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Grandeurs physiques, unités et mesures

Installer la rigueur du lycée : unités SI, chiffres significatifs, incertitudes.

Physique Seconde Chapitre 1 / 8 ⏱ 6 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Écrire un résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs
  • Vérifier une formule par analyse dimensionnelle
  • Exploiter un graphique expérimental

Depuis la classe de troisième, tu sais mesurer des longueurs, des masses, des durées. En Seconde, on te demande d'aller plus loin : chaque nombre que tu écris en physique doit porter une unité, s'exprimer avec le bon nombre de chiffres, et — nouveauté du lycée — s'accompagner d'une incertitude qui dit à quel point on peut lui faire confiance. Ce chapitre pose les fondations de rigueur sur lesquelles reposera tout le reste de l'année : mécanique, électricité, optique, chimie des solutions.

Ces exigences ne sont pas de la paperasse administrative. Un pharmacien de Dakar qui prépare un sirop pour enfant, un ingénieur qui dimensionne un pont sur le fleuve Sénégal, un technicien qui étalonne un appareil médical à Douala : tous doivent savoir dans quelle unité ils travaillent, avec quelle précision leur mesure est fiable, et comment vérifier qu'une formule a un sens physique avant même de calculer.

À la fin de ce chapitre, tu sauras écrire un résultat de mesure avec le nombre correct de chiffres significatifs, vérifier l'homogénéité d'une formule par analyse dimensionnelle, et exploiter un graphique expérimental pour en tirer une loi physique — trois réflexes que tout physicien garde toute sa vie.

1Grandeurs et unités SI

Avant de mesurer quoi que ce soit, il faut savoir ce qu'on mesure. C'est l'objet de cette première section.

Définition

Une grandeur physique est une propriété d'un système ou d'un phénomène que l'on peut mesurer, c'est-à-dire comparer à une grandeur de référence appelée unité. Le résultat d'un mesurage s'écrit toujours :

grandeur=valeur numeˊrique×uniteˊ\text{grandeur} = \text{valeur numérique} \times \text{unité}

Par exemple, la longueur d'une table s'écrit ℓ=1,20 m\ell = 1{,}20\ \text{m} : 1,201{,}20 est la valeur numérique, m\text{m} (mètre) est l'unité.

Une grandeur physique sans unité n'a pas de sens — sauf si elle est explicitement sans dimension (un simple rapport, par exemple). Écrire « la distance vaut 12 » ne veut rien dire : 12 mètres, 12 kilomètres et 12 années-lumière sont trois réalités totalement différentes.

1.1  Les sept unités de base du SI

Pour que les scientifiques du monde entier se comprennent, ils se sont mis d'accord sur un unique système d'unités : le Système international (SI). Il repose sur sept grandeurs de base, indépendantes les unes des autres, à partir desquelles toutes les autres unités se construisent.

Grandeur de baseSymboleUnité SISymbole de l'unité
Longueurℓ\ellmètrem
Massemmkilogrammekg
Temps (durée)ttsecondes
Intensité électriqueIIampèreA
TempératureTTkelvinK
Quantité de matièrennmolemol
Intensité lumineuseIvI_vcandelacd
Attention

Une unité s'écrit toujours avec un symbole droit (jamais en italique), sans point final, sans « s » au pluriel, et séparée du nombre par une espace : on écrit 5 kg5\ \text{kg}, jamais « 5kg » ni « 5 kgs ». Seuls les symboles formés du nom d'une personne prennent une majuscule (N pour newton, Pa pour pascal) — jamais le nom écrit en toutes lettres.

Physique & Co — Le mètre, enfant de la Révolution

Avant 1791, chaque province française avait sa toise, chaque pays sa coudée : le commerce et la science en souffraient. L'Académie des sciences décide alors de définir une unité universelle, non arbitraire : le mètre sera la dix-millionième partie du quart du méridien terrestre passant par Paris.

De 1792 à 1799, les astronomes Jean-Baptiste Delambre et Pierre Méchain parcourent à pied la distance de Dunkerque à Barcelone pour mesurer cet arc de méridien, malgré la guerre et les soupçons d'espionnage. Le 22 juin 1799, un étalon en platine — le « Mètre des Archives » — est déposé à Paris : le système métrique est né.

Depuis 1983, le mètre n'est plus défini par un objet mais par une constante universelle : la distance parcourue par la lumière dans le vide en 1299 792 458\dfrac{1}{299\,792\,458} seconde.

1.2  Unités dérivées

Toutes les autres grandeurs physiques se construisent par combinaison des sept grandeurs de base. On parle d'unités dérivées.

Propriété — quelques unités dérivées usuelles
GrandeurUnité dérivéeEn unités de base
Vitessemètre par secondem⋅s−1\text{m}\cdot\text{s}^{-1}
Airemètre carrém2\text{m}^{2}
Volumemètre cubem3\text{m}^{3}
Masse volumiquekilogramme par mètre cubekg⋅m−3\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}
Forcenewton (N)kg⋅m⋅s−2\text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-2}
Énergiejoule (J)kg⋅m2⋅s−2\text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}
Exemple — masse volumique d'une huile

Un flacon contient un volume V=250 mLV = 250\ \text{mL} d'huile de masse m=230 gm = 230\ \text{g}. Calculons ρ=mV\rho = \dfrac{m}{V} en unités SI.

  1. m=230 g=0,230 kgm = 230\ \text{g} = 0{,}230\ \text{kg}
  2. V=250 mL=250 cm3=2,50×10−4 m3V = 250\ \text{mL} = 250\ \text{cm}^{3} = 2{,}50 \times 10^{-4}\ \text{m}^{3}
  3. ρ=mV=0,2302,50×10−4\rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{0{,}230}{2{,}50 \times 10^{-4}}
  4. ==ρ≈9,2×102 kg⋅m−3\rho \approx 9{,}2 \times 10^{2}\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}masse volumique typique d'une huile végétale
Exemple — masse et poids, deux grandeurs différentes

Un sac de riz a une masse m=50 kgm = 50\ \text{kg} (mesurée avec une balance). Son poids sur Terre vaut P=m×gP = m \times g, avec g=9,8 m⋅s−2g = 9{,}8\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}.

  1. P=50×9,8P = 50 \times 9{,}8
  2. ==P=490 NP = 490\ \text{N}

La masse (en kg) ne change pas sur la Lune ; le poids (en N), lui, y serait environ six fois plus faible.

1.3  Ordre de grandeur

Définition

L'ordre de grandeur d'une mesure est la puissance de dix la plus proche de sa valeur, une fois celle-ci écrite en notation scientifique a×10na \times 10^{n} avec 1⩽a<101 \leqslant a < 10.

Méthode — déterminer un ordre de grandeur

On écrit la valeur sous la forme a×10na \times 10^{n}. Si a<5a < 5, l'ordre de grandeur est 10n10^{n} ; si a⩾5a \geqslant 5, l'ordre de grandeur est 10n+110^{n+1}.

Exemple — ordres de grandeur
  1. masse d'une pomme ≈1,8×102 g\approx 1{,}8 \times 10^{2}\ \text{g}1,8<51{,}8 < 5
  2. ⇒\Rightarrowordre de grandeur : 102 g10^{2}\ \text{g}
  3. population du Sénégal ≈1,8×107\approx 1{,}8 \times 10^{7} habitants
  4. ⇒\Rightarrowordre de grandeur : 10710^{7} habitants
Ordres de grandeur : de l'atome à la galaxie 10⁻¹⁰ mAtome 10⁻⁷ mVirus 7×10⁻⁵ mCheveu 1,7 mÊtre humain 3×10² mTour Eiffel 1,3×10⁷ mDiamètre Terre 1,5×10¹¹ mTerre – Soleil ≈10²¹ mVoie lactée Échelle logarithmique : chaque graduation représente un facteur 10 environ.
Figure 1 — De l'atome (10−1010^{-10} m) à la Voie lactée (102110^{21} m), une trentaine d'ordres de grandeur séparent les tailles de l'Univers.

Ce même exercice de « zoom » sur les puissances de dix permet de comparer des objets qui, à première vue, n'ont aucun rapport : de l'atome à la galaxie, il y a un facteur proche de 103110^{31} — un nombre suivi de trente et un zéros.

2Multiples et sous-multiples

Écrire la distance Terre-Soleil en mètres donne 150 000 000 000150\,000\,000\,000 m : illisible. Le SI prévoit des préfixes qui multiplient ou divisent une unité par une puissance de dix, pour écrire des nombres à la fois plus courts et plus lisibles.

Définition

Un préfixe multiplicateur, placé devant le symbole d'une unité, indique par quelle puissance de dix il faut multiplier cette unité. Un préfixe supérieur à 11 est un multiple (kilo, méga…) ; un préfixe inférieur à 11 est un sous-multiple (milli, micro…).

Préfixes du Système international SymboleExposantExemple GMkhda—dcmµnp 10⁹10⁶10³10²10¹10⁰10⁻¹10⁻²10⁻³10⁻⁶10⁻⁹10⁻¹² GmMmkmhmdammdmcmmmµmnmpm
Figure 2 — Les douze préfixes usuels du Système international, du giga (10910^{9}) au pico (10−1210^{-12}) ; la colonne centrale (en violet) est l'unité elle-même, sans préfixe.

2.1  Convertir avec les préfixes

Méthode — convertir une mesure

On remplace le préfixe par la puissance de dix qu'il représente (Figure 2), puis on simplifie l'écriture scientifique obtenue.

Exemple — conversions usuelles
  1. 3,2 km=3,2×103 m=3 200 m3{,}2\ \text{km} = 3{,}2 \times 10^{3}\ \text{m} = 3\,200\ \text{m}
  2. 45 mg=45×10−3 g=0,045 g45\ \text{mg} = 45 \times 10^{-3}\ \text{g} = 0{,}045\ \text{g}
  3. 0,6 μs=0,6×10−6 s=6×10−7 s0{,}6\ \mu\text{s} = 0{,}6 \times 10^{-6}\ \text{s} = 6 \times 10^{-7}\ \text{s}
  4. 72 cL=72×10−2 L=0,72 L72\ \text{cL} = 72 \times 10^{-2}\ \text{L} = 0{,}72\ \text{L}
Exemple — vitesse : de km/h à m/s

Un minibus roule à 90 km/h90\ \text{km/h} sur une route entre Dakar et Thiès. Exprimons cette vitesse en unités SI.

  1. v=90×103 m3 600 sv = \dfrac{90 \times 10^{3}\ \text{m}}{3\,600\ \text{s}}1 h = 3 600 s
  2. ==v=25 m⋅s−1v = 25\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}
Méthode — km/h ↔ m/s en une étape

Pour passer de km/h à m/s, on divise par 3,63{,}6 ; pour passer de m/s à km/h, on multiplie par 3,63{,}6. Ce facteur 3,6=3 6001 0003{,}6 = \dfrac{3\,600}{1\,000} résume la conversion des kilomètres en mètres et des heures en secondes.

2.2  Cas particulier : volumes et durées

Attention — le piège du cube

Quand l'unité est élevée au carré ou au cube, le facteur de conversion l'est aussi ! 1 cm=10−2 m1\ \text{cm} = 10^{-2}\ \text{m}, mais :

1 cm3=(10−2 m)3=10−6 m31\ \text{cm}^{3} = \left(10^{-2}\ \text{m}\right)^{3} = 10^{-6}\ \text{m}^{3}

et non 10−2 m310^{-2}\ \text{m}^{3}. C'est l'erreur la plus fréquente en Seconde sur les volumes.

Exemple — volume d'une brique de lait
  1. V=1 L=1 dm3V = 1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^{3}
  2. 1 dm=10−1 m1\ \text{dm} = 10^{-1}\ \text{m}
  3. ⇒\RightarrowV=(10−1)3 m3=10−3 m3V = \left(10^{-1}\right)^{3}\ \text{m}^{3} = 10^{-3}\ \text{m}^{3}

Le temps n'utilise pas les préfixes SI dans la vie courante : on garde minute (1 min=60 s1\ \text{min} = 60\ \text{s}), heure (1 h=3 600 s1\ \text{h} = 3\,600\ \text{s}) et jour (1 j=86 400 s1\ \text{j} = 86\,400\ \text{s}), qu'il faut convertir en secondes avant tout calcul physique.

Physique & Co — Des mots grecs et latins dans ta trousse

Les préfixes SI viennent presque tous du grec ou du latin : kilo vient du grec khílioi (« mille »), méga de mégas (« grand »), micro de mikrós (« petit »), tandis que milli et centi viennent du latin mille et centum. Le préfixe le plus récent, quetta (103010^{30}), n'a été adopté qu'en 2022 par la Conférence générale des poids et mesures — pour nommer des masses de l'ordre de celle de l'Univers observable !

3Analyse dimensionnelle

Une même grandeur peut s'exprimer dans plusieurs unités (une durée en secondes, en minutes, en heures) : ce qui ne change jamais, c'est sa nature. Cette nature, indépendante du choix de l'unité, s'appelle la dimension de la grandeur.

Définition

La dimension d'une grandeur physique GG, notée [G][G], exprime sa nature en fonction des sept dimensions de base. On la représente par une équation aux dimensions combinant les symboles ci-dessous.

Grandeur de baseLongueurMasseTempsIntensité électriqueTempératureQuantité de matière
Symbole de dimensionLMTIΘN
Propriété — dimensions de quelques grandeurs dérivées
  1. vitesse : [v]=L⋅T−1[v] = \text{L}\cdot\text{T}^{-1}
  2. accélération : [a]=L⋅T−2[a] = \text{L}\cdot\text{T}^{-2}
  3. force : [F]=M⋅L⋅T−2[F] = \text{M}\cdot\text{L}\cdot\text{T}^{-2}
  4. énergie : [E]=M⋅L2⋅T−2[E] = \text{M}\cdot\text{L}^{2}\cdot\text{T}^{-2}

3.1  Homogénéité d'une formule

Théorème — principe d'homogénéité

Dans une égalité physique correcte, les deux membres ont nécessairement la même dimension. On ne peut additionner, soustraire ou égaler que des grandeurs de même dimension. Une formule qui ne respecte pas ce principe est forcément fausse.

Méthode — vérifier l'homogénéité d'une formule

On calcule séparément la dimension du membre de gauche et celle du membre de droite, en remplaçant chaque grandeur par sa dimension et chaque nombre sans dimension (comme 22, π\pi, 12\frac{1}{2}) par 11. Si les deux dimensions obtenues sont identiques, la formule est homogène.

Démonstration — la période du pendule est-elle homogène ?

La période d'un pendule simple de longueur ℓ\ell est donnée par T=2πℓgT = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}, avec gg l'accélération de la pesanteur. Vérifions la dimension du membre de droite.

  1. [ℓg]=LL⋅T−2\left[\dfrac{\ell}{g}\right] = \dfrac{\text{L}}{\text{L}\cdot\text{T}^{-2}}
  2. ==T2\text{T}^{2}
  3. ⇒\Rightarrow[ℓg]=T\left[\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}\right] = \text{T}2π2\pi est sans dimension

Le membre de droite a la dimension d'un temps, tout comme TT à gauche : la formule est homogène. Elle pourrait encore être fausse d'un facteur numérique — mais elle ne l'est pas dans sa structure. À l'inverse, une formule proposée T=2πgℓT = 2\pi\sqrt{\dfrac{g}{\ell}} donnerait une dimension T−1\text{T}^{-1} : elle serait immédiatement rejetée, sans même connaître la vraie loi physique.

Exemple — deux formules à tester
  1. d=v×t ⇒ [d]=L⋅T−1×T=Ld = v \times t\ \Rightarrow\ [d] = \text{L}\cdot\text{T}^{-1} \times \text{T} = \text{L}homogène à une longueur : correct
  2. Ec=12mv2 ⇒ [Ec]=M×(L⋅T−1)2E_c = \dfrac{1}{2}mv^{2}\ \Rightarrow\ [E_c] = \text{M} \times \left(\text{L}\cdot\text{T}^{-1}\right)^{2}
  3. ==M⋅L2⋅T−2\text{M}\cdot\text{L}^{2}\cdot\text{T}^{-2}dimension d'une énergie : correct
Attention

L'analyse dimensionnelle vérifie la structure d'une formule, jamais les facteurs numériques sans dimension. Une formule fausse d'un facteur 22 ou π\pi passera le test d'homogénéité sans problème ! Ce test permet de rejeter une formule fausse, jamais de prouver qu'une formule homogène est juste.

3.2  Trouver une dimension ou une unité inconnue

Méthode — isoler la grandeur inconnue

Si une grandeur XX apparaît dans une équation homogène, on l'isole algébriquement puis on remplace chaque grandeur connue par sa dimension : [X][X] s'obtient par un simple calcul sur les exposants.

Exemple — dimension d'une constante de raideur

Un ressort exerce une force F=k×xF = k \times x, où xx est son allongement (une longueur). Quelle est la dimension de la constante de raideur kk ?

  1. k=Fxk = \dfrac{F}{x}
  2. ⇒\Rightarrow[k]=M⋅L⋅T−2L[k] = \dfrac{\text{M}\cdot\text{L}\cdot\text{T}^{-2}}{\text{L}}
  3. ==[k]=M⋅T−2[k] = \text{M}\cdot\text{T}^{-2}

L'unité SI de kk est donc le kg⋅s−2\text{kg}\cdot\text{s}^{-2}, que l'on écrit aussi N⋅m−1\text{N}\cdot\text{m}^{-1} (newton par mètre) — deux écritures équivalentes de la même dimension.

4Chiffres significatifs

Un instrument de mesure a toujours une précision limitée. Écrire un résultat avec trop de chiffres laisse croire à une précision que l'instrument ne peut pas fournir ; en écrire trop peu gaspille une information réellement mesurée. Les chiffres significatifs règlent ce dosage.

Définition

Les chiffres significatifs (CS) d'un nombre sont les chiffres qui portent une information sur la précision de la mesure, du premier chiffre non nul jusqu'au dernier chiffre connu avec certitude ou estimé.

Méthode — compter les chiffres significatifs
  • Les zéros situés avant le premier chiffre non nul ne sont jamais significatifs : 0,00560{,}0056 a 22 CS.
  • Les zéros encadrés par des chiffres non nuls sont significatifs : 1 0051\,005 a 44 CS.
  • Les zéros situés après la virgule, à droite, sont significatifs : 2,502{,}50 a 33 CS.
  • Pour un entier se terminant par des zéros sans virgule, le nombre de CS est ambigu : on préfère la notation scientifique, qui lève toute ambiguïté.
Exemple — compter les chiffres significatifs
  1. 7,40 m7{,}40\ \text{m} → 33 CSle zéro final après la virgule compte
  2. 0,003 20 kg0{,}003\,20\ \text{kg} → 33 CSles zéros avant le 33 ne comptent pas
  3. 1,02×103 s1{,}02 \times 10^{3}\ \text{s} → 33 CS
  4. 600 g600\ \text{g} → ambigu : 11, 22 ou 33 CS selon le contexte

4.1  Notation scientifique

Définition

La notation scientifique écrit un nombre sous la forme a×10na \times 10^{n}, avec 1⩽a<101 \leqslant a < 10 et n∈Zn \in \mathbb{Z}. Elle affiche exactement les chiffres significatifs, sans ambiguïté.

Exemple — écrire en notation scientifique avec 3 CS
  1. 45 900 Pa=4,59×104 Pa45\,900\ \text{Pa} = 4{,}59 \times 10^{4}\ \text{Pa}
  2. 0,000 072 3 m=7,23×10−5 m0{,}000\,072\,3\ \text{m} = 7{,}23 \times 10^{-5}\ \text{m}
  3. 600 g600\ \text{g} écrit avec 22 CS =6,0×102 g= 6{,}0 \times 10^{2}\ \text{g}

4.2  Chiffres significatifs dans un calcul

Méthode — arrondir un résultat de calcul

Pour un produit ou un quotient, le résultat s'arrondit au nombre de chiffres significatifs de la donnée la moins précise (celle qui a le moins de CS). On n'arrondit qu'à la toute dernière étape : arrondir en cours de calcul accumule des erreurs.

Exemple — vitesse moyenne d'un coureur

Un coureur parcourt d=100,0 md = 100{,}0\ \text{m} (4 CS) en t=9,8 st = 9{,}8\ \text{s} (2 CS).

  1. v=dt=100,09,8v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{100{,}0}{9{,}8}
  2. ==v=10,204 08... m⋅s−1v = 10{,}204\,08...\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}valeur brute de la calculatrice
  3. ⇒\Rightarrowv≈10 m⋅s−1v \approx 10\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}arrondi à 2 CS, comme la donnée la moins précise
Attention

La calculatrice affiche 88 à 1010 chiffres : ce n'est jamais le résultat physique à recopier. Le nombre de chiffres significatifs d'un résultat ne peut pas dépasser celui de la donnée expérimentale la moins précise — recopier tous les chiffres de l'écran est l'erreur la plus sanctionnée en travaux pratiques.

5Incertitude de mesure

Aucune mesure n'est parfaitement exacte : un instrument a toujours une résolution limitée, une main tremble un peu, un œil lit une graduation avec une petite marge. Le rôle du physicien n'est pas de cacher cette imperfection, mais de la quantifier.

Définition

Le résultat d'une mesure se présente sous la forme :

m=m‾±Δmm = \overline{m} \pm \Delta m

où m‾\overline{m} est la valeur mesurée (meilleure estimation) et Δm>0\Delta m > 0 l'incertitude absolue, exprimée dans la même unité que m‾\overline{m}. Cela signifie que la valeur vraie a de fortes chances de se trouver dans l'intervalle [m‾−Δm ; m‾+Δm]\left[\overline{m} - \Delta m\ ;\ \overline{m} + \Delta m\right].

Propriété — incertitude relative

L'incertitude relative compare l'incertitude à la valeur mesurée ; elle est sans unité et souvent exprimée en pourcentage :

Δmm‾ouΔmm‾×100 %\dfrac{\Delta m}{\overline{m}} \quad \text{ou} \quad \dfrac{\Delta m}{\overline{m}} \times 100\ \%

Plus l'incertitude relative est petite, plus la mesure est précise.

Exemple — masse d'un comprimé

Une balance affiche m‾=25,4 g\overline{m} = 25{,}4\ \text{g}, avec une incertitude estimée Δm=0,1 g\Delta m = 0{,}1\ \text{g}.

  1. m=(25,4±0,1) gm = (25{,}4 \pm 0{,}1)\ \text{g}
  2. incertitude relative =0,125,4= \dfrac{0{,}1}{25{,}4}
  3. ≈\approx0,00390{,}0039soit environ 0,4 %
m = (25,4 ± 0,1) g 25,0 25,2 25,4 25,6 25,8 m̄ Δm = 0,1 g masse affichée en g — la valeur vraie se situe très probablement dans la zone rouge
Figure 4 — Présentation d'une mesure avec son incertitude : la valeur vraie a de fortes chances de se trouver dans l'intervalle [m‾−Δm ; m‾+Δm]\left[\overline{m}-\Delta m\ ;\ \overline{m}+\Delta m\right].

5.1  Incertitude de lecture d'un instrument

Méthode — estimer une incertitude de lecture

Pour un instrument à graduations, on prend en général Δm\Delta m égale à la moitié de la plus petite graduation (résolution). Pour un instrument numérique, l'incertitude porte souvent sur le dernier chiffre affiché.

InstrumentGrandeurRésolution typiqueIncertitude Δ\Delta
Règle graduéelongueur1 mm0,5 mm
Pied à coulisselongueur0,1 mm (au 1/10)0,05 mm
Balance électroniquemasse0,01 g0,01 g
Chronomètre manueldurée0,01 s0,2 s (temps de réaction)
Multimètre numériquetension, intensité1 unité du dernier chiffre± 1 digit
Attention

Pour le chronomètre manuel, l'incertitude n'est pas la résolution de l'appareil (0,01 s), mais le temps de réaction humain au déclenchement et à l'arrêt, de l'ordre de 0,2 s0{,}2\ \text{s} : c'est toujours la source d'incertitude dominante qu'il faut retenir, pas la plus petite.

5.2  Lire un pied à coulisse

Le pied à coulisse mesure une longueur avec une précision bien supérieure à celle d'une règle, grâce à une seconde échelle mobile : le vernier.

Méthode — lire un vernier au 1/10 de mm
  1. On lit sur la règle principale le nombre entier de mm situé juste avant le zéro du vernier : c'est la partie entière.
  2. On cherche le trait du vernier qui coïncide exactement avec un trait de la règle principale : son numéro donne le chiffre des dixièmes de mm.
  3. On additionne les deux pour obtenir la lecture complète.
Lecture d'un pied à coulisse (vernier au 1/10 mm) mâchoire objet vernier règle graduée ▼ zoom sur la zone de lecture ▼ 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (mm) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 du vernier 12 mm + 0,6 mm (trait n° 6 aligné) d = 12,6 mm = 1,26 cm
Figure 3 — Le zéro du vernier situe la partie entière (12 mm, entre les traits 12 et 13) ; le trait du vernier aligné avec un trait de la règle (ici le n° 6) donne les dixièmes (0,6 mm) : d=12,6 mmd = 12{,}6\ \text{mm}.
Physique & Co — Pierre Vernier et son astuce

En 1631, l'ingénieur franc-comtois Pierre Vernier publie La construction, l'usage et les propriétés du quadrant nouveau de mathématiques, où il décrit une échelle mobile graduée légèrement plus « serrée » que l'échelle principale. Cette astuce géométrique permet de lire, sans loupe ni calcul complexe, une fraction de la plus petite graduation d'un instrument. Son nom est resté attaché à ce dispositif — le vernier — utilisé aujourd'hui encore sur les pieds à coulisse du monde entier.

5.3  Combiner des incertitudes

Propriété — incertitude d'un produit ou d'un quotient

Si une grandeur GG s'obtient en multipliant ou en divisant des grandeurs mesurées AA et BB (par exemple G=A×BG = A \times B ou G=ABG = \dfrac{A}{B}), son incertitude relative est, en première approximation :

ΔGG‾≈ΔAA‾+ΔBB‾\dfrac{\Delta G}{\overline{G}} \approx \dfrac{\Delta A}{\overline{A}} + \dfrac{\Delta B}{\overline{B}}

Exemple — incertitude sur une masse volumique

Avec m=(12,0±0,1) gm = (12{,}0 \pm 0{,}1)\ \text{g} et V=(5,00±0,05) cm3V = (5{,}00 \pm 0{,}05)\ \text{cm}^{3} :

  1. Δmm‾=0,112,0≈0,0083\dfrac{\Delta m}{\overline{m}} = \dfrac{0{,}1}{12{,}0} \approx 0{,}0083
  2. ΔVV‾=0,055,00=0,010\dfrac{\Delta V}{\overline{V}} = \dfrac{0{,}05}{5{,}00} = 0{,}010
  3. Δρρ‾≈0,0083+0,010\dfrac{\Delta \rho}{\overline{\rho}} \approx 0{,}0083 + 0{,}010
  4. ≈\approx0,0180{,}018soit environ 1,8 %
Attention

Une incertitude n'est pas une erreur. L'erreur est l'écart (inconnu, car on ignore la valeur vraie) entre la mesure et la réalité. L'incertitude est un intervalle estimé, calculé à l'avance à partir de l'instrument et de la méthode : c'est ce que le physicien peut réellement annoncer.

6Représentation graphique et modélisation

Un tableau de mesures est difficile à interpréter d'un coup d'œil. Un graphique bien construit révèle souvent en un instant la relation qui lie deux grandeurs — c'est l'outil le plus puissant du physicien expérimentateur.

Méthode — tracer un graphique scientifique
  • Grandeur en abscisse et en ordonnée, chacune avec son unité entre parenthèses.
  • Une échelle régulière sur chaque axe, choisie pour occuper toute la feuille (pas forcément la même sur les deux axes).
  • Chaque mesure est un point (une croix ou un petit cercle), jamais relié point à point.
  • On trace ensuite la courbe la plus simple et régulière qui passe au mieux parmi les points (souvent une droite) — c'est la modélisation.
Définition

Modéliser une série de mesures, c'est proposer une relation mathématique simple — une loi — qui décrit au mieux le comportement observé, au-delà des seuls points mesurés.

6.1  Reconnaître une proportionnalité

Propriété

Si les points expérimentaux s'alignent sur une droite passant par l'origine, les deux grandeurs yy et xx sont proportionnelles :

y=k×xy = k \times x

où le coefficient kk (le coefficient directeur de la droite) se lit en choisissant un point (x1 ; y1)\left(x_1\ ;\ y_1\right) bien lisible sur la droite tracée : k=y1x1k = \dfrac{y_1}{x_1}.

Allongement d'un ressort en fonction de la masse accrochée 0 20 40 60 80 100 m (g) 1 2 3 4 5 x (cm) pente k ≈ 0,05 cm/g Les points s'alignent sur une droite passant par l'origine : x et m sont proportionnels.
Figure 5 — Allongement xx d'un ressort en fonction de la masse mm accrochée : la droite passe par l'origine, donc x=k×mx = k \times m, avec k≈0,05 cm⋅g−1k \approx 0{,}05\ \text{cm}\cdot\text{g}^{-1}.
Exemple — lire le coefficient directeur

Sur la Figure 5, le point (m1=100 g ; x1=5,0 cm)\left(m_1 = 100\ \text{g}\ ;\ x_1 = 5{,}0\ \text{cm}\right) est bien lisible sur la droite tracée.

  1. k=x1m1=5,0100k = \dfrac{x_1}{m_1} = \dfrac{5{,}0}{100}
  2. ==k=0,050 cm⋅g−1k = 0{,}050\ \text{cm}\cdot\text{g}^{-1}

6.2  Une droite qui ne passe pas par l'origine

Propriété — relation affine

Si les points s'alignent sur une droite qui ne passe pas par l'origine, la relation est affine : y=ax+by = a x + b, où aa est le coefficient directeur (la pente) et bb l'ordonnée à l'origine (valeur de yy quand x=0x = 0), lue directement là où la droite coupe l'axe des ordonnées.

Exemple — droite d'étalonnage d'un thermomètre électronique

Un capteur affiche une tension UU qui varie avec la température θ\theta : U=0,02 θ+0,50U = 0{,}02\,\theta + 0{,}50 (U en V, θ\theta en °C). La droite ne passe pas par l'origine : à θ=0 °C\theta = 0\ °\text{C}, le capteur affiche déjà U=0,50 VU = 0{,}50\ \text{V}.

  1. pour θ=25 °C\theta = 25\ °\text{C} : U=0,02×25+0,50U = 0{,}02 \times 25 + 0{,}50
  2. ==U=1,00 VU = 1{,}00\ \text{V}
Attention

Une droite qui « semble » passer par l'origine sur un graphique mal cadré peut en réalité avoir une petite ordonnée à l'origine non nulle. Ne conclus à une proportionnalité que si la droite passe visiblement par le point (0 ;0)(0\,;0), ou si le contexte physique l'impose (par exemple, une masse nulle donne toujours un allongement nul).

Fiche mémo

  • Sept unités de base : m, kg, s, A, K, mol, cd ; toute autre unité s'en déduit (unité dérivée).
  • Préfixes : G 10910^{9}, M 10610^{6}, k 10310^{3}, h 10210^{2}, da 10110^{1} ∣ d 10−110^{-1}, c 10−210^{-2}, m 10−310^{-3}, µ 10−610^{-6}, n 10−910^{-9}, p 10−1210^{-12}.
  • km/h → m/s : diviser par 3,6 ; m/s → km/h : multiplier par 3,6.
  • Piège du cube : 1 cm3=10−6 m31\ \text{cm}^{3} = 10^{-6}\ \text{m}^{3} (pas 10−210^{-2}).
  • Ordre de grandeur : a×10na \times 10^{n} avec 1⩽a<101 \leqslant a < 10 ; ordre 10n10^{n} si a<5a<5, 10n+110^{n+1} si a⩾5a \geqslant 5.
  • Homogénéité : les deux membres d'une égalité physique ont la même dimension ; sinon la formule est fausse.
  • Dimensions de base : L, M, T, I, Θ, N, J. Vitesse : L·T⁻¹ ∣ force : M·L·T⁻² ∣ énergie : M·L²·T⁻².
  • Chiffres significatifs : du premier chiffre non nul au dernier connu ; produit/quotient → autant de CS que la donnée la moins précise.
  • Mesure : m=m‾±Δmm = \overline{m} \pm \Delta m ; incertitude relative =Δmm‾= \dfrac{\Delta m}{\overline{m}} (souvent en %).
  • Incertitude de lecture ≈ demi-graduation ; pied à coulisse (vernier au 1/10) : Δ≈0,05\Delta \approx 0{,}05 mm.
  • Produit ou quotient : ΔGG‾≈ΔAA‾+ΔBB‾\dfrac{\Delta G}{\overline{G}} \approx \dfrac{\Delta A}{\overline{A}} + \dfrac{\Delta B}{\overline{B}}.
  • Droite par l'origine → proportionnalité y=kxy = kx ; sinon relation affine y=ax+by = ax + b.

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Associe chaque grandeur physique à son unité SI : (a) masse — (b) durée — (c) intensité électrique — (d) température — (e) quantité de matière — (f) longueur. Unités proposées : A, s, kg, mol, K, m.

Voir le corrigé détaillé

Chaque grandeur de base du SI a une unité et une seule :

  • (a) masse → kilogramme (kg)
  • (b) durée → seconde (s)
  • (c) intensité électrique → ampère (A)
  • (d) température → kelvin (K)
  • (e) quantité de matière → mole (mol)
  • (f) longueur → mètre (m)
2

Convertis en unité SI : 3,4 km3{,}4\ \text{km} ; 250 mg250\ \text{mg} ; 1,2 h1{,}2\ \text{h} ; 60 cm360\ \text{cm}^{3} ; 15 mA15\ \text{mA}.

Voir le corrigé détaillé
  1. 3,4 km=3,4×103 m=3 400 m3{,}4\ \text{km} = 3{,}4 \times 10^{3}\ \text{m} = 3\,400\ \text{m}
  2. 250 mg=250×10−3 g=0,250 g=2,50×10−4 kg250\ \text{mg} = 250 \times 10^{-3}\ \text{g} = 0{,}250\ \text{g} = 2{,}50 \times 10^{-4}\ \text{kg}
  3. 1,2 h=1,2×3 600 s=4 320 s1{,}2\ \text{h} = 1{,}2 \times 3\,600\ \text{s} = 4\,320\ \text{s}
  4. 60 cm3=60×10−6 m3=6,0×10−5 m360\ \text{cm}^{3} = 60 \times 10^{-6}\ \text{m}^{3} = 6{,}0 \times 10^{-5}\ \text{m}^{3}
  5. 15 mA=15×10−3 A=1,5×10−2 A15\ \text{mA} = 15 \times 10^{-3}\ \text{A} = 1{,}5 \times 10^{-2}\ \text{A}
3

a) Compte le nombre de chiffres significatifs de : 3,0203{,}020 ; 0,004 500{,}004\,50 ; 108 000108\,000 ; 7,0×10−37{,}0 \times 10^{-3}.
b) Écris en notation scientifique avec le nombre de CS indiqué : 45 70045\,700 (3 CS) ; 0,000 5080{,}000\,508 (3 CS) ; 9090 (1 CS).

Voir le corrigé détaillé

a)

  • 3,0203{,}020 → 44 CS (le zéro encadré et le zéro final après la virgule comptent)
  • 0,004 500{,}004\,50 → 33 CS (les zéros avant le 44 ne comptent pas)
  • 108 000108\,000 → écriture ambiguë, en général lue avec 33 CS
  • 7,0×10−37{,}0 \times 10^{-3} → 22 CS

b)

  1. 45 700=4,57×10445\,700 = 4{,}57 \times 10^{4}
  2. 0,000 508=5,08×10−40{,}000\,508 = 5{,}08 \times 10^{-4}
  3. 90=9×10190 = 9 \times 10^{1}
4

La position d'un mobile en chute est donnée par d=v t+12 a t2d = v\,t + \dfrac{1}{2}\,a\,t^{2}, avec vv une vitesse, tt une durée et aa une accélération. Vérifie que cette formule est homogène.

Voir le corrigé détaillé
  1. [v t]=L⋅T−1×T=L[v\,t] = \text{L}\cdot\text{T}^{-1} \times \text{T} = \text{L}
  2. [12 a t2]=L⋅T−2×T2=L\left[\dfrac{1}{2}\,a\,t^{2}\right] = \text{L}\cdot\text{T}^{-2} \times \text{T}^{2} = \text{L}12\frac{1}{2} est sans dimension
  3. ⇒\Rightarrowles deux termes ajoutés ont la dimension L\text{L}, tout comme dd

La formule est homogène.

5

Une longueur est mesurée avec une règle graduée en mm : ℓ‾=15,3 cm\overline{\ell} = 15{,}3\ \text{cm}. Détermine Δℓ\Delta \ell, écris le résultat sous la forme ℓ=ℓ‾±Δℓ\ell = \overline{\ell} \pm \Delta \ell, puis calcule l'incertitude relative en %.

Voir le corrigé détaillé
  1. résolution de la règle =1 mm=0,1 cm= 1\ \text{mm} = 0{,}1\ \text{cm}
  2. ⇒\RightarrowΔℓ=0,05 cm\Delta \ell = 0{,}05\ \text{cm}demi-graduation
  3. ℓ=(15,30±0,05) cm\ell = (15{,}30 \pm 0{,}05)\ \text{cm}
  4. incertitude relative =0,0515,30≈0,0033= \dfrac{0{,}05}{15{,}30} \approx 0{,}0033
  5. ≈\approx0,33 %0{,}33\ \%
Niveau 2 — Approfondissement
6

Un parallélépipède a pour dimensions L=12,5 cmL = 12{,}5\ \text{cm}, ℓ=3,20 cm\ell = 3{,}20\ \text{cm}, h=2,0 cmh = 2{,}0\ \text{cm}. Calcule son volume avec le bon nombre de chiffres significatifs.

Voir le corrigé détaillé
  1. V=L×ℓ×h=12,5×3,20×2,0V = L \times \ell \times h = 12{,}5 \times 3{,}20 \times 2{,}0
  2. ==V=80,0 cm3V = 80{,}0\ \text{cm}^{3}valeur brute de la calculatrice
  3. ⇒\RightarrowV≈8,0×101 cm3V \approx 8{,}0 \times 10^{1}\ \text{cm}^{3}2 CS, comme hh, la donnée la moins précise
7

La période d'un système masse-ressort est T=2πmkT = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}, où mm est une masse et kk la constante de raideur du ressort ([k]=M⋅T−2[k] = \text{M}\cdot\text{T}^{-2}, voir section 3). Vérifie l'homogénéité de cette formule.

Voir le corrigé détaillé
  1. [mk]=MM⋅T−2\left[\dfrac{m}{k}\right] = \dfrac{\text{M}}{\text{M}\cdot\text{T}^{-2}}
  2. ==T2\text{T}^{2}
  3. ⇒\Rightarrow[mk]=T\left[\sqrt{\dfrac{m}{k}}\right] = \text{T}

Le membre de droite a la dimension d'un temps, comme TT : la formule est homogène.

8

Un pied à coulisse (vernier au 1/10 mm) indique : le zéro du vernier se situe juste après le trait « 34 » de la règle principale, et c'est le trait n° 7 du vernier qui coïncide avec un trait de la règle. Donne la lecture en mm puis en cm.

Voir le corrigé détaillé
  1. partie entière : 34 mm34\ \text{mm}juste avant le zéro du vernier
  2. décimale : trait n° 7 ⇒0,7 mm\Rightarrow 0{,}7\ \text{mm}
  3. ⇒\Rightarrowd=34,7 mm=3,47 cmd = 34{,}7\ \text{mm} = 3{,}47\ \text{cm}
9

Donne l'ordre de grandeur de : a) le diamètre d'un cheveu humain, 6×10−5 m6 \times 10^{-5}\ \text{m} ; b) la population mondiale, 8,1×1098{,}1 \times 10^{9} habitants ; c) la durée d'un cours de physique, 3 300 s3\,300\ \text{s}.

Voir le corrigé détaillé
  1. a) 6×10−56 \times 10^{-5}6⩾56 \geqslant 5
  2. ⇒\Rightarrowordre de grandeur 10−4 m10^{-4}\ \text{m}
  3. b) 8,1×1098{,}1 \times 10^{9}, 8,1⩾58{,}1 \geqslant 5
  4. ⇒\Rightarrowordre de grandeur 101010^{10} habitants
  5. c) 3 300 s=3,3×103 s3\,300\ \text{s} = 3{,}3 \times 10^{3}\ \text{s}, 3,3<53{,}3 < 5
  6. ⇒\Rightarrowordre de grandeur 103 s10^{3}\ \text{s}
10

On mesure l'allongement xx d'un ressort pour différentes forces FF appliquées : FF (N) : 2,0 ; 4,0 ; 6,0 ; 8,02{,}0\ ;\ 4{,}0\ ;\ 6{,}0\ ;\ 8{,}0 — xx (cm) : 1,0 ; 2,1 ; 2,9 ; 4,01{,}0\ ;\ 2{,}1\ ;\ 2{,}9\ ;\ 4{,}0. Montre que FF et xx sont proportionnels, puis détermine la raideur kk en N/cm et en N/m.

Voir le corrigé détaillé

Le rapport Fx\dfrac{F}{x} reste à peu près constant (2,0 ; 1,9 ; 2,1 ; 2,02{,}0\,;\,1{,}9\,;\,2{,}1\,;\,2{,}0) : les points s'alignent sur une droite passant par l'origine, FF et xx sont proportionnels.

  1. en prenant le point (8,0 N ; 4,0 cm)(8{,}0\ \text{N}\ ;\ 4{,}0\ \text{cm}), bien lisible
  2. k=Fx=8,04,0k = \dfrac{F}{x} = \dfrac{8{,}0}{4{,}0}
  3. ==k=2,0 N⋅cm−1k = 2{,}0\ \text{N}\cdot\text{cm}^{-1}
  4. 1 cm=10−2 m⇒k=2,0×102 N⋅m−11\ \text{cm} = 10^{-2}\ \text{m} \Rightarrow k = 2{,}0 \times 10^{2}\ \text{N}\cdot\text{m}^{-1}
Niveau 3 — Défi
11

Pour mesurer la masse volumique d'une pierre, un élève verse de l'eau dans une éprouvette jusqu'au niveau V1=(50,0±0,5) mLV_1 = (50{,}0 \pm 0{,}5)\ \text{mL}, puis y immerge la pierre : le niveau monte à V2=(68,5±0,5) mLV_2 = (68{,}5 \pm 0{,}5)\ \text{mL}. La masse de la pierre, pesée à part, vaut m=(48,6±0,1) gm = (48{,}6 \pm 0{,}1)\ \text{g}.

  1. Calcule le volume VV de la pierre et son incertitude ΔV\Delta V.
  2. Calcule la masse volumique ρ‾\overline{\rho}.
  3. Calcule l'incertitude relative sur ρ\rho, puis Δρ\Delta \rho, et présente ρ=ρ‾±Δρ\rho = \overline{\rho} \pm \Delta \rho.
Voir le corrigé détaillé

1. Le volume de la pierre est la différence des deux lectures ; les incertitudes de lecture s'ajoutent.

  1. V‾=V2−V1=68,5−50,0\overline{V} = V_2 - V_1 = 68{,}5 - 50{,}0
  2. ==V‾=18,5 mL\overline{V} = 18{,}5\ \text{mL}
  3. ΔV=ΔV1+ΔV2=0,5+0,5\Delta V = \Delta V_1 + \Delta V_2 = 0{,}5 + 0{,}5
  4. ==ΔV=1,0 mL⇒V=(18,5±1,0) mL\Delta V = 1{,}0\ \text{mL} \Rightarrow V = (18{,}5 \pm 1{,}0)\ \text{mL}

2.

  1. ρ‾=mV‾=48,618,5\overline{\rho} = \dfrac{m}{\overline{V}} = \dfrac{48{,}6}{18{,}5}
  2. ≈\approxρ‾≈2,6 g⋅mL−1\overline{\rho} \approx 2{,}6\ \text{g}\cdot\text{mL}^{-1}

3.

  1. Δmm=0,148,6≈0,0021\dfrac{\Delta m}{m} = \dfrac{0{,}1}{48{,}6} \approx 0{,}0021
  2. ΔVV‾=1,018,5≈0,054\dfrac{\Delta V}{\overline{V}} = \dfrac{1{,}0}{18{,}5} \approx 0{,}054
  3. Δρρ‾≈0,0021+0,054≈0,056\dfrac{\Delta \rho}{\overline{\rho}} \approx 0{,}0021 + 0{,}054 \approx 0{,}056
  4. Δρ≈0,056×2,6≈0,15 g⋅mL−1\Delta \rho \approx 0{,}056 \times 2{,}6 \approx 0{,}15\ \text{g}\cdot\text{mL}^{-1}
  5. ⇒\Rightarrowρ=(2,6±0,1) g⋅mL−1\rho = (2{,}6 \pm 0{,}1)\ \text{g}\cdot\text{mL}^{-1}

Cette valeur est cohérente avec la masse volumique d'une roche courante comme le granite.

12

On suppose que la période TT d'un pendule simple dépend de sa longueur ℓ\ell, de la masse mm de la bille et de l'accélération de la pesanteur gg, selon une loi T=k ℓa mb gcT = k\,\ell^{a}\,m^{b}\,g^{c}, où kk est une constante sans dimension.

  1. Écris l'équation aux dimensions de cette relation.
  2. En identifiant les exposants de L, M et T, détermine aa, bb et cc.
  3. Conclus : la période dépend-elle de la masse de la bille ? Compare au résultat connu T=2πℓgT = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}.
Voir le corrigé détaillé

1. [ℓ]=L[\ell] = \text{L}, [m]=M[m] = \text{M}, [g]=L⋅T−2[g] = \text{L}\cdot\text{T}^{-2}, [T]=T[T] = \text{T}.

  1. [T]=La⋅Mb⋅(L⋅T−2)c[T] = \text{L}^{a} \cdot \text{M}^{b} \cdot \left(\text{L}\cdot\text{T}^{-2}\right)^{c}
  2. ==La+c⋅Mb⋅T−2c\text{L}^{a+c}\cdot\text{M}^{b}\cdot\text{T}^{-2c}

2. On identifie avec T=L0⋅M0⋅T1\text{T} = \text{L}^{0}\cdot\text{M}^{0}\cdot\text{T}^{1}, exposant par exposant.

  1. sur M : b=0b = 0
  2. sur T : −2c=1⇒c=−12-2c = 1 \Rightarrow c = -\dfrac{1}{2}
  3. sur L : a+c=0⇒a=−c=12a + c = 0 \Rightarrow a = -c = \dfrac{1}{2}

3. Avec b=0b = 0, la période ne dépend pas de la masse de la bille. On trouve T=k ℓ1/2 g−1/2=kℓgT = k\,\ell^{1/2}\,g^{-1/2} = k\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}, ce qui est bien la forme du résultat connu T=2πℓgT = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}} (avec k=2πk = 2\pi, une valeur que l'analyse dimensionnelle seule ne peut pas donner).

13

Un mobile se déplace à vitesse constante. On relève sa position dd au cours du temps tt :

Voir le corrigé détaillé
Position d'un mobile en fonction du temps 01234 t (s) 0481216 d (m)
Figure 6 — La droite passe par l'origine : le mobile a un mouvement à vitesse constante, dd est proportionnel à tt.
  1. Montre que dd est proportionnel à tt et détermine la vitesse vv du mobile.
  2. Prédis la position du mobile à t=7 st = 7\ \text{s}.
  3. Calcule la durée nécessaire pour atteindre d=50 md = 50\ \text{m}.

1. La droite passe par l'origine (Figure 6) : dd est proportionnel à tt, soit d=v td = v\,t.

  1. point lisible : (t1=4 s ; d1=16 m)(t_1 = 4\ \text{s}\ ;\ d_1 = 16\ \text{m})
  2. v=d1t1=164v = \dfrac{d_1}{t_1} = \dfrac{16}{4}
  3. ==v=4,0 m⋅s−1v = 4{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}

2.

  1. d=v×t=4,0×7d = v \times t = 4{,}0 \times 7
  2. ==d=28 md = 28\ \text{m}

3.

  1. t=dv=504,0t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{50}{4{,}0}
  2. ==t=12,5 st = 12{,}5\ \text{s}
Niveau 4 — Problèmes de vie courante
14

À la pharmacie (Dakar). Une pharmacienne de Dakar doit peser m‾=0,250 g\overline{m} = 0{,}250\ \text{g} de principe actif sur une balance de précision Δm=1 mg\Delta m = 1\ \text{mg}, avant de le dissoudre dans V=(50,0±0,5) mLV = (50{,}0 \pm 0{,}5)\ \text{mL} d'eau.

  1. Exprime la masse avec son incertitude, en mg puis en g.
  2. Calcule l'incertitude relative sur la masse, en %.
  3. Calcule la concentration massique c=mVc = \dfrac{m}{V}, en g/L puis en mg/mL, avec le bon nombre de chiffres significatifs.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. m=(250±1) mgm = (250 \pm 1)\ \text{mg}
  2. m=(0,250±0,001) gm = (0{,}250 \pm 0{,}001)\ \text{g}

2.

  1. Δmm‾=1250\dfrac{\Delta m}{\overline{m}} = \dfrac{1}{250}
  2. ==0,0040{,}004soit 0,4 %

3.

  1. c=mV=0,250 g0,0500 Lc = \dfrac{m}{V} = \dfrac{0{,}250\ \text{g}}{0{,}0500\ \text{L}}
  2. ==c=5,00 g⋅L−1c = 5{,}00\ \text{g}\cdot\text{L}^{-1}
  3. soit c=250 mg50,0 mL=5,00 mg⋅mL−1c = \dfrac{250\ \text{mg}}{50{,}0\ \text{mL}} = 5{,}00\ \text{mg}\cdot\text{mL}^{-1}
15

Un taxi à Ndjamena. Amina, chauffeuse de taxi à Ndjamena, parcourt d=18 kmd = 18\ \text{km} en Δt=25 min\Delta t = 25\ \text{min}.

  1. Convertis Δt\Delta t en secondes.
  2. Calcule la vitesse moyenne en m/s, puis en km/h, avec le bon nombre de chiffres significatifs.
  3. Donne l'ordre de grandeur de cette vitesse en m/s. La vitesse étant limitée à 50 km/h50\ \text{km/h} en ville, la vitesse moyenne d'Amina dépasse-t-elle cette limite ?
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. Δt=25×60\Delta t = 25 \times 60
  2. ==Δt=1 500 s\Delta t = 1\,500\ \text{s}

2.

  1. v=dΔt=18 000 m1 500 sv = \dfrac{d}{\Delta t} = \dfrac{18\,000\ \text{m}}{1\,500\ \text{s}}
  2. ==v=12 m⋅s−1v = 12\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}2 CS
  3. v=12×3,6v = 12 \times 3{,}6
  4. ==v≈43 km/hv \approx 43\ \text{km/h}

3. v=1,2×101 m⋅s−1v = 1{,}2 \times 10^{1}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} : ordre de grandeur 101 m⋅s−110^{1}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}. Comme 43 km/h<50 km/h43\ \text{km/h} < 50\ \text{km/h}, la vitesse moyenne d'Amina respecte la limite (une vitesse instantanée ponctuellement plus élevée resterait toutefois possible).

16

Le réservoir d'Abéché. Un agriculteur d'Abéché construit un réservoir cylindrique d'irrigation, de rayon r=1,20 mr = 1{,}20\ \text{m} et de hauteur h=2,50 mh = 2{,}50\ \text{m} (volume V=πr2hV = \pi r^{2} h).

  1. Vérifie par analyse dimensionnelle que cette formule est homogène à un volume.
  2. Calcule VV en m³ avec le bon nombre de chiffres significatifs, puis convertis en litres.
  3. Donne l'ordre de grandeur de ce volume en litres.
  4. Une pompe débite 500 L/h500\ \text{L/h}. Calcule le temps nécessaire pour remplir le réservoir, en heures puis en heures et minutes.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. [r2h]=L2×L\left[r^{2}h\right] = \text{L}^{2} \times \text{L}
  2. ==L3\text{L}^{3}π\pi est sans dimension ; dimension d'un volume

La formule est homogène.

2.

  1. V=π×1,202×2,50V = \pi \times 1{,}20^{2} \times 2{,}50
  2. ==V≈11,3 m3V \approx 11{,}3\ \text{m}^{3}3 CS
  3. 1 m3=1 000 L1\ \text{m}^{3} = 1\,000\ \text{L}
  4. ⇒\RightarrowV≈1,13×104 LV \approx 1{,}13 \times 10^{4}\ \text{L}

3. 1,13×1041{,}13 \times 10^{4}, avec 1,13<51{,}13 < 5 : ordre de grandeur 104 L10^{4}\ \text{L}.

4.

  1. t=Vdeˊbit=1,13×104500t = \dfrac{V}{\text{débit}} = \dfrac{1{,}13 \times 10^{4}}{500}
  2. ≈\approxt≈22,6 ht \approx 22{,}6\ \text{h}
  3. 0,6×60≈36 min0{,}6 \times 60 \approx 36\ \text{min}
  4. ⇒\Rightarrowt≈22 h 36 mint \approx 22\ \text{h}\ 36\ \text{min}

📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

Coche une réponse par question, puis clique sur « Vérifier mes réponses » : tu obtiens ta note sur 20 avec la correction détaillée de chaque question.

Le résultat d'un mesurage s'écrit toujours sous la forme :

Explication : Une grandeur physique s'écrit toujours « grandeur = valeur numérique × unité » : par exemple ℓ=1,20 m\ell = 1{,}20\ \text{m}. Sans unité, un nombre n'a pas de sens physique.

Parmi les sept unités de base du Système international, laquelle correspond à la température ?

Explication : La température est l'une des sept grandeurs de base du SI, mesurée en kelvin (K). La mole mesure la quantité de matière, la candela l'intensité lumineuse.

Comment doit-on écrire correctement une mesure de 5 kilogrammes ?

Explication : Une unité s'écrit avec un symbole droit, sans point final, sans « s » au pluriel, et séparée du nombre par une espace : « 5 kg », jamais « 5kg » ni « 5 kgs » ni « Kg » (le k de kilo est minuscule).

En unités de base du SI, le newton (unité de force) s'écrit :

Explication : Le newton, unité dérivée, s'exprime en unités de base par kg⋅m⋅s−2\text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-2} — à ne pas confondre avec le joule (kg⋅m2⋅s−2\text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}), unité d'énergie.

Quel est l'ordre de grandeur de 6,3×1046{,}3 \times 10^{4} ?

Explication : On écrit le nombre sous la forme a×10na \times 10^{n} : ici a=6,3a = 6{,}3. Comme a⩾5a \geqslant 5, l'ordre de grandeur est 10n+1=10510^{n+1} = 10^{5}.

Le préfixe « micro » (µ), placé devant une unité, représente le facteur :

Explication : Le préfixe micro (µ) correspond à 10−610^{-6} — à ne pas confondre avec milli (10−310^{-3}) ou nano (10−910^{-9}).

Pour convertir une vitesse de km/h en m/s, il faut :

Explication : Le facteur 3,6=3 6001 0003{,}6 = \dfrac{3\,600}{1\,000} résume la conversion des km en m et des h en s. Pour passer de km/h à m/s, on divise par 3,63{,}6 ; dans l'autre sens, on multiplie.

Combien de m3\text{m}^{3} représente 1 cm31\ \text{cm}^{3} ?

Explication : Le piège classique : 1 cm=10−2 m1\ \text{cm} = 10^{-2}\ \text{m}, mais au cube, 1 cm3=(10−2)3 m3=10−6 m31\ \text{cm}^{3} = \left(10^{-2}\right)^{3}\ \text{m}^{3} = 10^{-6}\ \text{m}^{3}, et non 10−2 m310^{-2}\ \text{m}^{3}.

Quelle est la dimension de la vitesse [v][v] ?

Explication : Une vitesse est une longueur divisée par un temps : [v]=L⋅T−1[v] = \text{L}\cdot\text{T}^{-1}. L⋅T−2\text{L}\cdot\text{T}^{-2} est la dimension d'une accélération.

Une formule proposée pour une durée TT donne, après analyse dimensionnelle, une dimension T−1\text{T}^{-1} au membre de droite. Que peut-on en conclure ?

Explication : TT doit avoir la dimension d'un temps (T\text{T}) ; si le membre de droite donne T−1\text{T}^{-1}, les deux membres n'ont pas la même dimension : la formule est immédiatement rejetée, sans même connaître la loi physique correcte.

Un ressort exerce une force F=k×xF = k \times x, avec xx une longueur. Quelle est la dimension de la constante de raideur kk ?

Explication : k=Fx⇒[k]=M⋅L⋅T−2L=M⋅T−2k = \dfrac{F}{x} \Rightarrow [k] = \dfrac{\text{M}\cdot\text{L}\cdot\text{T}^{-2}}{\text{L}} = \text{M}\cdot\text{T}^{-2}.

Combien de chiffres significatifs comporte la mesure 7,407{,}40 m ?

Explication : Les chiffres 7, 4 et 0 comptent tous les trois : le zéro final après la virgule est significatif, il indique une précision réelle. 7,407{,}40 m a donc 3 CS.

Écrit en notation scientifique avec 3 chiffres significatifs, 45 90045\,900 Pa devient :

Explication : La notation scientifique s'écrit a×10na \times 10^{n} avec 1⩽a<101 \leqslant a < 10 : 45 900=4,59×10445\,900 = 4{,}59 \times 10^{4}, qui affiche exactement 3 CS (4, 5, 9).

Un coureur parcourt d=100,0d = 100{,}0 m (4 CS) en t=9,8t = 9{,}8 s (2 CS). À combien de chiffres significatifs faut-il arrondir sa vitesse moyenne v=d/tv = d/t ?

Explication : Pour un produit ou un quotient, le résultat s'arrondit au nombre de CS de la donnée la moins précise : ici tt n'a que 2 CS, donc v≈10 m⋅s−1v \approx 10\ \text{m·s}^{-1} (2 CS), même si la calculatrice affiche 10,20408...10{,}20408...

Une balance affiche m‾=25,4\overline{m} = 25{,}4 g avec une incertitude Δm=0,1\Delta m = 0{,}1 g. Que signifie l'écriture m=(25,4±0,1)m = (25{,}4 \pm 0{,}1) g ?

Explication : L'écriture m=m‾±Δmm = \overline{m} \pm \Delta m signifie que la valeur vraie a de fortes chances de se trouver dans l'intervalle [m‾−Δm ; m‾+Δm]=[25,3 ; 25,5][\overline{m}-\Delta m\,;\,\overline{m}+\Delta m] = [25{,}3\,;\,25{,}5] g. Une incertitude n'est pas une erreur connue : c'est un intervalle estimé.

Avec m‾=25,4\overline{m}=25{,}4 g et Δm=0,1\Delta m = 0{,}1 g, l'incertitude relative vaut environ :

Explication : Incertitude relative =Δmm‾=0,125,4≈0,0039= \dfrac{\Delta m}{\overline{m}} = \dfrac{0{,}1}{25{,}4} \approx 0{,}0039
soit environ 0,4 %0{,}4\ \%.

Pour une règle graduée en millimètres, l'incertitude de lecture usuelle Δ\Delta est :

Explication : Pour un instrument à graduations, on prend en général une incertitude égale à la moitié de la plus petite graduation (sa résolution) : 1 mm⇒Δ=0,5 mm1\ \text{mm} \Rightarrow \Delta = 0{,}5\ \text{mm}.

Pourquoi l'incertitude sur un chronomètre manuel n'est-elle pas la résolution affichée (0,01 s) mais plutôt environ 0,20{,}2 s ?

Explication : L'incertitude à retenir est toujours la source dominante : ici, ce n'est pas la résolution de l'appareil (0,01 s) mais le temps de réaction humain, bien plus grand (≈ 0,2 s).

Avec m=(12,0±0,1)m = (12{,}0 \pm 0{,}1) g et V=(5,00±0,05) cm3V = (5{,}00 \pm 0{,}05)\ \text{cm}^{3}, quelle est l'incertitude relative sur la masse volumique ρ=m/V\rho = m/V ?

Explication : Pour un quotient, l'incertitude relative est la somme des incertitudes relatives :
Δmm‾=0,112,0≈0,0083\dfrac{\Delta m}{\overline m} = \dfrac{0{,}1}{12{,}0} \approx 0{,}0083
ΔVV‾=0,055,00=0,010\dfrac{\Delta V}{\overline V} = \dfrac{0{,}05}{5{,}00} = 0{,}010
Δρρ‾≈0,0083+0,010≈0,018\dfrac{\Delta \rho}{\overline \rho} \approx 0{,}0083 + 0{,}010 \approx 0{,}018, soit environ 1,8 %.

Sur un graphique, les points expérimentaux s'alignent sur une droite qui ne passe pas par l'origine. Que peut-on en conclure ?

Explication : Une droite qui ne passe pas par l'origine traduit une relation affine y=ax+by = ax+b, où bb (l'ordonnée à l'origine) se lit là où la droite coupe l'axe des ordonnées. Seule une droite passant par l'origine correspond à une proportionnalité.
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