T = 6\,370 km). Calcule gg à cette altitude, puis le pourcentage de diminution par rapport au sol (gsol=9,81 m⋅s−2g_{sol} = 9{,}81\ \text{m·s}^{-2}).

Voir le corrigé détaillé
  1. g(h)=G MT(RT+h)2=6,67×10−11×5,97×1024(6,382×106)2g(h) = G\,\dfrac{M_T}{\left(R_T+h\right)^{2}} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{5{,}97 \times 10^{24}}{\left(6{,}382 \times 10^{6}\right)^{2}}
  2. ≈\approx9,78 m⋅s−29{,}78\ \text{m·s}^{-2}
  3. diminution =9,81−9,789,81×100= \dfrac{9{,}81 - 9{,}78}{9{,}81} \times 100
  4. ≈\approx0,3 %0{,}3\ \%

À l'altitude d'un avion de ligne, gg a à peine changé : 1212 km reste négligeable devant RT=6 370R_T = 6\,370 km.

8

Une exoplanète a une masse double et un rayon double de ceux de la Terre. Exprime son champ de pesanteur g′g' en fonction de gg (champ terrestre), sans calcul numérique.

Voir le corrigé détaillé
  1. g′=G 2M(2R)2g' = G\,\dfrac{2M}{\left(2R\right)^{2}}
  2. ==G 2M4R2G\,\dfrac{2M}{4R^{2}}
  3. ==12×G MR2\dfrac{1}{2} \times G\,\dfrac{M}{R^{2}}
  4. ⇒\Rightarrowg′=g2g' = \dfrac{g}{2}

Doubler la masse et le rayon ne double pas gg : le rayon intervient au carré, il « pèse » deux fois plus lourd dans le calcul que la masse.

9

Deux charges ponctuelles identiques qq sont distantes de d=2,0d = 2{,}0 cm et se repoussent avec une force F=0,90F = 0{,}90 N. Calcule la valeur de qq.

Voir le corrigé détaillé
  1. F=k q2d2⇒q2=F×d2kF = k\,\dfrac{q^{2}}{d^{2}} \Rightarrow q^{2} = \dfrac{F \times d^{2}}{k}
  2. ==0,90×(2,0×10−2)29×109\dfrac{0{,}90 \times \left(2{,}0 \times 10^{-2}\right)^{2}}{9 \times 10^{9}}
  3. ==0,90×4,0×10−49×109\dfrac{0{,}90 \times 4{,}0 \times 10^{-4}}{9 \times 10^{9}}
  4. ==4,0×10−14 C24{,}0 \times 10^{-14}\ \text{C}^{2}
  5. ⇒\Rightarrowq=4,0×10−14≈2,0×10−7 Cq = \sqrt{4{,}0 \times 10^{-14}} \approx 2{,}0 \times 10^{-7}\ \text{C}

Ces deux charges étant identiques et se repoussant, elles portent le même signe.

Niveau 3 — Défi
10

Une exoplanète a un rayon R=8 000R = 8\,000 km et une pesanteur de surface g=12,0 m⋅s−2g = 12{,}0\ \text{m·s}^{-2}.

  1. Calcule la masse MM de cette exoplanète.
  2. Un rover de masse 180180 kg s'y pose. Calcule son poids.
  3. Ce même rover a un poids de 1 7641\,764 N sur Terre. Calcule le rapport entre son poids sur l'exoplanète et son poids sur Terre, et commente.
Voir le corrigé détaillé

1. On isole MM dans g=GM/R2g = GM/R^{2}.

  1. M=g×R2GM = \dfrac{g \times R^{2}}{G}
  2. ==12,0×(8,0×106)26,67×10−11\dfrac{12{,}0 \times \left(8{,}0 \times 10^{6}\right)^{2}}{6{,}67 \times 10^{-11}}
  3. ==12,0×6,4×10136,67×10−11\dfrac{12{,}0 \times 6{,}4 \times 10^{13}}{6{,}67 \times 10^{-11}}
  4. ≈\approx1,15×1025 kg1{,}15 \times 10^{25}\ \text{kg}

2.

  1. P=m×g=180×12,0=2 160 NP = m \times g = 180 \times 12{,}0 = 2\,160\ \text{N}

3.

  1. PexoPTerre=2 1601 764≈1,22\dfrac{P_{exo}}{P_{Terre}} = \dfrac{2\,160}{1\,764} \approx 1{,}22

Le rover pèserait environ 22 %22\ \% de plus sur cette exoplanète que sur Terre, bien que sa masse (180180 kg) reste identique.

11

À quelle altitude hh au-dessus de la Terre le champ de pesanteur devient-il égal à la moitié de sa valeur au sol ? Exprime hh en fonction de RTR_T, puis calcule sa valeur numérique (RT=6 370R_T = 6\,370 km).

Voir le corrigé détaillé
  1. g(h)=gsol2⇒G M(RT+h)2=12 G MRT2g(h) = \dfrac{g_{sol}}{2} \Rightarrow G\,\dfrac{M}{\left(R_T+h\right)^{2}} = \dfrac{1}{2}\,G\,\dfrac{M}{R_T^{2}}
  2. ⇒\Rightarrow(RT+h)2=2 RT2\left(R_T+h\right)^{2} = 2\,R_T^{2}on simplifie par GMGM, puis on inverse
  3. ⇒\RightarrowRT+h=RT2R_T + h = R_T\sqrt{2}on ne garde que la racine positive, RT+h>0R_T+h > 0
  4. ⇒\Rightarrowh=RT(2−1)h = R_T\left(\sqrt{2} - 1\right)
  5. ≈\approx6 370×0,414≈2 637 km6\,370 \times 0{,}414 \approx 2\,637\ \text{km}

Il faut s'éloigner de plus de 2 6002\,600 km — quatre fois plus haut que l'ISS — pour que la pesanteur soit divisée par deux.

12

Montre, sans calculer numériquement FelecF_{elec} et FgravF_{grav} séparément, que le rapport FelecFgrav\dfrac{F_{elec}}{F_{grav}} entre un proton et un électron distants de dd ne dépend pas de dd.

Voir le corrigé détaillé
  1. Felec=k e2d2F_{elec} = k\,\dfrac{e^{2}}{d^{2}} et Fgrav=G mpmed2F_{grav} = G\,\dfrac{m_p m_e}{d^{2}}
  2. ⇒\RightarrowFelecFgrav=k e2/d2G mpme/d2\dfrac{F_{elec}}{F_{grav}} = \dfrac{k\,e^{2}/d^{2}}{G\,m_p m_e/d^{2}}
  3. ==k e2G mpme×d2d2\dfrac{k\,e^{2}}{G\,m_p m_e} \times \dfrac{d^{2}}{d^{2}}
  4. ==k e2G mpme\dfrac{k\,e^{2}}{G\,m_p m_e}le facteur d2d^{2} se simplifie totalement

Les deux forces variant exactement de la même façon en 1/d21/d^{2}, leur rapport ne dépend que des constantes kk, GG et des grandeurs propres aux particules (ee, mpm_p, mem_e) — jamais de la distance qui les sépare. C'est ce rapport, environ 2×10392 \times 10^{39} (section 6), qui est constant, quel que soit l'endroit où l'on regarde l'atome.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
13

Au marché Sandaga, à Dakar. Un commerçant vend des sacs d'arachides. Une balance à plateaux équilibre un sac avec des masses marquées totalisant 4545 kg.

  1. Quelle est la masse du sac ?
  2. Calcule son poids sur Terre.
  3. Si l'on utilisait cette même balance à plateaux sur la Lune pour peser ce sac, le résultat affiché changerait-il ? Justifie.
  4. Si l'on utilisait à la place un dynamomètre gradué en newtons, quelle différence de lecture observerait-on entre la Terre et la Lune ?
Voir le corrigé détaillé

1. Une balance à plateaux compare deux masses : elle affiche directement la masse cherchée, m=45m = 45 kg.

2.

  1. P=45×9,8=441 NP = 45 \times 9{,}8 = 441\ \text{N}

3. Non : la balance à plateaux compare deux masses, ce qui ne dépend pas de gg. Elle afficherait toujours 4545 kg sur la Lune.

4. Le dynamomètre mesure une force (le poids), qui dépend de gg : il indiquerait 441441 N sur Terre, contre 45×1,62≈72,945 \times 1{,}62 \approx 72{,}9 N sur la Lune — une différence considérable, alors que la balance à plateaux, elle, n'aurait rien changé.

14

Sur un pont, à Ndjamena. Un camion chargé traverse un pont. Sa masse totale (camion + cargaison) est de 1818 t.

  1. Convertis cette masse en kg.
  2. Calcule le poids exercé par le camion sur le pont (g=9,8 N⋅kg−1g = 9{,}8\ \text{N·kg}^{-1}).
  3. Le pont est conçu pour supporter une force maximale de 200 000200\,000 N par essieu, répartie sur les 33 essieux du camion. Le poids du camion dépasse-t-il la limite par essieu ?
Voir le corrigé détaillé

1. 18 t=18×103 kg=18 000 kg18\ \text{t} = 18 \times 10^{3}\ \text{kg} = 18\,000\ \text{kg}.

2.

  1. P=18 000×9,8=176 400 NP = 18\,000 \times 9{,}8 = 176\,400\ \text{N}

3.

  1. Pessieu=176 4003=58 800 NP_{essieu} = \dfrac{176\,400}{3} = 58\,800\ \text{N}

58 80058\,800 N est bien inférieur à la limite de 200 000200\,000 N par essieu : le camion peut traverser le pont en toute sécurité.

15

Au port autonome d'Abidjan. Une grue soulève un conteneur de masse 2424 t.

  1. Calcule le poids du conteneur.
  2. La grue peut développer une force de levage maximale de 250 000250\,000 N. Peut-elle soulever ce conteneur en toute sécurité ? Calcule la marge de sécurité en pourcentage.
  3. Dans un scénario fictif où cette grue devrait soulever un conteneur identique sur la Lune, quel poids devrait-elle soulever ?
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. P=24 000×9,8=235 200 NP = 24\,000 \times 9{,}8 = 235\,200\ \text{N}

2.

  1. 235 200 N<250 000 N235\,200\ \text{N} < 250\,000\ \text{N}la grue peut soulever le conteneur
  2. marge =250 000−235 200235 200×100= \dfrac{250\,000 - 235\,200}{235\,200} \times 100
  3. ≈\approx6,3 %6{,}3\ \%

La grue peut effectivement soulever le conteneur, mais avec une marge de sécurité assez faible (6,3 %6{,}3\ \%) : un chargement légèrement plus lourd dépasserait sa capacité.

3.

  1. PLune=24 000×1,62≈38 880 NP_{Lune} = 24\,000 \times 1{,}62 \approx 38\,880\ \text{N}
16

Télécommunications, à Bamako. Un ingénieur doit orienter une antenne vers un satellite géostationnaire, situé à l'altitude h=36 000h = 36\,000 km au-dessus de l'équateur (RT=6 370R_T = 6\,370 km).

  1. Calcule la distance dd entre le satellite et le centre de la Terre.
  2. Calcule le champ de pesanteur gg à cette altitude.
  3. Ce satellite a une masse de 1 5001\,500 kg. Calcule son poids à cette altitude, compare-le à son poids au sol, et commente en lien avec l'« impesanteur ».
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. d=RT+h=6 370+36 000=42 370 km=4,237×107 md = R_T + h = 6\,370 + 36\,000 = 42\,370\ \text{km} = 4{,}237 \times 10^{7}\ \text{m}

2.

  1. g=G MTd2=6,67×10−11×5,97×1024(4,237×107)2g = G\,\dfrac{M_T}{d^{2}} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{5{,}97 \times 10^{24}}{\left(4{,}237 \times 10^{7}\right)^{2}}
  2. ≈\approx0,222 m⋅s−20{,}222\ \text{m·s}^{-2}

3.

  1. Porbite=1 500×0,222≈333 NP_{orbite} = 1\,500 \times 0{,}222 \approx 333\ \text{N}
  2. Psol=1 500×9,8=14 700 NP_{sol} = 1\,500 \times 9{,}8 = 14\,700\ \text{N}
  3. rapport ≈33314 700≈2,3 %\approx \dfrac{333}{14\,700} \approx 2{,}3\ \%

À 36 00036\,000 km, la pesanteur ne représente plus que 2,3 %2{,}3\ \% de sa valeur au sol — elle est très faible, mais non nulle. Ce qui rend un satellite « en impesanteur » n'est donc pas l'absence de gravité, mais le fait qu'il soit en chute libre permanente autour de la Terre (section 5).

📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

Coche une réponse par question, puis clique sur « Vérifier mes réponses » : tu obtiens ta note sur 20 avec la correction détaillée de chaque question.

Quelle est l'expression de la force de gravitation universelle entre deux masses m1m_1 et m2m_2 séparées d'une distance dd ?

Explication : La force de gravitation universelle vaut F=G m1m2d2F = G\,\dfrac{m_1 m_2}{d^{2}} : proportionnelle aux deux masses, inversement proportionnelle au carré de la distance.

Quelle est la valeur de la constante de gravitation universelle GG ?

Explication : G=6,67×10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^{2}\text{·kg}^{-2} est la même pour tous les couples de masses de l'Univers. 9×1099 \times 10^{9} est la constante de Coulomb, 9,89{,}8 le champ de pesanteur terrestre.

Dans la loi de gravitation, la distance dd doit être mesurée :

Explication : dd est toujours la distance entre les centres des deux corps — jamais entre leurs surfaces. Pour deux astres, il ne faut surtout pas ajouter leurs rayons par erreur.

Deux masses m1m_1 et m2m_2 très différentes s'attirent mutuellement. Que peut-on dire des deux forces qu'elles exercent l'une sur l'autre ?

Explication : Même si m1≠m2m_1 \neq m_2, les deux forces qu'elles exercent l'une sur l'autre ont la même direction (la droite des centres), le même caractère attractif, et surtout la même intensité — c'est le principe des actions réciproques.

Deux masses ponctuelles de 500500 kg chacune sont séparées de 22 m. Quelle est l'intensité de la force gravitationnelle qui les attire (G=6,67×10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^{2}\text{·kg}^{-2}) ?

Explication : F=G m1m2d2=6,67×10−11×500×50022F = G\,\dfrac{m_1 m_2}{d^{2}} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{500 \times 500}{2^{2}}
=6,67×10−11×250 0004=6,67×10−11×62 500= 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{250\,000}{4} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 62\,500
≈4,17×10−6 N\approx 4{,}17 \times 10^{-6}\ \text{N}.

Le champ de pesanteur gg en un point est défini comme :

Explication : Le champ de pesanteur est le rapport entre le poids PP d'un corps et sa masse mm : g=Pmg = \dfrac{P}{m}, en N⋅kg−1\text{N·kg}^{-1}.

En un lieu donné, le champ de pesanteur gg :

Explication : gg caractérise le lieu, pas l'objet posé : g=GMR2g = G\dfrac{M}{R^2} ne dépend que de la masse et du rayon de l'astre. C'est pourquoi, dans le vide, une plume et un marteau tombent avec la même accélération.

En combinant P=mgP = mg et P=GMmR2P = G\dfrac{Mm}{R^{2}}, on démontre que le champ de pesanteur à la surface d'un astre de masse MM et de rayon RR vaut :

Explication : En égalant les deux expressions du poids, mg=GMmR2mg = G\dfrac{Mm}{R^2}, puis en simplifiant par mm (non nul), on obtient g=GMR2g = G\dfrac{M}{R^{2}}, qui ne dépend plus de mm.

Le poids P⃗\vec P d'un corps de masse mm placé dans un champ de pesanteur g⃗\vec g est donné par :

Explication : Le poids est le produit de la masse par le champ de pesanteur : P⃗=m g⃗\vec P = m\,\vec g, une force verticale dirigée vers le centre de l'astre.

Quelle affirmation distingue correctement la masse et le poids d'un objet ?

Explication : La masse (kg) mesure la quantité de matière et ne change jamais ; le poids (N) est une force qui dépend de gg, donc du lieu où l'on se trouve.

Un astronaute a une masse m=80m = 80 kg. Quel est son poids sur la Lune, où gL≈1,62 N⋅kg−1g_L \approx 1{,}62\ \text{N·kg}^{-1} ?

Explication : PL=m×gL=80×1,62P_L = m \times g_L = 80 \times 1{,}62
=129,6 N= 129{,}6\ \text{N}.

Quand l'altitude hh au-dessus d'un astre augmente, le champ de pesanteur g(h)=GM(R+h)2g(h) = G\dfrac{M}{(R+h)^{2}} :

Explication : Quand hh augmente, R+hR+h augmente, donc g(h)g(h) diminue — mais comme il s'agit d'un carré au dénominateur, jamais nul : la pesanteur s'affaiblit progressivement, sans jamais disparaître totalement.

Un ballon-sonde s'élève à h=12h = 12 km au-dessus du sol (RT=6 370R_T = 6\,370 km). Comment évolue gg par rapport au sol ?

Explication : g(12 km)≈9,78 m⋅s−2g(12\ \text{km}) \approx 9{,}78\ \text{m·s}^{-2} contre 9,81 m⋅s−29{,}81\ \text{m·s}^{-2} au sol, soit une baisse d'environ 0,3 %0{,}3\ \% : 1212 km reste négligeable devant RT=6 370R_T = 6\,370 km.

La Lune est 8181 fois moins massive que la Terre, mais sa pesanteur de surface gLg_L ne vaut pas 1/811/81 de gTg_T, plutôt environ 1/61/6. Pourquoi ?

Explication : gg dépend de M/R2M/R^{2}, pas seulement de MM : la Lune étant aussi 3,73{,}7 fois plus petite que la Terre, le rapport M/R2M/R^{2} donne un facteur proche de 1/61/6, et non 1/811/81.

Pourquoi un satellite en orbite circulaire autour de la Terre ne tombe-t-il jamais sur le sol ?

Explication : Le poids du satellite, dirigé vers le centre de la Terre, incurve continuellement sa trajectoire en un cercle : il « tombe » sans cesse, mais sa vitesse horizontale fait que le sol s'éloigne à la même vitesse — il ne se rapproche donc jamais du sol.

Les astronautes de l'ISS flottent dans la station, à 400400 km d'altitude. Peut-on en conclure que la pesanteur y est nulle ?

Explication : « Apesanteur » ne signifie pas absence de pesanteur : à 400400 km, g≈8,69 m⋅s−2g \approx 8{,}69\ \text{m·s}^{-2}, soit 89 %89\ \% de sa valeur au sol. Les astronautes flottent car eux et la station chutent ensemble, à la même vitesse — on parle d'impesanteur.

La loi de Coulomb, qui décrit la force électrique entre deux charges q1q_1 et q2q_2 distantes de dd, s'écrit :

Explication : La loi de Coulomb, F=k ∣q1q2∣d2F = k\,\dfrac{|q_1 q_2|}{d^{2}} avec k=9×109 N⋅m2⋅C−2k = 9 \times 10^{9}\ \text{N·m}^{2}\text{·C}^{-2}, a exactement la même forme que la loi de gravitation, mais avec des charges à la place des masses.

Quelle est la principale différence entre la force de gravitation et la force électrique de Coulomb ?

Explication : Les masses sont toujours positives, donc la gravitation est toujours attractive. Les charges peuvent être positives ou négatives, donc la force de Coulomb est attractive (charges opposées) ou répulsive (charges de même signe).

Sachant que g=GMR2g = \dfrac{GM}{R^{2}} à la surface d'un astre, quelle formule permet de « peser » cet astre (calculer sa masse MM) à partir de gg, RR et GG ?

Explication : En isolant MM dans g=GMR2g = \dfrac{GM}{R^{2}}, on obtient M=gR2GM = \dfrac{gR^{2}}{G} — c'est ainsi que Cavendish a pu « peser » la Terre en 1798, sans jamais la poser sur une balance.

Un objet de masse m=60m = 60 kg est transporté sur Mars, où gMars≈3,73 N⋅kg−1g_{Mars} \approx 3{,}73\ \text{N·kg}^{-1}. Quel est son poids sur Mars ?

Explication : PMars=m×gMars=60×3,73P_{Mars} = m \times g_{Mars} = 60 \times 3{,}73
=223,8 N= 223{,}8\ \text{N}.
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